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1、第三章函数的概念与性质夯实基础篇-10函数解析式的求法一、问题导入1.函数的表示法？2如何求解函数的解析式？有哪些常见的求解析式的方式？二、知识构建知火点：函数解析式的求法1.换元法：令E=g(),再求出/”)的解析式，然后用X代替r(g()解析式中所有的I即可.2待定系数法；已知Fa)的函数类里，要求FJ)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.例如，一次函数可以设为八公=h+双AW0)：二次函数可以设为fJ)=aV+8+c(a0)等.3 .配凌法：已知r(g(x)的解析式,要求NX)时,可从Ng(r)的解析式中拼凑出“虱力”，即用式力来表示,再将解析式两边的用X代替即可.4 .方
2、程蛆法：已知程力与HgCO)满足的关系式,要求人力时，可用g(x)代普两边的所有的X，得到关于F(X)及，以X)的方程组.解之即可得出(x):三、类型应用类型换元法求函数解析式【例I】已知函数/*-3)=-4.r+6,求X)的解析式.【答案】/(x)=r+2x+3:【分析】(1)令f=x-3,则x=r+3,求出/即得解：【解析】令r=x-3,则X=r+3.因为/(-3)=f-4x+6,所以”)=U+3)2-4(1+3)+6=/+2/+3故)=2+2x+3【跟踪训练it】已知数f5+i)=)2,则*)的解析式为()A./(x)=B./(x)=(x-2C./(X)=X2-ID./(x)=(.v+1
3、.)1【答案】B【分析】首先换元，设x+1.=r=x=-1.,再代入求函数的解析式.【解析】设x+1.=r,则x=r-1.,则f()=(-*1.)2=(-2)2,即/()=(-2)Z.故选：B【跟踪训练卜2】已知/(2r+1.)=-2t,则3)=；/(.r)=【答案】-I72-+7424【分析】利用换元法求得外力的解析式,从而求得利3),由此得解.【详解】因为/(2+1)=-2,令r=2t+1.,则所以/(NT-9+14Z4则/(3)=$3,-53+j=-1.故答案为：T:IX1.=X+1424【跟踪训练3】已知/(x+2)=2-2,且/（八）=4,则“=()A.10B.6C.5D.3【答案】
4、C【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数。的值【解析】.(x+2)=2v-2,且/(O)=4,所以，解得二.2x-2=4=5故选：C.类型二待定系数法求函数解析式【例2】已知劝是二次函数,I1.满足/(0)=2J(X+2)-f(X)=2x+4,求人外的解析式.恪案】/(x)=x2+v+2.【分析】设所求的二次函数为/(.0=+尿+dw),根据已知求出”,Ac即得解.【解析】设所求的二次函数为f(x)=a+bx+Ga0).:/(0)=2.c=2.Jftijf()=ax2+fev+2.又.(x+2)-f)=2x+4,.,.(X+2)2+/HX+2)+2-(v2+hx+2)=2.r+4,即4+4
5、u+2=2,r+4,由恒等式性质得4=2.4+2=4.=-,2b=.所求二次函数为/(x)=gw+X+2.【跟踪训练27】已知二次函数/(x=+板+c(0)满足/(0)=3(3)=(-)=0.求/的解析式;(2)求的对称轴方程和图象上最高点的坐标.【答案】=2x+3(2)对称轴为X=I,最高点的坐标为(.4)【分析】(1)利用待定系数法直接求解析式：(2)结合二次函数的性质求解即可.【详解】1依题意设KX)=ax1.+bx+c(aW0).因为/(0)=3J(3)=/(T)=0,所以c=3J(3)=9o+动+3=OJ(-1)=-b+3=O,解得rt=-1.ft=2,c=3,则/(x)-x+2x+
6、3.(2)由1)知“0=-/+2x+3所以)-x+2x+3-*-a+4,所以八X)的图象关于直线X=I对称抽，图象上最高点的坐标为(1.G.【跟踪训练2-2】已知一次函数的图象过点次,0)和(0,1),则此一次函数的解析式为()A.F(X)=-XB.f(x)=-C.FCr)=X+1D.F(X)=-XH【答案】D【分析】利用待定系数法可求出结果.【解析】a+b=0,设f(x)=axZ(a0),则有/?=1,所以a=-1.,2c1.,所以tx)=-+1.故选：D【点睹】本题主要考杳函数的解析式的求法，意在考隹学生对这些知识的理解掌握水平.【观踪训练2-3】已知一次函数f(x)满足AF(x)Xr1.
7、,求fj)；【答案】/(x)=2x-)=a(aA)+b=a:xabb.,.,r)=4A-1,=4ub+b=-a=2(、.=-2解得八I或/.，h-j1.z,=1.1.f(x)=2-jf(.x)=-2a-+1.类型三一配凑法求函数解析式【例3】己知/卜一口3+，求/V)：【答案】)=r+2;【分析】利用配凑法可求函数的解析式.【解析】(1)(配凑法):/卜-1=/+*=卜一1)+2,./(x)=2+2.【跟踪训练3】已知函数X5+1.)=x+21.则的解析式为【答案】x)=Z-1(1)【解析】法一(换元法)：设w=5+,则*=1/，z,代入原式有/(rt=(i-1.)2+2(f-1.)=i8-2
8、t+1.+2f-2=rj-1.故f(*)=*-1,x1.法二(配凑法)：因为*+25=(I)j+2+1-1=(+1.)z-1.所以f(+D=(W+D：1,5+121,即武力=*一I,x1.答案：)=-1(x1)类型四一方程组法求函数解析式【例4)已知/(X)+2jj=.V(H0),求/(X).【答案】/(x)=-(x0).33【解析】.f(x)+2(*x,，)+2,(x)=1.XX-X2得：-3f(X)=X：./（八）=-4(0)3x3【跟踪训练4已知函数W为【答案】/(x)=-.v-(0)X【解析】函数y=/(M满足./Xr)=2/(X,可得卜2x)=jf(x)=-x-(x0).X2X=/(
9、X)满足/(X)=2,4-)+3r，那么/(X)的解析式J+3x,即“)-2(J=3x,用T代替上式中的/(x)-211=3x1,由/、IJ，消去，得fj-2(x)=21【分析】在等式的两边同时以1.代X,构造一个新的等式，然后，求解/(x)X即可：四、数学情境【例5】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：$公里以内(含5公里)，票价2元；5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图像.2.Ox5【答案】(i)=3.5xIO4,IOx1.55.!5.r20(2)
10、作图见解析.【分析】(1)根据给定条件，分段求出函数关系式作答.(2)由(1)中函数式，作出函数图象即可作答.【详解】(1)依题意，令X为里程数(单位：公里)，/为行驶X公里的票价(单位：元)，当0x5时，-2,当5x410时，/(.v)=3,当IOvx415时，/(x)=4,当5v*420时，/(x)=5,I2,Ox5IM*I*5,15x2O由得函数/的图象,如下：【跟踪训练5】如图，把截面半径为25Cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为XCm,面积为.vein?,把)，表示成X的函数，并指出自变量的范闱.【答案】y=x25OO-.t*0x50【解析】根据圆的半径可知直径，然后在直角三
11、角形中根据勾股定理表示出矩形的另外一边，即可表示出矩形的面积，由于矩形内接于圆，所以可知矩形的边长大丁零小于圆的直径.【详解】因为半径为25cm,矩形的一边长为XC叫则矩形另一边为病F,所以矩形面积F=X标二了.由于矩形内接于网,所以其边长的范用是：OVK50,把y表示成K的函数为:y=xj2500-x，OVK50.【点睹】本题号查了的函数的应用，其中主要是将实际问题转化为数学问题也即数学建模，属于基本题型，解题的关键是根据矩形内接于圆这个条件得到自变量的范围.五、随堂检测题蛆一1 .下列各图中，不可能是函数/(x)图象的是()【答案】C【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】对于C当KG(
12、O.E)时，任意X对应两个y,罐然C错误.故选：C.2 .下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（）（1）我骑着车探开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间：（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到/作业本再上学：（3我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.【答案】D【分析】根据题海，结合条件对图像逐一分析，即可得到结果.【详解】（1）我骑着车离开家后-路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业
13、本忘在家里/,r是返回家里找到r作业本再上学，此时离开家的距离递减到o.然后再递增,对应图像C：（3）我从家出发后，心情轻松,路缓与加速行进,此时图像为递增图像，对应图像B；故选：D)B./(x)=,g(x)=VD./(.v)=.t+1.,g()=-；3 .下列各组函数表示I可一函数的是（.f（x）=J7,s（-r）-（7）cyw4XtQ且kh2C.卜亭回B. (X1.XVg且x2D.(K1.X2且KW2)【答案】D【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.fir-*O7【详解】由题意解匚)，解得X2且x2,即定义域为且x.故选：D.5 .函数/(x)=E-ZhX
14、a-2,2的值域是()A.-1.0B.0.8C.1.8D.-.8【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可.【详解】/(t)=r-2,对称轴为=1.,-X2,.函数/(t)在卜2,1上单调递减，在(1.2上单调递增，(v1.=()=-1,由对称性可得x)ma=/(-2)=8,所以函数/CO的值域是T8故选：D.6 .设八0=1：+/：*则/V(T)=()11*、U.3B.5C.-1D.1【答案】A【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值.【详解】=,v+2;0.R1.J(-9=(,)=1.+2=3.UVU故选：A7 .函数/(K)=J-4-2/3+的定
15、义域为.【答案】卜3.-2)(-2.1分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可.【详解】解不等式组得-3X41且，HJ.te-2)(-2.i,所以函数/(x)的定义域为T-2)u(-2j.故答案为：-3.-2)5-2.18 .已知函数/(x)=FU八，如果/(%)=4,那么实数小的值-x+1.nvO为.【答案】2或-3.【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得.【详解】因为小)=*o又,所以0oOk=4+1.=4解得小=2或u=-3.故答案为：2或-39 .VxeR,用*)表示/(“x3J()中的最小者，记为KM=min/(),(x),(x),则函数WI(X)Umin4.r+1.-2x
16、+4,x+2的最大值为,【答案】鸿【分析】画出函数MX)=min4x+1.-2x+4+2的图象,结合图象即可求得结果.【详解】如图所示,4x1.,.t由图可知,MX)=min4x1.,-2.v+4.v+2=C12x+2,-x，3x1.-5x+2,求-)J(-)JS+3)J+”3)的值.【答案】/(-2=8+5:/(-rt)=3,+5f1.+2;/(11+3)=3+I3+I4；/(0)+(3)3a25a16【解析】直接代入解析式求值即可.【详解】解：/(-2)三3(-2)1-5(-T)2-852;f(-d)=3(-ay-5(-rt)+2=3z+5+2:/(+3)=3(+3)1-5+3)+2=V+
17、13w+1.4/(0)+(3)=3f-5+2+332-53+2=3,-5f1.+16.【点睹】本期考杳了求函数值，考杳了代入思想，考杳了数学运算能力.I1.已知函数g(x)=段，-6(1)点(3,14)在函数的图像上吗?当x=4时，求g(x)的值：(3)当g(x)=2时，求X的值.【答案】(D不在：(2)-3：(3)14.【分析】将=3,=4,g(x)=2分别代入将工)安即可得所求.X-6【详解】(1)以3)=若=-：,故点(3J4)不在函数8(x)的图像上.(2)s(4)-4-3.4012.确定下列函数的定义域：“加忌；E)=F.【答案】(1)(-2J(F-2)U(-2T)U(T田)【分析】
18、(1)根据二次根式的性侦和分式的性版进行求解即可：(2)根据分式的性质进行求解即可.【详解】(D因为二次根式的分母不能为零，即，且需E0,即-2x,故x)的定义域为(-N1(2)因为2+3x+2=(k+I)(n+2)hO,所以XH-I且故g(x)的定义域为(f-2)J-2-1)j(T*o):x.t-2(选做)已知/(x)=J+1.-2x4,若/-3,则。的取值范用为()3.x4A.(-3,+)B.-3,)C.(-.-3)D.(-.-3【答案】C【分析】分段讨论求解不等式再整合答案即可.x.-2【详解】已知X)=x+1.-2x4当a-2时，f（八）-a,由/(。)-3得“v-3.-3：当-24时
19、，/()=+!,由4)-3得+1.v-3,解得。4,此时不等式无解：当“24时，)-,由/()-3得初V-3,解得“T,此时不等式无解.综上所述，”的取值范围是(y,-3).故选：C.题蛆二1 .已知X)是反比例函数，且A-3)=T,则)的解析式为()A.f(x)=-B./(.-3-5,则X)=()A.3x-2B.2.r+3C-3x+2D.2x-3【答案】A【分析】设一次函数了=，“+河“工0),代入已知式，由恒等式知识求解.【详解】设-次函数了=+伙*0),R1.Jf(x-1.)a(x-1.)+1.fax-a+b,由/(x-1.)-3x-5v-rt+h=3x-5,即J：,解得|：,.(x)=
20、3x-2,o-11三-5b=-2故选:A.3 .已知f(x+)=f-2什2,则函数/(x)的解析式是()./(.r)=jr-6.v+3B./(.v)=.r2-4.r+5C./(x)=x,-4.v-5D./(x)=-6x+10【答案】B【分析】利用换元怯可求f(x)的解析式，结合选项可得答案.【详解】令r=x+1.,由于XWR,贝JyR,X=J-1,所以+1.)()-(-1.)2-2(-1.)+2-r-4+5,f(t)=r-4f+5,所以函数/(*)的解析式为/(x)=F-4x+5.故选：B4 .若函数八外=x-,且。)=8,则。=().9B,11C.10D.8【答案】A【解析】转化条件为0)=
21、T=8,即可得解.【详解】因为/(x)=x-,所以3)=-1=8,解得=9.故选：A.5 .已知函数/(x)满足：/r-1.j=+-1.-t则/(x)的解析式为()A./(x)=+2B./(x)=xjC./()=.+2(.v*0)D./(.r)-2(xO)【答案】A【分析】通过化简即可得出函数的解析式.【详解】因为/,T=F+g=,T+2,(X)=XF,故选:A.6 .已知XT)=一,则/=【答案】5【分析】应用赋值法求函数值即可.【详解】.v=2,.(2-1.)=32-1.=5.-.(1.)=5.故答案为57 .已知函数/(M=一7*.则/)=.x0【答案】T【分析】首先求/，再求/(/)的
22、值.【详解】=-i,(i)=(-i)三-.故答案为：-18 .己知一次函数”。是R上的减函数，且八f(x)=4x+3,则/=.【答案】-2-3【分析】设/=M代入析f(x)=4x+3,可得解析式.【详解】因为八幻是R上的减函数，所以设/(*)=u+XvO),J(x)(r+)+a2+4x+3,所以匕=：V解得仁：或kab+b=3|=-3(0=I=-2乂“3【分析】由题意分为两种情况分别求出关系式，写成分段函数即可.【详解】设路程为Akm时，收费额为)，元，则由题意得：当*43时，y=程当x3时，按2.4元km所收费用为2M(x-3),那么有5=9+2.4(x-3).于是，收费额关于路程的函数解析
23、式为H24(i,Wf1.1.1.9,OVXM31v1.2.4x+1.8.xi10.(1)已知J7+I)=x+3,求函数/(x)的解析式；(2)已知/(X)是二次函数，且满足0)=1,/(x+1)-(x)=2,求函数/(x)的解析式；【答案】(1/(x)=x2-2x+4,i(2)/()=-x+I【分析】(1)用换元法即可求得八法解析式:(2)用待定系数法即可求得了()解析式.【详解】(I)设,=+1,，21,.=(-0,=+3=2-2+4,1,（八）=x2-2x+4,.(2).f(x)是二次函数，：.设/(x)=v+bx+c(aO),由0)=,得C=1，由/(x+1.)=x)+2xf(J(+1.
24、)+(+I)+I=a+I+2x,整理得(-2)x+(+)=0,.2-2=O,a+b=O,.=1,=-I,.,./（八）=aT-x1.由特定系数法可知解得J21.D2所以/3=白、3+2.六、素养提升I.函数y=(x)的图象与直线x=2O23的交点个数()A.至少有I个B.至多有I个C.仅有1个D.可能有无数多个【答案】B【分析】根据函数y=()的定义判断.【详解】当X在定义城内任意取一个值,都有唯一的一个函数值八*与之对应,函数)1=AX)的图彖与直线X=2023有唯交点：当X不在定义域内时.函数值X)不存在.函数)=幻的图象与直线=2O23没有交点。故函数.v=()的图象与直线=2O23至多
25、有一个交点，即函数y=()的图象与直线x=2O23的交点至多有个，故选：B.2 .函数“J)的图象如图所示，函数r=/的定义域、值域各是什么？(2)取何值时，只有唯一的P值与之对应？图中，曲线,与直线无限接近,但永不相交.【答案】(1)-52),0.+CO)0.2)55)【分析】根据函数的图象，分析出自变量和函数值的范用，可得值域和定义域：(2)根据函数的图象,即可得到结果.【详解】(1)解：由函数,=/()的图象可得，函数r=/()的定义域为：(-52),值域为：设+孙(2)解：由己知中函数r=/()的图象可得：当re02)u(52)时，只有唯一的值与之对应.3 .高斯是国著名的数学家，近代
26、数学奠基者之享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeK,用W表示不超过X的最大整数，则=3称为高斯函数，例如：91,1.5k1.,已知函数/(x)=1.-3x+4(1.x4),则函数.V=的值域为()A.g.)B.-to.1C.-1.0J.2D.J.,2)【答案】B【分析】首先根据二次函数的性质求出/U)的值域，再根据高斯函数的定义求出尸f(x)的值域：【详解】解：因为/(x)=!x1.3x+4=g(x-3f-gXe(1,4),所以函数在(1.3)上单调递减，在(3.4)上单调递增，所以“4.3卜-；,又/，/(4)=0,所以X)-摄，因为y),所以八io：故选：B4.如图
27、所示，一座小岛距离海岸线上最近的点尸的距离是2*加，从点?沿海岸正东126”处有一个城徽.城饿小岛(】)假设一个人驾驶的小船的平均速度为弘而力，步行的速度是“r/，(单位：)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：kG表示此人将船停在海岸处距点尸的距离，请将f表示为X的函数.(2)如果将船停在距点尸4A加处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到I)?【答案】(1)f=Zti+1.mz3(ft).【解析】(1)利用勾股定理，结合速度、路程、时间的关系，根据题意可以求出关于X的函数的解析式：.(2)代入求值即可.【详解】解：(1)如图，4JEm此人坐船所用时间为g=W三,步行所用时间为与%,.z=qZ+与(j融.(2)当时，正三生口+叵3g3553【点潞】本题考查r根据实际背景求函数的解析式，考查数学阅读能力，考查了数学建模思想.
