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1、首师大附中 张文娣 2016年7月19日,山西大同教师培训,习题变式的途径和方法,习题变式的途径和方法,一题多解变式,一题多解就是对同一个数学问题，鼓励、启发、引导学生在所学知识范围内，大胆地、尽可能地提出不同的解题构想和方法，拓宽学生的发散思维空间，培养学生发散思维、创新意识和思考周全的能力。,一题多解变式,题1,已知：如图1，在中，平分.求证：,一题多解变式,证法1,证法2,证法3,证法4,证法5,证法6,证法7,题1,一题多解变式,证法8,证法9,证法11,证法10,题1,一题多解变式,三角形内角平分线性质,三角形外角平分线性质,题1,一题多解变式,题2,如图，四边形是正方形，点是边的中
2、点，=90，EF交正方形外角的平分线于。求证：=E。（人教版八年级下册第69页第4题）,一题多解变式,题2,证法1,证法2,证法3,证法4,证法5,证法6,一题多变变式，就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、类比、分解、拓广等多角度、多方位的探究，使一个题变为一类题，达到举一反三、触类旁通的目的，培养学生良好的思维品质及探索、创新能力。,一题多变变式包括条件变式、结论变式、逆向变式、图形变式、分解变式、拓广变式、推广应用等。,一题多解变式,一题多变变式,一题多解变式,一题多变变式,条件变式就是对某一题目的条件进行变式，从而得到一类变式题组。通过对变式题组的分析解答，使学
3、生掌握一类问题的题型结构，加深对问题本质的认识，提高解题能力。,条件变式,一题多解变式,一题多变变式,条件变式,已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6,求y与x的函数关系式.(教材例题),题3,一题多变变式,条件变式,题3,变式：（中考试题）如图，反比例函数(m0)与一次函数ykxb(k0)的图象相交于A、B两点，点A的坐标为(6，2)，点B的坐标为(3，n)求反比例函数和一次函数的解析式,一题多变变式,条件变式,题3,变式2：（中考试题）如图，A、B两点在函数 的图象上.求m 的值及直线AB的解析式。,一题多变变式,条件变式,题3,变式3：（中考试题）如图，已知一次函数yx1与反比例函数
4、 的图象都经过点(1，m)(1)求反比例函数的关系式；(2)根据图象直接写出使这两个函数值都小于0时x的取值范围,一题多变变式,条件变式,题3,变式4：,一题多变变式,条件变式,题3,变式5：（中考试题）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，tanAOC=，点B的坐标为（m，-2）。（1）求反比例函数的解析式（2）求一次函数的解析式,一题多变变式,条件变式,题3,变式6：（中考试题）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数 的图象上求反比例函数的解析式。,一题多变变式,条件变式,题4,如图1，的对角线AC，BD交
5、于点，是上的两点，并且=.求证四边形是平行四边形。（人教版八年级下册第46页例）,图1,一道课本例题的演变,一题多解变式,一题多变变式,结论变式就是在问题条件不变的情况下，引导学生运用类比、联想等发散思维，将问题的结论向横、纵方向拓展，达到以点穿线、触类旁通之目的，依此培养学生创新精神和实践意识。,结论变式,一题多变变式,结论变式,如图A,P,B,C是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.,（人教版九年级上册第90页14题）,变式1,求证：=,题5,一题多变变式,结论变式,如图A,P,B,C是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.,（人教版九年级上册第90页14题）,题5,变式1,求证
6、：=。,求证：(1)(2),变式2,变式3,变式4,一题多变变式,逆向变式,逆向变式就是当一个命题获得解决以后，启发、引导学生分析、探究所解决命题的逆命题，并判断其是否成立，以培养学生的逆向思维和创新能力。,一题多变变式,逆向变式,已知：如图，在ABC中，AB=AC，DB=DC，DEAB，DFAC，垂足为E、F求证：DE=DF（人教版八年级上册P89活动3）,变式2:求证：BD=DC.,变式1:求证：AB=AC.,变式3:求证：DEB=DFC=90,假命题,题6,一题多变变式,图形变式,图形变式就是以基本图形为“生长点”，通过将其变换、引申为相关图形而得到变式题组，从而培养学生对几何图形的识图
7、能力、想象能力、变换能力及思维的多向性和灵活性。,一题多变变式,图形变式,如图，已知=,=.求证：/,该图是全等三角形中的基本图形，也是四边形中非常重要的基本图形，若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋转），便得到一串基本问题和中考题。,题7,一题多变变式,图形变式,题7,图1（）是全等三角形中的基本图形，也是四边形中非常重要的基本图形，若对此图实施基本变换（平移、翻折、旋转），便得到一串基本图形和常见问题。,东方名家第七讲,一题多变变式,图形变式,题8,东方名家第七讲,如图,ABD,AEC都是等边三角形，求证：BE=DC.(八年级（上）教材P83第12题),实际上就是【题7】变式图10体现的变
8、式,图2,一题多变变式,图形变式,题8,等边变等腰,等边变正方形,两个变三个,等边变正方形,东方名家第七讲,图2,图5,图4,图6,一题多解变式,把基本图形变成平行四边形,东方名家第七讲,题8,图形变式,图2,图7,图8,图9,图10,图11,一题多解变式,分解变式就是对综合性较强的数学问题，引导学生将其分解为几个基本问题，通过对基本问题的求解，逐步达到解决问题的目的。,分解变式,一题多解变式,分解变式,东方名家第八讲（上）,图1,题9,本题为山西中考试题的压轴题，综合性较强。若分解为下列题组，则较易求解。,长春市2014年中考-24题,一题多解变式,拓广变式,拓广变式就是将某一问题的条件和结
9、论变换成一般的形式，让学生把研究对象或问题扩展到更大范围进行考察，进而开阔学生的视野，培养学生良好的思维品质和创新能力。,一题多解变式,题10,如图，四边形是正方形，点是边的中点，=90，EF交正方形外角的平分线于。求证：=。（人教版八年级下册第69页第4题）,拓广变式,东方名家第八讲(下),一题多解变式,拓广变式,变点E的位置,变角的大小,变边数及角的大小,变边数及角的大小,变边数及角的大小,变边数及角的大小,题10,东方名家第八讲(下),图1,图2,图3,图4,图5,图6,图7,图4,多题一解变式,多题一解变式常体现在两个方面：一是将某一题目改变表达形式而变为另一内容的题目，但题目本质不变
10、，解法相同;二是通过互为逆否命题转换而得到的等价命题或不同题型间的转换，如选择题变为填空题，解答题变为证明题、探索开放题等，都属多题一解的范围。,多题一解变式,已知方程 的两个实数根的平方和是34，求m的值。,变式：若方程 的两个实数根的平方和是34，则m。,变式：若方程 的两个实数根的平方和是34,则m的值是（）.-.,变式：是否存在实数m，使方程 的两个实数根的平方和是？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。,变式4：若方程 的两个实数根的平方和是34，求证：m30.,【题11】的变式属题型变式,题11,多题一解变式,题12,【题12】的变式属等价变式,m是什么实数时，方程 有实数？,变
11、式1：m是什么实数时，函数 图象与x轴有公共点。,变式2：m是什么实数时，关于x的不等式 的解集是空集？,变式3：m是什么实数时，关于x的二次三项式 能分解为两个因式的积。,变式4：m是什么实数时，直线 与抛物线 有公共点。,变式5：m是什么实数时，直线 与抛物线 有公共点。,一题多用变式,一题多用变式，就是以教材中的基本例、习题为集中目标，探讨该习题及其变通形式的应用，挖掘基本习题的解题功能，从而提高学生的解题能力。,三个直角，得俩三角形相似,一题多用变式,【题13】如图1，90，是中点，平分 求证：,（人教版八年级上教材题）,题13,图2,图1,一题多用变式,题13,图2,图3,图4,图5
12、,图6,一题多用变式,题13,图2,图7,图8,图9,图10,图11,综合变式,前面，我们分类给出了例题、习题的多种变式形式，应当指出的是，各种变式不是彼此孤立、单一实施，而是交叉渗透的，在同一题目的变式中，常常是各种变式相伴而行。因此，在实施的变式教学时，要注意各种变式的交叉作用。,【题13】如图1，90，是中点，平分 求证：,（人教版八年级上教材题）,图1,变式得下面中考题,题14,综合变式,（某市中考试题变式）,巧用中考试题进行复习,已知：在四边形ABCD中,AB/CD,A=90 AB=9,BC=13,CD=4,E是AD的中点.求证：CE BE.,山西中考,2014,2016,2010年北京压轴题,2010年北京压轴题,2010年北京压轴题,轴对称,类比,习题变式不是为了“变式”而变式；,习题变式可以是教师“变”学生做，也可以是学生“变”学生做，还可以是学生“变”师生比赛做；,“强化旧知激发兴趣形成技能培养能力”,结束语,努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”要把握好变式的“度”,
