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1、文化融汇：抵达深度课堂的应然路径摘要：基于教材中“大数的分级和分节”，反思中国传统教学文化与国标接 轨的必要性。通过剖析数学文化殖合的学术、课程与学习三种形悠，构虔敬学由 史学形态转化为教育形态的路径并以解决问题的深例现照变式教学中“ 一题多 解”“一邈多变和“多处一解”的特质，阐述教学文化的育人价值,欣予课堂 以深度生长的力量。关我刊：教学文化：教学教学：变式一、互鉴I以“大数的分级和分节”为例6数学课程标准3指出：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教 材中J并对数学文化渗透的内容进行定位:“教材可以适时地介绍有关背兔知识, 包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料J同
2、时，还厘清 数学文化砸人的价值：“楮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习 数学的兴趣,感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美J遵循课标要求,不同 版本的小学数学教科出中都相应设置了 “你知道吗”栏目，有目的地招数学文化 予以渗透。如苏教版四（卜D的“认识多位数”和部编入教版四（上）的“大数 的认识”，它们对“数的分节和分级”相关数学文化知识都进行r介绍。如图1、 图2。翻1你妞油吗.余金上.4们拄暂会见到一卷多位耻从个位超带 三位他电开大约半个数字的位工 如：2011 jf- B44 华校在校爆生代产23 085 000人i1J 一种国际通用的我的 分节方法 它规定从个位起向4.每3位
3、一节.右起* 一节表示 有多少个一.品二寸表示有多少个千.务三节A示有多少个百 万点国习城东.刈鱼的分级方法它视宏从个Ii起向左每4 11 -,从右边起第一嫉#个嫉.公示有多少个一：第二嫉,万 M. A示有多少个万数的分节和分缄,柒然计数习惯不凡,但都便于正福,迅速地读多位做你知遒吗？生活中我们有叶会看 到三位一分f的大做这与使用美讣的国本 （6英国.另HI手）以三 位分域读收的方法有美图2以“自然数分级和分节的读写”为例，数位的读法因民族传统文化不同而 殳现差异样态.基丁汉语的汉藏语系，其数位基数为四，即“四位一级”。一（个）、 十、百、千（个级计数单位）；万、十万、百万、千万（万级计数单位
4、）；亿、十 亿、百亿、千亿（亿级计数单位）：兆、十兆、百兆、千兆（兆级计数单位） 可知，个、万、亿、兆相对应的数位为第I、5、9、13,差值为4。四位分级的 读法为几兆几亿几万几。而基于拉丁语的印欧语系，其数位基数为三，即“三位 一节”。一（个）、十、百（第一节计数单位）：千、十千、百千（第二节计数单 位）：百万、十百万、百百万（第三节计数单位）；十亿、十十亿、百十亿（第四 节计数总位）其中个、千、百万、十亿所代表的数位分别为第1、4、7、10, 差值为3.：位分节的读法为几十亿几百万几F几“两种规则下的数位读法不同, 但用符号写数则一致。可见，利用数位符号的数字系统留存了语言符号系统的合 理
5、内核。两种版本都将三位分节法编入教材，作为教学四位分级法的补充与参照。 但是，以“千”“百万”为基础的国际单位，与中国以“万”“亿”为单位的固有 文化传统之间存在对应冲突。教师在教学K度单位（千米与米）、质量单位（千 克与克和容积单位（升与定升）进率时，能否关联国际通用的数的三位分节与 以“千”为雎位的进率进行反思，为消弭学生思维困惑作孕伏？能否探寻出一条 让中国传统文化与国际规则接轨、互鉴的路径，以实现数学文化更顺畅的衔接和 融合？二、向度，由史学形态转化为教育形态基于“数的分节和分级”分析，易知，传统文化中的度量衡制与 国际公制接轨有其现实的必要性，故画需剖析数学文化的本质内涵来 观照其表
6、现形态。就数学而言，其一般显现三种形态：表现在数学结 构上的学术形态（或称史学形态）、陈述于教科书上的课程形态（或 称文本形态），以及呈现在课堂上的学习形态（或称教育形态）。与之 相对应，数学文化也涵括学术形态数学文化、课程形态数学文化和学 习形态数学文化三种。要发挥数学文化的育人价值，必须将数学家研 究的学术形态转化为数学教育专家编撰的课程形态和学生可以接纳 重组的学习形态。1 .学术形态数学文化在数学发展进程中，数学家创建数学结构的原始记录及历史形 态，称为学术形态数学文化。其研究主体为数学家，凸显真实性。数 学内部发展形成的危机和社会生产实践遭遇的难题往往是促进数学 发展的源泉。学术形态
7、数学文化就表现在数学家创设数学结构过程中 对这些难题的具体破解和危机的逐步化解，以及从中映射出卓绝探索 的精神品格。学术形态数学文化还兼具严谨性与客观性特征。数学的发展，是 遵循一定范式，在原有基础上进行严格推理产生的。遵循范式就能演 绎出相同的结论，不会因人而异，因时而变。而推理必须逻辑自洽、 无懈可击。逻辑自治展示数学客观性的一面，这就是数学确定性特侦。2 .课程形态数学文化按逻辑体系陈述于教材上的数学知识，抑或发表在数学杂志上的 研究成果，称为课程形态数学文化。其研究群体为课程专家，凸显教 育性。在课改进入深水区的当下，课程形态的数学文化需要重新定位 课程目标价值指归，聚焦数学核心素养培
8、育，并依托数学课程来承载 数学文化。课程形态数学文化还兼具接受性与理解性特征。需基于学生的知 识背兔和年龄特点，恰当地甄选教学内容，思忖呈现方式，宜观地推 介数学的思想方法、问题与观念等。3 .学习形态数学文化基于师生理解学习的视角，在课堂及教室等特定教学时空内发生 的数学文化传递活动，称为学习形态数学文化。其研究样本为师生， 凸显动态性。教师依托现实学情，通过深入解读课程形态数学文化开 展教学设计，课程内容的甄选灵活自主，内容的设计亦可融入智慧再 创造。学习形态数学文化还兼具开放性与情境性特征。一般而论，数学 学习受典型数学问题与特定问题情境影响，而创设教学情境可以支掾 学生理解数学问题。学
9、生对相同问题及情境的判断或建构迥异，源自 知识背景和生活经验的差异，这反而促使学生发展趋向开放与多元。数学文化的三种形态关系，可以通过图3揭示。学术形态数学文 化是根基，为课程形态数学文化与学习形态数学文化提供支撑，能够 帮助学生“感受数学家治学的严谨课程形态数学文化是中间纽带, 联结学术形态数学文化与学习形态数学文化的两端，能够“激发学习 数学的兴趣”。而学习形态数学文化则是终极目标，是学术形态数学 文化和课程形态数学文化的实践指南，能够促进学生“欣赏数学的优 美”。进而构筑起课标倡导的“帮助学生/解在人类文明发展中数学 的作用”的美好愿景。三、变式I数学文化融入教学的螺旋之阶中国传统数学教
10、育以“双基”见长，而注重“变式”教学则是“双基”教学的一个关键特征。崇尚实用、强调问题中心和算法体系的中 国古代数学名著九章算术，则流露出“问题解决”的现实主义数 学文化特质。强调不变元素（双基）和变易元素（变式）的设计模型, 渗透在文化上则可以追溯到中国哲学的起源易经。“易一名而含三 义：易简一也，变易二也，不易三也。简易、变易和不易，诠释了“易”的三种不同质态或层级，蕴含变与不变的哲学思辨。联系解决 问题教学中的“变式”，不难发现，两者存在异曲同工之妙，其与“一 题多解”“一题多变”以及“多题一解”相对应。笔者以“解决问题 的策略一一列表整理信息” 一课为例，浅析数学文化渗透于教学之“易1
11、 .简易题多解，变中求不变大道至简，简易蕴含问题本质。在日常数学教学中，教师需回归 原点设计最基本的数学问题，即数学原型问题，引导学生联系条件与 问题，概括数量关系，聚焦题目中隐含的“不变量”（单位量），最终 找寻出解决问题的不同策略（解法或算法多样化）.【教学片段】（1）教学例2。提问：这道题的已知条件与所求问题分别是什么，你能尝试通过 列表表示出来吗？时间9:0011:0013:0015:00与7: OO比水位下降/cm1224364引导：同学们，表1中的数量排列存在怎样规律？明确：每2小时水位下降12厘米，即每小时水位下降6厘米。 水位下降的速度保持不变。（2）归纳数量关系。分组汇报解题
12、思路与算法：从条件想起或从问题想起：122=6 （厘米），1206=20 （小时）： 比较水位下降的关系：120 12=10, 2X10=20 （小时）；按表内数据的内在规律列举下去，可得水位下降120厘米需20 小时。列表整理信息凸显了 “化繁为简”的数学思想，复杂问题简单化， 学生便能清晰地发现“每2小时水位下降12厘米”这一关键信息。 伴随“时间”变化，“水位下降”也相应变化。在此过程中，学生能 感知并探寻出“时间”与“水位下降”之间隐藏的不变规律，把握“水 位下降的速度”不变这一本质，从而围绕“不变”实现“一题三解”。2 .交易题多变，不变应万变变式教学是中国数学文化教学的传统特质，以
13、“一题多变”促进 学生思维发展，以简驭繁，举一反三，实现认知顺向迁移的预期.立 足原问题尝试创设新问题，搭建“以旧引新”的去路；同时，将新问 题归结为已解决的原问题，连通“以新归IH”的回路，实现问题解决 的完整闭环。【教学片段】（1）完成“想一想”。出示“想一想”问题。启发：求经过12小时水位一共下降多少厘米，很明显这道题是 例2的变式，清联系条件思考一下，如何解题？讨论：式子中每一步分别表示什么？怎样快速辨别数量之间的联 系？小结：列表整理条件和问题，并将两者对应联系进行分析，数量 关系便一目了然。结合所学例题，易知先求什么，再求什么。（2）比较异同，感知联系。提问：回顾两题的解答过程，谁
14、来比较一下它们的异同？明确：“2小时水位下降12厘米”是关键条件，都要据此解答。 因此都需先求新条件“每小时水位下降几厘米”，再求出结果；也可 以根据同类数量间的倍数关系列式解答。学生在解决问题时，巧妙运用类比推理与转化策略，能从变的现 象（所求问题变化）中，明晰不变的本质（已知条件不变）；也能从 不变的本质（水位下降的速度）中，探窕出变的规律（每2小时水位 下降12厘米），从而顺利攻克新问题，做到“以不变应万变二3 .不易一多题一解，万变不离宗在教学中，教师需引导学生广泛触及各类问题，辨析、归纳出同 类问题的共性特征，洞悉不变的本质，形成问题解决模型，删繁就简， 实现“多题一解这也是变式教学
15、中的归类，如将数学问题归为精 树问题、行程问题、利润问题等类别。【教学片段】（1）完成“练一练”第1邀。启发：从问题想起，求小军使用的元数与小丽购买的本数，需先 明确什么信息？学生按每人的本数和元数整理并交流。提问：你觉得题目中哪个数量是不变量？明确：列表整理能清晰地看出数量之间的联系，帮助我们从条件 想起或从问题想起，找出解决问题的方法。18元买3本，据此求出 笔,记本单价，则两个问题迎刃而解。学生解答：183=6 （元），5X6=30 （元），426=7 （本）。（2）完成“练一练”第2题。学生读图并交流数量关系。讨论：这道题哪个数量是不变量？明确：若从条件想起，应先求每本厚度，1686
16、= 28 （毫米）， 再求本数，50428=18 （本）：若从问题想起，依据数量关系应先求 每本厚几毫米，再求有多少本。利用除法先求出不变的“单位量”，再以此为标准考量其余条件 求出结果。该类问题在数学上称为“归一问题”，而解决归一问题的 关键在于秉持“单位量”不变，视不变的单位量”为“宗”，所谓 千变万化，九九归一，万变不离其宗。教学中，“什么变，什么不变”的哲问是永恒的问题主线。教师 通过典型例题触发“双基”，聚焦主线组织研讨，探窕隐秘于问题之 间的不变因素和问题背后不变的数学思想，从而达成“双基”目标。学生习得这些不变的特性，需践行“变式”练习，规避死记硬背。通 过“变化的问题”来体现“不变的特性”，从“一题多解”迈向“一 题多变”的台阶，然后再回归到“多题一解”的平台，周而熨始，方 可促使学生的数学认知形成螺旋上升的通途。，才文7:.1中华人氏共和国教H帆义务技皴洋课程标;先（2011年版）M.北京：北京师范 大学出板社,2011.2张宙，巩子坤,任敏龙，张因，假文好.小学我学教材中的大道理核。规念的理 解与呈蜕M.上海：上海技育出版社,2018.
