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1、湍流模型推导对纳维斯托克斯方程做时间平均处理，即采用雷诺平均法(RANS：Reynolds-AveragcdNavier-Stokes),可以得到湍流根本方程。对于任意变量。，按照雷诺时间平均法，可以拆分为如下格式：表示对时间的平均，上标代表脉动量。按照。=方/四r计算平均值，将流动变量，和P转换成时间平均和脉动值之和Uj=U+utp=P+p,为了使方程组更具有封闭性，必须模化雷诺应力，引入模型使方程组封闭。其方法之一是湍流粘性系数法。按照基于Boussinesq的涡粘假设湍流粘性系数法有上述方程式中从为涡粘系数，处为时均速度，为是KroneCker符号，欠为湍流动能(当，=/时，%=1；当i
2、/时，ij=0)o确定涡粘性系数,就是整个湍流模型的目标关键，确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。一零方程模型零方程模型也可称作代数模型，直接建立雷诺应力和时均值的代数关系，从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。1混合长度模式混合长度模式是基于分子运动的比较，在二维剪切层中导出的。混合长度/类比分子运动自由程，在经历混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度，即：而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积(分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积)，从而涡粘系数有如下的估计式：VOCUIOCI2(1.1-2)在湍流输运中，涡粘系数和
3、沃扩散系数之比定义为普朗特数Pr,即：Prz=vjt(1.1-3)工程计算中通常采用Pr,=0.81.0。给定混合长度表达式后，混合长度模式得以封闭。在边界层的近壁区，混合长度和离避面的距离成正比：I=Ky(1.1-4)K=O.4,即Karman常数。利用混合长度模式，可以导出湍流边界层中平均速度的对数律。在自由剪切湍流中，混合长度和我剪切层的位移厚度成正比。在一般三维湍流中，Smagorinsky建议涡粘系数公式为:vl=l2SijSij),2(1.1-5)由于代数涡粘模式应用方便，在早期简单的混合长度模式以后，在各种其他模式的代数涡粘模式相继问世。目前在工程上广泛使用的代数模式是Baldw
4、in-Lomax模式。2BL湍流模型1978年，Baldwin和Lomax提出了代数湍流模型B-L湍流模型，这是一个双层流动模型，内层的湍流强度由普朗特混合长度决定，外层的湍流强度由由平均流动和长度尺度决定。其中普朗特混合长度的应变率采用泯量表示。湍动能的平均流动方程的影响是可以忽略的。涡粘系数如下v=(匕)加，y”*一(匕(1,2/)内层涡粘系数(v,L=2(1.2-2)=”是当地的平均涡量绝对值；/是考虑壁面修正的混合长度：jxj/=行(1一一*)(L2-3)K=O.4,即Karman常数，A+=26,y+=uryw.%,是壁面处的流体运动粘度系数，是壁面摩擦速度，wr=-yw/p外层涡粘
5、系数是(L=CFMUkeFIaeb(A(12式中，冗而是wax与CQIjTFj一点再方Mj/耳皿中的最小值。小履称为尾流函数；ax和Xnax分别是函数尸()=)川1-闪(7+/父)的最大值和最大值的坐标;瑞(y)是边界层外层的间歇性修正，称为KIebaboff间歇函数：%=1+5.5(40/yJ6Y(I)式中,Cwk=1,C=0.02668,Cieb=0.30代数模式的最大优点是计算量少，只要附加粘性模块，就可以利用通常的NaVierStokes数值计算程序，所以它是最受工程师欢送的方法。代数模式没有普适性，不过它比较容易针对特定的流动状态做各种修正。比方，BakIWHLOmaX模式主要适用于
6、小曲率的湍流边界层。对于有压强梯度和曲率的湍流边界层，可以在混合长度上加以修正。代数模式的最大缺点是它的局限性，代数表达式中雷诺应力或标量通量中和当地的平均变形率和平均标量梯度有关。代数模式完全忽略湍流统计量之间关系的历史效应，而历史效应很难做局部的修正。B-L湍流模型在工程计算中存在的主要缺乏是，对于强逆压梯度的非平衡湍流边界层；别离区附近以及别离区内部的流动;激波/附面层相互干扰流动;超声速及高超声速激波附近存在剧烈涡量变化的流动等,其计算精度明显无法满足工程需要。二一方程模式为了弥补混合长度模型的湍流动能未反映湍流开展过程，提出了一方程模型，如SA湍流模型。SA湍流模型SA湍流模型最近这
7、些年变的比较流行，因为它对计算复杂流动有很强的鲁棒性，相比于B-L湍流模型，SA湍流模型中的湍流的涡粘度场是连续的；而相比于Z模型，SA湍流模型占用的CPU和内存更少，并且鲁棒性也不错。SA湍流模型是基于另外一个涡粘性的输运方程，这个方程含有对流项，扩散项和源项，此应用是SPalart和AllmaraSI992年提出的，AshfordWPowell(1996年)对此进行了改良以防止生成项出现负值。湍流粘度如下匕二沉I其中，E是湍流的脉动速度，儿由下式定义A.=r-(2.1Z+cvl其中Z是湍流的脉动速度0与分子粘度V的比值，即VZ=-(2.1-3)V湍动能的脉动量。由输运方程获得+VVv=-V
8、v+(l+cw)vVv-,2vv+&。(2.1-4)式中，R表示平均速度，Q表示源项，,检2为常数。源项包括生成项和耗散项，即=vP(v)-vD(v)(2.1-5)其中，vP(v)=cz,15v(2.1-6)加=CH才（2.1-7）生成项可由下式获得W=3+品工，2(2.1-8)（ + zq丁3。+加)0-几)X式中，d表示到壁面的最小距离，S表示涡量的大小在生成项中，。由下式获得其中(l + c6 Y 十 ch3(2. 1-10)SA湍流模型中的常数值如下:cwcb12(1+)*Cw2=3,cw3=2,Cvl=7.1,2=5,CM=O.1355,cb2=0.622,K0.41,-2/3三二方
9、程模型1标准Z-模型以一方程模型为根底，引入湍流耗散率。该模型是由SPakIing和LaImdel于1972年提出的。湍流耗散率定义为：(u,c,、=-(3.1-1)Pdxk)湍流粘性系数，可表示为人和的函数：c2/A=/7。一(3.1-2)在标准Z模型中，左和的输运方程为上方程誓+噢=.+4闵+G+3”-.dtdidxJLlk)dxj(3.1-3)方程誓+萼必昙与+4M+gj(一)f/4+s,况xixj)xjkk(3.1式中，Gz,是由浮力引起的生成项，对于不可压缩流体而言，Gb=Oo对于可压流体，那么有:Gb= giPr. xi(3.1-5)其中，Prj是湍流普朗特数，在该模型中湍流普朗特
10、数Prj=O.85,g,是重力加速度，夕是热膨胀系数:夕=生PeT(3.1-6)G是湍动能Z的产生项，是由平均速度梯度引起的:Gk =i(3.1-7)uiujui_L+_L_L.xi.J,7J针对不可压流体而言，Ym=Oo对于可压流体来说，那么：Ym=flpaM（3.1-8）式中，。是声速，a=J冰丁;是湍动马赫数，Ml=Nk/a1o在标准左一模型中：C=0.（）9,4=1.3,Clc=1.44,C2,=1.92,=1.0。标准模型是最简单的完整两方程湍流模型，具有适用范围广，比较经济和相对合理的精度等优点，在工业流场和热交换模拟中有非常广泛的应用。标准k-模型的主要缺点是：标准k-模型假设雷
11、诺应力和当时当地的平均切变率成正比，所以它不能反映雷诺应力沿流向的松弛效应；标准4-模型是各向同性的，不能反映雷诺应力的各向异性，尤其是近壁湍流，雷诺应力具有明显的各向异性；标准&-模型不能反映平均涡量的影响，而平均涡量对雷诺应力的分布确实有影响，特别是在湍流别离流中，这种影响是十分重要的。在标准湍流模型中，增加了两个输运方程，即湍动能Z和湍流耗散率,会有4个线性模型和2个非线性模型。2线性模型在线性模型中，湍流的雷诺应力张量与平均应力张量成线性关系。（-而吗=2S厂?讪%-1必当(3.2-1)迤+也dx； x1(3.2-2)Sij=已经应用的线性模型如下：Chien提出低雷诺数的Z（1982
12、年）：Hakimi提出扩展壁面函数（1997年）；1.aUnder和ShalTna提出另外一种低雷诺数的Z模型（1974年）：Yang和Shih叶提出了一种低雷诺数的左一模型；上述4中模型中的常数或函数如C，CltCc2f,4，1,2,D,E和T,如下表“2M所述，其中，Re,=,Rev=也V表模型的系数模型Chien模型高雷诺数模型Launder&Shamia模型Yang&Shih模型C0.090.090.090.09g1.351.441.441.44Q1.801.921.921.92%1.01.01.01.0%1.31.31.31.31-e-0.0115/1.0RJ(IURe,)/5OH1
13、.e*+水+叫XRevA1.5*104a1.0B5*100b3.0C10,C5.0d0.5f1.01.01.01.01-0.222%“361.01-0.3Re1.0Tkkkk/+(_/)D22kly202u(扃0E02%,(SS)2M(VS)2k”.0DNS00八0(所)DNS02扃3非线性Z-c模型非线性模型是建立在线性模型的根底上，其中，低雷诺数的模型以Yang&Shih模型为根底，高雷诺数的模型建立在标准的k-模型根底上。3.1低雷诺数模型生成项改为丁已经在表1中列出，并且3 A1 +jkT2 2S2kT2 2S2fTS-pkl2-S + S- 32-S + S- 3(3.3-1)(3.
14、3-2)Zi=I-( + 2Fp7；Z2=I-l + Re,70(3.3-3)Sij =1 f饱丽J2 dr；% J , 71 ( wi 丽,、 2(3.3-7)系数C2，Cr3,4和了保持不变。需要说明的是高雷诺数非线性模型使用壁面函数，而它是建立在标准4-模型的根底上。4RNG左-E湍流模型RNGA-湍流模型是从暂态N-S方程中推出的，使用了一种叫renormalizationgroup”的数学方法。解析性是由它直接从标准Z-E模型变来，还有其它的一些功能。(z)+V-(zw)=Y-T+Gq+G&_0_%+S(3.4T)tox.oxioxi(3.4-2)GA是由层流速度梯度而产生的湍流动能
15、，G1,是由浮力而产生的湍流动能，由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动，G，C2,C3是常数，%和勺是女方程和e方程的湍流PrarldtI数。在RNG中消除尺度的过程由以下方程：d=1.72,Vdv(3.4-3)ljv3-+cv其中上述方程是一个完整的的方程，从中可以得到湍流变量怎样影响雷诺数，使得模型对低雷诺数和近壁流有更好的表现。在大雷诺数限制下上述方程得出k2C(3.4-4)Cz=0.0845来自RNG理论，有趣的是这个值和标准Z-模型总的0.09很接近。湍流在层流中受到漩涡得影响，通过修改湍流粘度来修正这些影响。有以下形式：4=M(XaSq，44-5)I这里的四是方程(3.4-3)
16、或方程(3.4-4)中没有修正的量。是考虑漩涡而估计的一个量，是一个常量，取决于流动主要是漩涡还是适度的漩涡。在选择RNG模型时这些修改主要在轴对称、漩涡流和三维流动中。对于适度的漩涡流动，4=0.05而且不能修改。对于强漩涡流动，可以选择更大的值。Prandtl数的反面影响处和%,由以下公式计算：0.63210.3679T3929”2.3929=K皿a0-1.3929a0-2.3929eff这里%=10,在大雷诺数限，ak=ae.3930RNG和标准k-模型的区别在于：(3.4-7)这里JJ=Sk/，%=4.38,夕=0.012。这项的影响可以通过重新排列方程清楚的看出。利用方程(3.47)
17、方程(3.4-2)的三四项可以合并，方程可以写成:M(G+GG)-C；W (348)这里C1由下式给出:c,M( 一 /%)1+。炉(3.4-9)当v%,R项为正，Cl要大于按照对数，3.0,给定C12.0,这和标准Z-E模型中的。26十分接近。结果，对于适度的应力流，RNG模型算出的结果要大于标准化-模型。当%，R项为负，使Ci要小于。2。和标准Z-E模型相比较，e变大而Z变小，最终影响到粘性。结果在rapidlystrained流中，RNG模型产生的湍流粘度要低于标准&一模型。因而，RNG模型相比于标准模型对瞬变流和流线弯曲的影响能作出更好的反响，这也可以解释RNG模型在某类流动中有很好的
18、表现。模型中常数：Cu=1.42,C2ff=1.68o5标准Z-G湍流模型标准&模型是一种经验模型，是基于湍流能量方程和扩散速率方程。由于k-0模型己经修改多年，火方程和。方程都增加了项，这样增加了模型的精度。标准模型的方程1(区)+昙(区%)=G-r+Gq匕+Sjt(3.5-1)tox.xiOXiJJ/(p)+(pui)=-+G-Y+S(3.5-2)t.xixi在方程中，G*是由层流速度梯度而产生的湍流动能，G。是由。方程产生的，底和说明了女和口的扩散率，匕和%由于扩散产生的湍流，所有的上面提及的项下面都有介绍。对女-。模型，扩散的影响=/(3.5-3)外=+风(3.5这里b和是外、Z方程的
19、湍流能量普朗特数。湍流粘度从计算如下：P1=Ct(3.5-5)系数a“使得湍流粘度产生低雷诺数修正。公式如下:a-aJ0+Re1+Re,/%(3.5-6)这里ReY(3.5-7)湍流模型中各个项定义如下:GG表示湍流的动能，其表达式如下:(3.5-8)为计算方便，BOUSSineSq假设:Gk=tS(3.5-9)S为外表张力系数。(0定义如下：GLa与Gk(3.5-10)系数有如下定义:%+Re,/此1+RerR其中Re=2.95,注意，在高雷诺数的Z-0模型中，=a0=l%的定义如下:其中Yk=p*ffi.k(3.5-12)1%=1+680必J+400必友工0k(3.5-13)(0定义如下:
20、=Jxjxj=.+G*F(%)(3.5/5)-=tZ5+(ReJRj、l+(Re,4)(3.5-16)Ypff-(3.5-17)其中J+70;Ul80zft,(3.5-18)QijQjkSki(3.5-19)(3.5-20)1ui叫2xix1J17=0八-与*FM)(3.5-21)对可压缩性修正F(M)=,MMOMMO(3.5-22)其中DkM；三-(3.5-23)a2MO=O.25(3.5-24)a=y)T(3.5-24)-*8注意，在高雷诺数的Z-3模型中，夕：=瓦；在不可压缩的公式中，夕二夕;。模型的常数项：瓦=0.09,&=0.072，R力=8,Rk=6,此=2.95,G=1.5,MO
21、=O.25,q=2.0,/=2.06SST攵-。湍流模型SST湍流模型比较适合对流减压区的计算，另外它还考虑了正交发散项从而使方程在近壁面和远壁面都适合。SST&一口流动方程：W(Pk)+今(而UJ=3GT+Gkk+sk(3.6-1)txixixi,JJ/-(p)V(P6jw)=y-=o?+G+O0+Sft,(3.6-2)txixiox-I在方程中，G*是由层流速度梯度而产生的湍流动能，G。是由切方程产生的，和说明了人和。的扩散率，匕和/由于扩散产生的湍流。有效扩散项方程：*ft1 = / +(3.6-4)z,l其中0和jt是外、A方程的湍流能量普朗特数。湍流粘性系数从计算如下:其中其中。4表
22、示旋率，/见式(3.5-6),6和F2定义如下/=tanh(,)(3.6-9).(4k50014pk.、1=minmax,六、丁(3.6-10)k0.09py1),2D2JG=tanh(;)3.6-11)=maxf2(3.6-12)10.09缈py2)其中y为到另一个面的距离。D,；为正交扩散项的正方向。女项与标准左一口模型相同。co项定义如下Gftj=qG人(3.6-13)匕注意，这个公式与标准左一G模型不同，区别在于标准攵一0中，oo为一常数，而SST模型中,方二00程如下:=匹。肛1+(1一耳卜s,2(3.6-14)其中zy 一包孙I区 L8(3.6-15)(3.6-16)a -42其中
23、K=O.41,i=0.075,i2=0.0828SST模型建立在标准攵-3模型和标准模型根底上。综合考虑，得到正交发散项。其方程为:Cl1k/、=2(1-F1)2-(3.6-17)模型中常数:4i=1.176,=2.0,2=1.0,2=2.0,cr1=0.31,i=0.075,i2=0.0828其他的常数与标准k-模型的相同。四二阶矩湍流模型以上介绍的湍流模型都是建立在Boussinesq涡粘假设的根底上的，这些模型在工程上应用比较方便,但是这些模型的缺点是它们的局部性，抛弃涡粘系数的概念，而从雷诺应力输运方程出发，那么雷诺应力的历史效应就可以模拟。雷诺应力是一点脉动速度的2阶矩，因此雷诺应力
24、输运方程的封闭模型又称2阶矩模型。1雷诺应力（RSM）湍流模型雷诺应力模型包括用不同的流动方程计算雷诺压力，函，从而封闭的动量方程组，准确的雷诺压力流动方程要从准确的动量方程中得到，其方法是，在动量方程中乘以一个适宜的波动系数，从而得到雷诺平均数，但是在方程中还有几项不能确定，必须做一些假设，使方程封闭。雷诺应力流动方程：仿；)+ 葛(PMk)= 一( lpuiu，juk + M0(MW)在这些项中，Gj,Dl.,Pijf耳不需要模型，DT忑,Gij,%,得需要建立模型方程使方程组封闭。DiIy-HarIow建立了如下的梯度发散模型：%=G国但这个方程数值稳定性不好，需简化为如下方程：Dtj=
25、1.ien和LeSChZiner用此方程在类似的平面剪切流动中得到k值为0.82,ku,.u,lu,ju,jp-LL-l(4.1-2)a5xkJ注意，在标准的Z-G模型中，为1.0。线形应力应变热的求解方法为：其中，。然为慢压力应变项，的,2为快应力应变项，为壁面反射项4川计算如下：i1.=其中Cl=I8%.2计算如下：苑2=-。2（与+与+Gji其中，C2=0.60,Pii,Fij,Cjj和Gij在公式（4.1-1）中给出，P=-壁面反射项外主要为壁面处应力再分配，抑制应力的垂直分量,为：Gj=幅+Ma+包(4.14):。2-C1p.-j(4.1-5)1)一1%(P+G-C)(4.1-6)G
26、=gG“,和c=2。而加强平行壁面的分量，其方程ii,=C：成Gm,2,其中，G=0.5,G=0.3,%为壁面处的一个单元,常数&=0.4187。G11的方程为：S373-7-71A2Aj产kfh%0ujuni乙乙)-jt(4.1-7)33)J?Iknmbij2汝.2，Zj2Jc)d为到壁面的距离，CI=C：，/k,C4=0.09,Gij=,TdT丁g丁+g，-PrIoxixitJ,/(4.1-8)其中Pr,为湍流的普朗特数，值为0.85.4为热膨胀系数。对于理想气体，其表达式为：G.=发散张量“定义为：2+（4.1-10）其中根据SARKAR模型，YW=是一个附加的扩散项，湍流MACH数定义
27、为：PPr,py+g瓜(4.1-9)M1=(4.1-11)其中。为音速，但流体为理想气体时，这个方程很理想。发散率的计算类似于标准4-方程：（0）+W（P吗）=，+C3GJAc20（4.1-11）tox.ox-Ilox.2k1 LaZ_其中=1.0,Cffl=1.44,C,2=1.92,。心由式（3.4-2）流场重力方向的方程得到。涡流粘性系数从的方程为:其中6=0.09。2 /一/湍流模型尽管上述的那些湍流模型对于流场的模拟结果已经相比照较准确了，但是对于低雷诺数&-湍流模型，需要引入阻力方程来修正固体壁面涡粘系数的不合理的渐进特性。只要这种阻力效应的目的是表示壁面的动能阻塞，Durbin（
28、1991）提出了使用湍流应力取代湍动能来定义湍流粘度。因此，他介绍了一种新的，-/湍流模型，而这种模型并不需要任何阻力方程，其中d表示湍流应力，/表示再分配。目前流行的V2-/湍流模型是是由Lien和KalitZin（2001）提出的，这个模型建立在高雷诺数的k-模型的根底上，并增加了两个额外的方程，即湍流应力方程和再分配方程。Dkn（匕WlDtdxjIlJdxJJ（4.2-1）D_C,PC依3/口+匕加DiT的JxJJdxj,(4.2-3)J2T3T-FT 3)涡粘性系数由式匕=Cf计算，而湍流时间T和特征长度L由以下两式定义T=minL = C1 max min(4.2-5)02评t4Cl
29、v2SjZ(4. 2-6)方程中包括应变，这是DUrbin(1995)引入的约束条件，以克服停滞点时产生的高应力，湍流时间和特征长度通过KOIgOmOroV尺度联系到一起。这个模型中的参数如下：C=0.22,k=tr=1.3,CI=I.4 1 + 0.05，C62=1.9,C1=1.4,C2=0.3,Cl=0.23,CtI=I00对二阶矩模型评价如下：(1)二阶矩模型基于雷诺应力输运方程，它包括雷诺应力开展过程，注入流线曲率、旋转系统等非局部性效应已经包含在雷诺应力的输运方程之中，因此它能较好地预测复杂湍流。(2)在雷诺应力再分配项的模拟中，快速项外.仍然采用局部性假设，这对于强非均匀湍流场的
30、预测将产生明显的偏差。(3)近壁的雷诺应力耗散具有强各向异性，各向同性的耗散格式有待改良。(4)雷诺应力的梯度耗散模型根本上是合理的，但应当考虑非各向同性的扩散。目前，RANS湍流模型是目前预测复杂湍流的最主要的工具，即使有朝日计算机直接数值模拟复杂湍流成为现实，快速而又准确预测湍流特性的模型仍然是工程师们欢送的方法。毋庸置疑，湍流统计模型需要不断开展和完善。然而，我们又看到现有的湍流统计模型攒在致命的缺点：没有一个模式能够对所有的湍流运动给出满意的预测结果。种常用的模式只能对某一类湍流运动给出满意的预测结果。例如，缓变的切边湍流，或近似平衡的湍流，B-L的代数涡粘模型是做够好的。对于非平衡的切边湍流，例如有别离的湍流边界层，非线性模型或SA一方程粘性系数模型可优先考虑。对于复杂几何边界的湍流，在计算条件许可的条件下，二阶矩模型可以考虑。总之，湍流统计模型开展的目标是明确的，即简单易行，适应而广。
