直线的倾斜角和斜率(改)ppt课件.ppt

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1、,直 线 的倾斜角 斜 率,问题情境,直线最简单的几何图形,飞逝的流星沿不同的方向运动,在空中形成美丽的直线,问题情境,确定直线的要素,问题1:,(1) _确定一条直线.,两点,(2) 过一个点有_条直线.,无数条,确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.,.,.,.,问题1:如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢? 两点或一点和方向问题2:如果已知一点还需附加什么条件,才能确定直线? 一点和方向问题3:如何表示方向? 用角,问题引入解决本节第一问题,一、直线的倾斜角,1、直线倾斜角的定义:,当直线 l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l 向上方向之间

2、所成的角叫做直线的倾斜角,例1.下列四图中,表示直线的倾斜角的是( ),练习巩固倾斜角的概念:,A,l1,l2,l3,想一想,例2.看看这三条直线,它们倾斜角的大小关系是什么?设,分别为 、 、,规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0,2、直线的倾斜角范围的探索,由此我们得到直线倾斜角的范围为:,想一想,你认为下列说法对吗?,1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。,2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。,对,错,把角的顶点固定在原点了,但是离开了原点,还有许许多多的直线,都与过原点的那条直线平行,倾斜角也相同的.,3、直线倾斜角的意义,体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直

3、角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角。,倾斜角相同能确定一条直线吗?,相同倾斜角可作无数互相平行的直线,问题情境,楼梯的倾斜程度用坡度来刻画,1.2m,3m,3m,2m,坡度=,高度,宽度,坡度越大,楼梯越陡,建构数学,直线倾斜程度的刻画,高度,宽度,直线,P,Q,M,直线的倾斜程度=,类比思想,3、探究:由两点确定的直线的斜率,如图,当为锐角时,,能不能构造一个直角三角形去求?,锐角,如图,当为钝角是,,钝角,1、当 的位置对调时, 值又如何呢?,当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜率公式还适用吗?为什么?,已知直线上两点 ,运用上述公式计算直线 斜率时, 与 两点坐标的顺序有

4、关吗?,数学应用,例1:,如图,直线 都经过点 ,又 分别经过点 ,讨论斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.,l1,l2,l3,l4,解:,直线l1的斜率,k1=,k2=,k3=,直线l4的斜率不存在,直线l2的斜率,直线l3的斜率,P,Q1,Q2,Q3,Q4,直线斜率的计算,K1=1,K2=-1,K3=0,斜率不存在,纵坐标的增量,已知两点 P(x1,y1), Q(x2,y2),如果 x1x2,则直线 PQ的斜率 为:,建构数学,直线斜率的定义,横坐标的增量,请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率.,数学实践,形,数,2、直线的斜率,定义:直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率

5、。斜率通常用k表示,即:,倾斜角不是90的直线都有斜率,并且倾斜角不同,直线的斜率也不同因此,可以用斜率表示直线的倾斜程度,问题3:,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗?,是定值,定直线上任意两点确定的斜率总相等,从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:,k=0,无,k0,递增,不存在,无,k0,递增,数学应用,直线斜率的计算,数学实践,仿照例1,自编两题,使直线斜率分别为正数和负数,想一 想,已知A(2,3),B( m,4),当m为何值时,k0、k0?,当 m2时,k0,当 m2时, k0,建构数学,问题5:,直线的倾斜方向与直线斜率有何联系?,k0,k0,k=0,k不存

6、在,直线从左下方向右上方倾斜,直线从左上方向右下方倾斜,直线与x轴平行或重合,直线垂直于 x轴,拓展研究,1.下列哪些说法是正确的( ),A 、任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B、直线的倾斜角越大,斜率也越大C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或D 、两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是RG、过原点的直线,斜率越大,越靠近y轴。,E、F,练习,数学应用,例2:,经过点A(3,2)画直线,使直线的斜率分别为 0, 不存在, 2, -2.,解:, 过(3,2),(0,2)画一条直线即得,过(3,2),(3,0)画一条直线即得,A(3,

7、2),数学应用,例2:,经过点A(3,2)画直线,使直线的斜率分别为 0, 不存在, 2, -2.,x,解:(法一:待定系数法),设直线上另一个点为(x,0),,所以过点(3,2)和(2,0)画直线即可,说明:也可设点为(0,y)或其它特殊点,则:,A(3,2),1,2,3,2,3,1,数学应用,例2:,经过点A(3,2)画直线,使直线的斜率分别为 0, 不存在, 2, -2.,法二:(利用斜率的几何意义),根据斜率公式 ,斜率为2表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位,再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上,即可以把点(3,2)向右平移1个单位,得到点(4,2),,再向上平移2个单

8、位后得到点(4,4),,因此通过点(3,2),(4,4)画直线即为所求, 将点(3,2)向右平移1个单位,再向下平移2个单位后得到点(4,0),过(3,2)和(4,0)画直线即为所求,A,(4,2),(4,4),练习,5 .结合图形,观察倾斜角变化时,斜率的变化情况,k2k3k1,3.直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan?,4.任意直线有倾斜角,则任意直线都有斜率?,数学应用,如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少?,问题6:,拓展研究,斜率为2,问题7:,直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直线l1,则l1的斜率

9、为多少?,斜率为2,问题8:,平行直线的斜率之间有怎样的关系?,斜率相等,或斜率都不存在,课堂竞技场,斜率为2的直线,经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值为( ),A、a=4,b=0,B、a=-4,b=-3,C、a=4,b=-3,D、a=-4,b=3,C,已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB,KBC,KAB=2,KBC=2,问题9:,如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系?,A、B、C三点共线,判断下列三点是否在同一直线上 (1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5

10、),如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值,(a=-3),课堂竞技场,课堂竞技场,求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(mR)的直线l的斜率k的取值范围。,问题10:,直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系?(课后研究),解:,由斜率公式得直线l 的斜率,回顾反思,3.平面解析几何的本质是 用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想。,两个概念直线的斜率、倾斜角;,2.两个问题- (1)已知直线上两点如何求斜率;(2)已知一点和斜率如何画出直线。,难点展示:,例题一:直线 l 过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为

11、两端点的线段PQ有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围。,例2。已知直线的斜率K的变化范围为( 1,1, 求直线的倾斜角的取值范围。,分析:,因为直线的斜率正负不同,直线的倾斜角范围也不同,因此,应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。,当K ( 1,0)时,当K 0,1 时,,解: 直线斜率K的变化范围( 1,1=( 1,0) 0,1,,所以直线的倾斜角范围为,练习,直线 的倾斜角 =30,直线 , 求 , 的斜率。,解: 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为,练习,解:,推导二:,练习:已知直线l的一个方向向量,解:,,求直线的斜率。,则直线的斜率为 :,例1 如图 ,已知 ,求直线AB,BC,C

12、A的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,解:直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角,求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角:,方法:先用经过两点的直线的斜率公式求斜率, 再求倾斜角。,由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角,由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角,例2,解:,已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围.,已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线,求a 的值.,直线L的倾斜角是连接(3,-5),(0,-9)两点的直线的倾斜角的两倍,求直线L的斜率。,已知直线 和 的斜率分别是 和 ,求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。,由图可知,解:,Y,O,X,知识小结,1、直线的倾斜角的定义,2、直线的斜率的定义,3、两点间斜率公式,

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