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1、平面有限元解法,设有对角受压的正方形薄板（如上图所示），载荷沿厚度均匀分布，为2N/m。试对该结构进行整体分析，建立整体刚度矩阵和整体结点载荷列阵，建立整体结点方程组，通过编程求解出结点的位移，并从而求出各单元的应力。（为简单起见，取板的厚度t= 1 , 弹性常数E =1,泊松比0）,右图为取1/4模型，离散后，单元、结点、荷载和约束的简图。,1 简化力学模型、选取单元类型 结构及荷载沿双轴对称，选取1/4结构结构。 图所示为平面应力问题，平面应力单元类型中，3结点三角形单元,2 结构离散，单元编号、结点编号,将对象划分成4个单元，共有6个结点，单元和结点上均编上号码，其中结点的整体编码1至6
2、，以及个单元的结点局部编码i,j,m,均示于上图中。,3.1 结点位移列阵、荷载列阵,3 单元分析（对逐个单元进行分析。以单元1为例）,3.2 位移函数,3 单元分析,3.3 讨论位移函数的收敛性 （1）完备性 （2）协调性,3 单元分析,3.4 推导形函数（只需分析1个单元，其余可直接用公式计算） 代入结点坐标和位移,3 单元分析,常数,3 单元分析,设,3 单元分析,得到,3 单元分析,3 单元分析,3 单元分析,得到内部任意一点位移和结点位移的关系式,3 单元分析,得到内部任意一点位移和结点位移的关系式,3 单元分析,得到形函数矩阵,3 单元分析,3.5 推导内部任意一点应变和结点位移的
3、转换关系,3 单元分析,3 单元分析,3 单元分析,3 单元分析,3.6 推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系,平面应力的弹性矩阵为,3 单元分析,把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S,3 单元分析,3.7 得到单元刚度矩阵 把B和D矩阵代入,对3结点三角形，可以简化为,3 单元分析,3.8 单元等效荷载计算,4 组成整体刚度矩阵,暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构的整体结点平衡方程组列出：,整体刚度矩阵写成66的矩阵，它的每个子块是22的矩阵，实际它是一个1212的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。,4 组成
4、整体刚度矩阵,整体刚度矩阵写成66的矩阵，它的每个子块是22的矩阵，实际它是一个1212的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。,4 整体刚度矩阵续,由于于结点3和结点2在结构中是通过和这两个单元相联系，因而K23应是单元 的k23和单元 的k23之和。同理，可以找到各单元刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中的位置，得到整体劲度矩阵。,式中k的上标1,2,3,4表示是哪一个单元的刚度矩阵中的子矩阵，空白处是22的零矩阵。,4 整体刚度矩阵续,对于单元、，根据公式，可求得A=0.5m2，,将上式中各子块的具体数值代入整体刚
5、度矩阵K表达式中，得出整体刚度矩阵。,对于单元，根据公式，可求得A=0.5m2，,把0，t1m，代入单元的刚度矩阵，得两种单元的刚度矩阵k都是：,(37),4 整体刚度矩阵,整体刚度矩阵K,(38),5 引入位移边界条件,位移边界条件为：,因此，整体结点的位移列阵就简化为：,5 引入位移边界条件,与这6个零位移分量相应的6个平衡方程不必建立，因此，将整体刚度矩阵中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序号的各行划去，因而整体劲度矩阵K简化为：,6 整体结点载荷列阵,确定了每个单元的结点载荷列阵：,根据各单元的结点局部编码与整体编码的关系，确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中的位置。,6
6、 整体结点载荷列阵,由于该结构只是在结点1受有向下1N/m的载荷，因而，非零元素子块，只有,在考虑了边界条件后，整体载荷列阵为：,平面有限元解法求解整体结点载荷列阵,求解化简后的整体刚度矩阵：,(39),求解以后，得结点位移：,平面有限元解法求解应力转换矩阵,应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：根据0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出应力转换矩阵如下，对于单元、 ：,对于单元,平面有限元解法求解各单元中的应力（续）,应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：,Pa,单元,单元,Pa,平面有限元解法求解各单元中的应力,应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元、中的应力：,Pa,单元,单元,Pa,通用有限元计算程序ANSYS计算结果,通用有限元计算程序ANSYS计算结果,
