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1、微专题34函数中重要思想方法的应用【题型归纳目录】题型一：利用函数的定义和性质题型二：换元、消元和主元思想题型三：数形结合思想题型四：分类讨论思想【典型例题】题型一：利用函数的定义和性质例1.存在函数f(x)满足，对任意XeR都有()A./(cos2x)=sinxB.f(x2-2x)=x-lC./(x2+l)=x+lID.f(cos2x)=x2+x【解析】解：对于A,令X=；得/(0)=孝；令X=-?得/(0)=一1，错误；对于B，X2-2x=/(.1),则X=1Jl+/.故/=771.1).所以f(x)=Jl+X。-1)符合题意,故正确；对于C,令A=1,得/(2)=2；令X=T,Wf(2)
2、=0错误；对于。，令彳=军，得/(0)=二+工：令X=-X,得/(0)二三匹，错误.41644164故选：B.例2.已知函数/(幻=卜一:,不等式/2)+/(1-0r)0()A.(0,4)B.(To)C.0,4)D.0,4【解析】解：作出/(X)的图象如图则函数/(x)为奇函数，且为减函数，则不等式f(ax2)(l-r)0等价为f(ax2)ax-,即OV2-or+10恒成立，若=0,则不等式等价为10,不等式成立，若0,若or?-r+o恒成立，则满足a0=cr-40，即04,04练上Q,/(2x-1)成立的取值范围是()B.+00)C娟)d.(F,-g)u4o)【解析】解：函数/(X)=加+x
3、)+d”的定义域为关于原点对称,又f(-x)=/(1+1-XI)+elxl=(1+x)+e1a1=f(x),所以函数X)为偶函数,当X.0时，/(x)=(1+x)+ex,则r(x)=+oSo,-)上恒成立，x+l所以函数/(X)在0,+00)上单调递增，故不等式/(x)/(2x-l)等价于/(Ix)/O2x-l),所以IXl2x-l,即V(2-1)?,化简可得(3x-l)(X-I)V0,解得Jx(2x-l)成立的4取值范围是(g,l).故选：C.变式2.已知y=(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(x+3)=(x-3),当x(0,3)时，/(x)=2v-l,则/(2020)=()3 3A.-B
4、.-C.-3D.34 4【解析】解：由题意可知f()=-V),因为/(x+3)=/(x-3)BPf(x+6)=/(x),故函数的周期丁=6,又当XG(0,3)时，/(x)=2v-l,贝J)(2020)=/(-2)=-/(2)=-3.故选：C变式3.(多选题)已知函数则下列X的范围满足不等式/(2+3)“32-3)的是x,x.l()333A.(-2,1)B.(-J)C.(-不2)D.(-1.-)222【解析】解：因为函数)=p1.f(3x3)x2X+33x23,即2-x-60解得_3elne=/,又/()=xe在(0,E)单增，则/()=jlne3),则=lne，故a-lne-e2.故答案为：题
5、型二：换元、消元和主元思想例4.对任意xwR,不等式21SinXl+1SinX-。恒成立，则实数的取值范围是(A.&i1B.T融1C.T釉2D.一2釉2【解析】解法1:(化为锅底函数)设f=sinX,则原不等式可化为+.令/十l+l+l”,则(O)=IaI，从而解不等式.M可得一掇31.故选B解法2:(特殊值法)当=2时，因为2SinXl+1SinX-2=2-SinX+2SinXl朦+1SinXl2,当且仅当SinX=O时，等号成立.此时21SinXl+1SinX-2|.4不恒成立，所以=2不合题意，可以排除C、D.当。二一1时，因为2SinXl+1SinX+l=l+sinx+2sinx鹿+1
6、SinXl1,当且仅当SinX=O时，等号成立.此时21sinXI+1sinX11.1恒成立,所以=T符合题意，可以排除综上所述，B正确.故选：B.例5.设不等式对所有的X由1,2均成立，则实数的取值范围是(A.av-15或47B.a47或OVaVlD.a-15031,解得47,当xl,2时，令E=2e2,4,则4=e4,16,2x+3=8rl6,32,所以|4一。|12川|等价于|一。|&一1,当047时，即一产切-1在e2,4恒成立，即/+&_1=h(t),即求力(F)=/+81的最大值，h(t)ma=h(4)=47,所以47；当vT5时，r2-a8-l2,4恒成立，即V/一8/+1=/(
7、r),即求/(r)=-8f+l的最小值，/(r)rt,rt=f(4)=-15：综上：4v-15或47,故选：A.例6.函数f(x)=G3+J12-3x的值域为()A.1,小B.1,3C.I,D.1,2【解析】解：对于/(x),有3融4,则成IjC一31,令工-3=si仇朦出,2则/(X)=JX-3+,3(4-x)=sin+3(1-sin2)=Sin6+并cos=2sin(6+).-+-2，336a-三in(转换为2y+ysinX=3-sinx，2+sinx2+sinx整理得SinX=2型，+y由于一掇Mnx1,7，解不等式组得：；轰力4,32)整理得3-2)，_+y7故函数的值域为号,4.故答
8、案为:一,2.,4.变式7.已知函数“幻=SinA：8SX-SinX-CoSX,x-y,6,若f(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是_。_【解析】解：设SinX+cosx=-,则sinxcosX=,2f2_1则y=r=-(r-l2)-l.-l.22当y=l时，则/=一1,x-2k11-x=2k11-11：2当y=-l时，则f=l,得x=2r-或x=2Zr;又若/(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是O,11.故答案为：0,11.变式8.对于满足0殁S4的一切实数，不等式Y+p4x+p-3恒成立，试求X的取值范围.【解析】解：X2+px4x+p-3,即为P(X-I)+f一4x+30,可设/
9、(P)=P(XT)+12-4x+3,0三W4,由题意可得/(0)0,且/(4)0,即f-4x+30,且x2-l0,-r411fx3!cvltx-l则X的取值范围是(70,-I)D(3,+oo).故答案为：(-00,-I)U(3,+).变式9设不等式|2-。|5-2、|对所有不1,2成立，求实数的取值范围.【解析】解：设1=2，,则，2,4,故IfilV5-”对所有f2,4成立,t-a5-tf(t-a)2(5-r)2,W(2t-a-5)(5-a)0,对给定实数，(r)=(2r-a-5)(5-a),则/Q)是关于，的一次函数或常值函数，f2,4,故加)0等价于僚W解得3v5,l(4)=(3-)(5
10、-)0故实数的取值范围为(3,5).题型三：数形结合思想例7.若不等式(x-Z?)Sin(Zrx+马,0对x-l,1恒成立，则+Z?的值等于(62 5A.-B.-C.1D.23 6【解析】解：当一啜W-1时，Sin(g+马,0,666-3时，sin(+-).0,666j啜Ik或一强k1时，Ix4I5.0,当翘Jc时,xa|,0,6666设*)=x-6,则f(x)在(7),4)上单调递减，在(,)上单调递增，且/(x)的图象关于在线=对称，RG)=吟=O，乂/(：)=1：-：1一人=0，故6=.O632,a+b=-6故选：B.例8.已知实数”,b满足等式2019=2020fc,下列五个关系式：O
11、V力va；ah0；OVaV人;ba0；a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：如图，画出函数y=2019与y=202(图象示意图，因为2019“=202O1.由图可知，共有三种情况：(1)ab0;(2)0-2；与直线y=nt恰!,x一2）有唯一解，则=+4，=0,解得n=-l故答案为：-1.X1-x-2a=0,xe-1=O的实根分别为,x2x3X4X5,若xWV/WV七，则实数a的取值范围是_(O,.【解析】解：方法1:(分h数形结合)如图所示:ea=-f两边取对数得a=-%:的根为/，然X后作同,坐标系中分别作出对应的函数图象y=y=z3,产-版与y=
12、a相交的交点横坐标别为X2五个根X，X2X3.V4x5t由XlVWVxS/V七结合可得y=a在X轴上方，1y-2_由12”得。一1）（/一2工-2）=0,所以X=1,x=l3,y=-2与y=二交点坐标为x-XX2A（1-J,三史），（1,0）,（1+百,土芭）得直线y=a在X轴上方，点A卜方，所以0a0；e2a+aet,-l02ae2a+ea-0因为内毛=-1WxlO2,.g*-r,-1=0gE-In1、2C(M-I)(X：-2彳，-2)C由毛工2七得：1Ia=-代入考一、-2=-0,X2-X2-2a0x2x2解得1%1+5，所以=-=X2-(0,因为马+Z=1.得；，再由用$工2，：2一,得
13、。=不_代入得2/一(W-X3)工3-2=(七一1)(一*+2工3+2)0,x3-0r3-1G431=立出e(0,土史)，22综合得2故答案为：(0,土史).2变式11设关于X的方程f一如_=0和3/-6+3-24=0的实根分别为和，x4若xlx3x2x4,则实数的取值范围为_(0,1)_.【解析】解：由x由2x=3x2-6x+3,3x5-8x2+3x+2=0X3丁3(8x23x5)=O,3(-1)-(8x2-3x-5)=0,-0r-l=0,当X=O时，方程不成立，所以xwO,所以方程Y-GC-I=O可化简为2x=2a,X3x2-6x3-2t=O,得3/-6x+3=加，作出函数y=2x-2与y
14、=3f-6x+3函数图X解得X=1.-二，2,3因为王工3再玉，且当X=2时，2=3所以由图可知，02变式12.已知函数/(x)=xx+lR),若函数/(x)有三个互异的零点，则实数，的取值范围是【解析】解：令g(x)=xx+l=尸广,-%XyXb(2)-lZj-l:函数/(x)=MX-!在(*)上有零点；函数f(x)=优-噬,/在工(0,”)X上单调递增.【解析】解：由不等式源IlX-Il+2x-2b的解集为0,依，由/)=|工一1|+2|五一2|的单调性结合图形可得|不一1|+2|一2|=8的两根为。，01,1。2,即Ia-Il+2q-2=人一1|+2|。一2|=匕，解得,5a=6b/2所
15、以TvlV力得不正确；-l=J3=|8一1|故正确；62显然当/(X)=加X时，=Zn-O,故在(4,6)上有零点，所以正确;因为(0,l),b,所以优为减函数，log,X为增函数，故/(幻=。-108E为减函数,所以不正确.故答案为：.题型四：分类讨论思想X+l5x.0例10.已知函数/(X)=I,则满足f(-x)+(r+3l的实数X的取值范围为()(一),x02A.(,+)B.(,-)C.(l,+)D.(1,)【解析】解：先观察图象，有个初步的印象，(1)当+1.时，即反.!，显然成立；22(2)当，1时，即0,XV1.时，/(-x).1(-+-)0,此时不等式显然成立；-X+0222(3
16、)当XVO时，一x+J-xO,要f(-x)+(x+J)l成立，只要x+l+x+gl,即X一；，贝J-10时，f,(x)=Inx9当0xvl时，,()l时，,(x)0,所以当x0时，/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增,又当兀,O时，f(x)=/(xl),令ga)=*1,其图象恒过(0,-,因为/(X)与g(x)的图象有四个不同的交点,所以ACEg,噎或&E0且i)在区间0,+oo)上是增函数，那么实数的取值范围是()A.(0,B.y,l)C.(0,3JD.,+oo)【解析】解：函数=优(/-3/一1)30且。，1)可以看作是关于/的二次函数，若al,则y=是增函数，原函数
17、在区间0,+)上是增函数，则要求对称轴生1.,矛盾；2若OVaV1,则y=是减函数，原函数在区间0,2)上是增函数，则要求当E=*(O0且1)若对任意0,恒有0,则/的取值范围是()D.(2,4)A.(0,3)B.(1,3)C.(3,-K)【解析】解：设g(x)=2+bx-4,若Ovavl,当OVXVl时，易知logx0,故问题可转化为g(,O在(0,1)上恒成立，则有g(0,0,g(1)=()，解得：女,3：当x.l时，log、0,此时不等式可转化为g(x).0在1,x)上恒成立，:.g(1)=8-3.0,即.3,:.b=3,.0al,.lb1当0xvl时，logflXO,故g(x).0恒成
18、立，但g(0)=Tl时，不等式不可能恒成立.综上可知加匕(1,3).故选：B.x+2r/7,；C，函数g(x)=(x)-2x恰有三个不同的零点，则实数。的取值范x+5x+2,a围是()A.-1,1)B.0,2C.-2,2)D.-1,2)-x+2,xax+3x+2,x,a令T+2=0得x=2,令d+3x+2=0得*=-1或x=-2,二g(幻恰好有三个零点，/.,即1.,a0,恒有为0,则力的取值范围是(1,3)【解析】解：设g(x)=f+一4,若Ol,当Ox0,故问题可转化为g(x,O在(0,1)上恒成立,则有g(0),0,g(1)=力一3,0,解得：仇,3；当x.l时，log,”,。，此时不等
19、式可转化为g(x).0在1，a)上恒成立，:.g(1)=6-3.0,即机.3,.力=3,.01,.161,当OVXVl时，Iogu%O,故g(x).0恒成立，但g(0)=-4-2,设函数7(x)=(x)+g(x)在0,2上的最大值为f（八）,求/（八）的最小值.【解析】解：(1)不等式/(x).g(x)对XW展恒成立,即(X2ca1z。一8八+l-(tz+3)=-0,/心)“皿=。+3，当1-3,2时，即T釉-2,2-I).x-1(*)对XR恒成立，当=1时，(*)显然成立，此时acR：当xl时，(*)可变形为小占，令M%)=。=FIllX-1-(-V+1)(xl时，x2当XVl时，x-2,所
20、以奴x)-2,故此时-2.综合，得所求实数。的取值范围是-2.-X2-ax+a+0X1(2)万=(X)I+g(x)=0x=l,x2+ax-a-啜Ik2%0，.对称轴X=,.0,2当啖IJ-色1时，即一2助0,22(-X2-ax+a+l),mr=+a+=。+3(-x2-a+a+)nx=h(1)=0，2r4“ci3(x2+ax-a-1)=maxh(1),h(2)=?ox0,3+=，(3+rt-3,a-2ll.4,a3此时力(X)M=，3+-3,a2时，a-4,(-x2-ax+a+l)wjv=h(1)=0,(x2=h(1)=0，此时(幻2=0，.3+以-3效hO综上：力(X)2=f()=kQOa-5
21、1t（八）附加=0变式18.已知函数/(x)=Y+0r+3-,若Xel-2,2时，不等式/(x).0恒成立，求实数”的取值范围.【解析】解：设函数/Cr)=/+如+3-,在x-2,2时的最小值为g（八）,则当对称轴工=一4时，g（八）=/(-2)=7-3i.0t得“，g,又4,此时不成立.2当-和一2,2时，即T黜4时，g（八）=3,得-6球2,故此时T勘2.当一2,即T时，g（八）=(2)=7+.0,解得a.-7,此时-7,T.综上：-7侬？2.变式19,已知/)=炉-2仆+2.(1)若/(X)和/*)有相同的值域，求。的取值范围；(2)若f（八）0,设(x)在1,4上的最大值为g（八）,求
22、g（八）的取值范围.【解析】解：(1)f(x)=(x-a)2+2-a2.2-a2,当/(%)的最小值在对称轴的左侧(或对称轴位置)时，/(幻的值域也是2-/,+00),/.2-a,a,解得右-2或0.l,故实数的取值范围为(一8,-2(JU，+8)；(2)-f（八）v,22,.aJl=42-80,分情况讨论：当.4时，g（八）=naxf(1),f(4)=max2a-3,z-18=84-18；当O,c2(188a)=(2)(+10),G2_(23)=(?1)*,18-8a-(3-2)=15-6,Q.当一,，4时，g（八）=|f（八）=a1-24当2,2时，g（八）=|f（八）=-2：4当言，v2
23、时，g（八）=|/(4)=18-8a;当夜,“时，g（八）=|/(4)=18-8:18-8,(母,2)综上，g（八）=5kG，W1Jx-cosy=x-=(x+l)2-1,设/(x)=g(x+l)2-i,-3有，可得/(T)=-I为最小值；/(G)=I+6为最大值，可得X-COSy的取值范围是-1,1+6.故选：D.3.已知函数/(x)是R上的增函数，且f(sin0)+f(-cos(-Sin+/(cos夕C.；,?)D.1,3【解析】解：若si113cos69,则一COStysin。；f(x)是R上的增函数；/./(sin)/(cos)/(-cos)/(-sin)；/.符合f(sin)+f(-c
24、osco)f(cos)+f(-sin)；3是锐角；-：42若Sin8S69,则一8S,-sin&；/.f(sin)f(-cosi/(cos)+f(-sinc),显然与1.A知矛盾，即这种情况不存在;由g(x)=cocos(x+)：二.由已知条件知，cos(tx+工),O在x(工，乃)上恒成立：42函数cos(ty+马的周期.2(-)=11;4。2.ii2；:.-,2；4lh11俎万加y1111山一x乃得，+x+-11+-24244111111联立：42?解得：，强打.11342411+一42加5一1)，则N+%的取值范围是()A.6,+oo)B.(6,+oo)C.10,+)D.(10,+oo)
25、【解析】解：因为不，与分别是函数/(%)=x-、和g(x)=log,X-l的零点，则与，乂分别是和log，的解，XX所以,Z分别是函数y=1.与函数y=和函数y=bg.工交点的横坐标，X所以交点分别为A(XI,),3(x,-!),不“2因为，所以01,由于函数y=1.与函数y=和函数y=log,x都关于y=x对称，X所以点A与点4关于y=x对称，因为AaJ)关于y=x对称的点坐标为(!,3),所以=-1.,X2即W=1,且芯工X2,所以“I+9x2=xi+x2+Sx2.2也x2+Sx22+Sx2,由于XHX2所以不能取等号，因为七1,所以2+8w2+8=10,即xl+9x2(10,oo),故选
26、：D.5 .已知/(幻是定义在(-8,O)U(0,+)上的偶函数，若/(x)在(0,物)上单调递减，且/(-1)=0,则不等式x-l)(x,0的解集为()A.x-1.,x0D.xx0【解析】解：,/(X)是定义在(一00，O)U(0，+00)上的偶函数在(0,T8)上单调递减，且/(1)=0.不妨设f(x)=1-d,(x0),g(x)=x-l.如图(X-I)Fa)效Dn-Ix0,即不等式的解集为x-1.,x0，故选：C.6 .已知函数/*)=+5x+4G,0),若函数丁=/(力一可回恰有4个零点，则的取值范围是()2x-2(x0)A.(0,2)B.(-co,0C.2,-K)D.0,2【解析】解
27、：由y=(x)-x=0得f(x)=x作出函数y=(x),y=x的图象，当=0时，两个函数的交点有3个，不满足条件，当时，当工,O时，两个函数一定有2个交点，要使两个函数有4个交点，则只需要当人0时，两个函数有2个交点即可，当.2时，此时y=x与“劝有三个交点,.要使y=x与/(x)有4个交点,则02,故选：A.7 .已知实数v力vc,设方程1.+-1.+-1.=O的两个实根分别为为，2(x1x2),则下列关系中恒成x-ax-bx-c立的是()A.axbx2cB.xiabx2cC.axx2bcD.axxbc)(x-c)+(x-a)(x-c)+(jc-a)(x-b).abO,f(b)=S-)(b-
28、c)0根据零点存在性定理得出在3力)，S,c)上函数/(t)各有零点，所以ovx,vbvx2+x+-=Ox-l,1上有解，显然x/0,BP-k=x+-,44XQ99。(一啜Ik1)n-%?=kk.r-；4444若/(%)=%,则/(y)=%T,1,/(x)=x2+(+l)x+-=x=x2+br+=0ffix-l,144QQ(v)=v%+(k+D%+7=y无解，由可知，此时_?%，而心?，二即；,两式相减结合)X化简可44廿/卜+沁得%+%2+(左+1)(%+D-=O显然NO=T不是该方程的解，故当(T,1时，Tt=稣+1+-有解，4(%+1)Q令f=%+l(O,2,则函数y=%与函数y=f+3
29、的图象有交点，由图可知，一匕3,即鼠一3,这与2%sy1,解得搦Ik3,1_-I则x-cosy=-=-(x+l)2-1,设/()=g(+l)2-l,-及火W,可得-I)=T为最小值；/(G)=1+6为最大值，可得X-COSy的取值范围是-1,l+6故答案为：一1，1+G11.己知函数/(x)=V-bx+3,若不等式f(x)O的解集为x11X，,则?+/W=若对任意xwR,不等式f(sinx).恒成立，则实数b的取值范围是.【解析】解：若不等式*)0的解集为xx可得1+sinx)sin2+3SinX=-I时，上式显然成立；34-si/1?X4-1sin兀，1时，b,-_-=(1+sinX)+2,1+sinx1+sinx4设r=l+sinM04,2),由g(r)=r+-2在(0,2递减，可得g(f).g(2)=2,t则儿2,故答案为：7,(-00,2.12 .设函数/(x)=sin(4x+?),x0,若关于X的方程/(x)=4恰好有三个根芭，x2x3(xix2=2=168.2x1+3x2+x3=2(xl+x2)+x2+xi11511l11=2-+=888故答案为上.813 .设函数/*)的定义域为K,/(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xl,2时，f(x)=ax2+b.若O/(O)/(3)=6,则/6)=【解析】解：由/*+1)为奇
