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1、1、消元：将多元化成一元代数方程拓展题型代数方程的解法根本思想2、降次：将高次降成低次特殊方法换元法、因式分解法、公式法、配方法、配项法、有理化法、变更主元法等题型一、二次三项式的因式分解(1) 假设方程的两根为，则二次三项式可分解为：=(2) 推导出公式=a*-*1*-*2步骤：1. 形如，可令 假设，则方程有两个实数解和，则 假设，则在实数围无法再分解因式。2. 形如，可令此处将看成未知数，而作为一个参数注意：1、分解因式时a不能去掉，这和解方程不是一回事； 2、是*与两根之差的积，不是和。例1把分解因式。解：方程的根是(PS:写成如上形式即可)例2 把分解因式。分析：将 y看作常数，将原
2、式看成是关于的二次三项式。稳固练习1、把在实数围分解因式，正确的选项是( )(A) (B)(C ) (D)2、在实数围分解因式：_。3、在实数围分解因式：。题型二：高次方程一一元高次方程的特点：1整式方程；2只含有一个未知数；3含未知数的项最高次数大于2。一般的，如果=0，则：或或；=则是方程=0的n个根。解高次方程的根本思想：化高次为低次二常用方法：1因式分解法；把高次方程化成A=0的形式，再把A分解因式，即=0，所以：或或例1 解方程解：原方程可变形为，所以说明：当 ad=bc0时，形如的方程可这样解决：令，则于是方程可化为：即方程也可以用类似方法处理针对练习：1、 的解是_。2、方程的解
3、是_。3、的解是_。方法思路：按照从高到低降次排列，提公因式或者分组分解。系数成一定的比例更方便提取公因数2换元法；通过换元把高次方程化为次数较低的方程，这种方法在高次方程、分式方程、无理方程、方程组中都很有用处，这种方法应该掌握，根据题目的特点合理加以利用。例2 解方程分析：如果将式子展开再用因式分解法，显然计算量过大，不显示，故而要寻求别的方法。观察左边4个因式，看如何两两组合相乘，能产生一样的项？解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得：设，则即解得将分别代入中得，所以思考：对于这种形式的方程，你找到规律了吗？针对练习：1、解方程。2、方程的解是_。3、方
4、程的解是_。题型三、分式方程拓展一分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。注意：分式的分母不能为0。解分式方程的根本思想：化分式方程为整式方程二常用方法：1直接去分母法；步骤： 1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最简公分母； 3、方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程； 4、解整式方程； 5、验根将根代入到最简公分母，看最简公分母是否为0； 6、下结论。例1 解方程分析：去分母，转化为整式方程解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；把代入，等于0，所以是增根所以，原方程的解是2换元法；解题思路：
5、用换元法将原方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式子，再求根验根。一般应用于较为复杂，直接去分母会导致计算量过大的方程，以下举例均为常见的题型。例2 解方程分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程解：设，则原方程可化为：(1)当时，；(2)当时，检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0所以，原方程的解是，说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，表达了化归思想例3 分析：观察三个分式分母，有2个不能分解因式，如果直接去分母，显然不现实；观察三个分母的特点，都含有，
6、故而可以考虑换元。注意体会此题中的解题思想。解：设方程转化为解得y = 注意，既然换元了，就暂且将y理解成未知数，为参数 = -7* 解得经检验，均为元方程的根例4 解方程时，设分析：如果直接去分母，将变成高次方程。观察题目特点，有，可考虑配方，换元。解：原方程化为令，则原方程化为解得：将代入解得，；将代入解得，经检验，均为原方程的根稳固练习:解以下方程1答案：2答案：3答案：3倒数法解题思路：观察方程，形如：的形式，可直接得出。例5 ：_。分析：条件中，*，互为倒数，其中互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法。解：，例6 解方程：分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，设解：
7、原方程变形为当时，则，解之得当解之得经检验是原方程的根。拓展公式：的解是即的解是的解是的解是思考请观察上述方程的特征，比拟关于*的方程与他们的关系，猜测它的解是什么，请利用这个结论解关于*的方程。4分组通分法；解题思路：当分母相邻两个的差相等，且分子可化为一样时，先分组通分，会使计算更简便。例7 解方程解：检验例8 解方程解：别离常数思考为何要移项相减？步骤同上题检验稳固练习：解方程12三分式方程与增根相关的问题1、分式方程的增根同时满足两个条件：1是由分式方程化为整式方程的根。2使最简公分母为0。2、增根与无解的区别联系：分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过
8、程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不管未知数取何值，都不能使方程两边的值相等它包含两种情形：一原方程化去分母后的整式方程无解；二原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。例1假设方程-=1有增根，则它的增根是 A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析：使方程的最简公分母 ,但不能忽略增铲除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：当时,此时m 无解；当时,解得m=3。由此可得答案为B。注意：-1虽然能使分母为零，但是它不是原
9、方程的根。例2 关于*的方程无解，求m的值。解：先把原方程化为1假设方程1无解，则原方程也无解，方程1化为，当，而时，方程1无解，此时。假设方程1有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程1的解为时原方程无解，代入方程1，得，故。综合以上，当或时，原方程无解。m=1原方程无解，m=3原方程产生增根。注意：原方程无解包括两种情况：原方程本身就无意义，原方程的解全部是增根。1由增根求参数的值这类题的解题思路为：1、将分式方程去化成整式方程方程两边同时乘以最简公分母2、确定增根题目或使分母为零的未知数的值3、将可能的增根分别代入整式方程，求出参数的值增根是由分式方程化成的整式
10、方程的根例3 关于*的方程有增根，求k的值。解：把原方程去分母，化为。1因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或假设增根为，代入方程1，得，；假设增根为，代入方程1，得，。故当或时，原方程会有增根。2由分式方程根的情况，求参数的取值围这类题的解题思路为：1、 将原方程化为整式方程。2、把参数看成常数求解。3、根据根的情况，确定参数的取值围。注意要排除增根时参数的值例4 关于*的方程-2=有一个正数解，求m的取值围。分析：把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值围，但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：，整理得：，原方程有解，故不是增根。由此可得答案为m的取值围是综上
11、所述关于增根的问题，一定要弄清楚增根的定义，及增根必须满足的条件，和解这类题的思路。稳固练习1、 当m=_时，分式方程会产生增根。2、方程当k为何值，解这个方程时会产生增根；k为何值时，这个方程只有一个实数解。题型四：无理方程拓展一无理方程的概念：根号含有未知数的方程叫做无理方程。注意：被开方数要为非负数。无理方程的解法思想：化无理方程为整式方程二理方程的常用方法：1直接平方法；步骤：1、将无理方程整理成同号；由此，可判断方程是否有根。当，方程有实根；当方程无实根。 2、将等式两边平方，将无理方程变为整式方程；3、解整式方程； 4、验根和分式方程一样，无理方程必须要验根。验根是将根代入原方程，
12、看方程两边是否相等； 5、下结论。例1 解方程分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样左右两边平方，整理后就可以转化的模式，再将等式两边平方，将无理方程变为整式方程解方程解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根把代入原方程，左边右边，所以是增根，舍去。所以原方程的解是例2 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得*23*-280，所以 *1=4，*2=-7经检验知，*2=-7为增根，所以原方程的根为*=4说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的一边只保存一个含未知
13、数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程并验根练习题1、解方程2、解方程2换元法；解题思路：用换元法将原方程变形，然后去根号，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式子，再求根验根。例3 解方程分析：此题假设直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理解：设，则原方程可化为：，即，解得：或(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解检验：把分别代入原方程，都适合所以，原方程的解是说明：解决根式方程的方法
14、就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，表达了化归思想练习题：解方程1；23有理化因式法；解题思路：原方程两个根式的平方差是一个实数，用平方差方程除以原方程，得到原方程的有理化方程，再把原方程与有理化方程结合，加减消元法，求出式子的值，再求根验根。例4 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即便得由+得：稳固练习1、解方程，因为，则，所以，由此解得。2、假设方程，则，方程的解是_。4配项法解法思路：观察原方程中有可以配成两项和的一半的项，即用完全平方将方程配方。从而将原方程转化为完全平方的形式。例5 解方程解析：需要注意的是：可看成是 2 * ，且,巧好等于原方程中的二次项一次项
15、，这就启发我们是否可用“两项和的平方，即完全平方公式将方程的左端配方将原方程变形为即，所以或由解得：由解得：经检验，为原方程的根；当时，所以为增根所以原方程的根为例6 解方程解：考虑到 ,且= 2*+2 ,于是将方程化为：即所以移项得题型五：二元二次方程组拓展1、概念：二元二次方程：方程中含有2个未知数，方程的最高次数为2。二元二次方程组：含有2个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2次的方程组。方程组的解：同时满足方程组中两个二元方程的的解。2、二元一次 + 二元二次；解题思路：当方程组是一个二元一次方程和一个二元二次方程组成时，将二元一次方程变形后代入二元二次方程，使
16、二元二次方程变为一元二次方程，求其解，代入原方程组，求出原方程组的解；练习题1、，则；2、，则_。3、二元一次 + 二元一次解题思路：当方程是由两个二元二次方程其中一个可以分解为两个二元一次方程组成时，先将可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组组成两个新方程组，求其解并合在一起，既为原方程组的解。小秘书：如果方程组中含有分式方程或无理方程，则要对方程组进展验根。练习题1、解方程组4、形如解题思路：把*,y看作是一元二次方程的两根，化二元二次方程组为一元二次方程。练习题：方程组125、形如解题思路：换元法，化分式方程组为整式方程组。做一做1方程组，的解是_。6、由方程组解的情况求方程中参数解题思路：此类题中的方程组一般由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，将二元一次方程变形后代入二元二次方程，使二元二次方程变为一元二次方程，方程组的解的个数和一元二次方程的解的个数一样，由一元二次方程的解的情况，可判定方程中参数的取值围。例1、：方程组有两组实数解，求m的取值围。解：将(1)代入2得3由题意方程组有2组解，可知3为一元二次方程，且有2个不等的实数根，故而有：解得：针对练习：1假设方程组有正整数解，求的值；2假设为一个三角形三边的长，方程组只有一组解，试判断三角形的形状。3方程组对于任意的实数都只有一组解，求的值；1答案：；2等腰三角形；3；
