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1、充分条件与必要条件,2、四种命题及相互关系,1、命题：可以判断真假的陈述句 可以写成：若p则q。,复习旧知,引入新课,常用正面叙述词及它的否定.,等于,不等于,小于,不小于,大于,不大于,是,不是,都是,不都是,用反证法证明：圆的两条 不是直径的相交弦不能互相平分.,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.,求证：弦AB、CD不被P平分.,分析：假设弦AB、CD被P平分，连接OP后，可以推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.,证明: 假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有,OPAB，OPCD，,即过点P有两条直线与OP都垂直，
2、这与垂线性质矛盾.,所以，弦AB、CD不被P平分.,至多有一个,至少有两个,至少有一个,一个也没有,至多有 n个,至少有n+1个,任意的,某个,所有的,某些,常用正面叙述词及它的否定.,4、如果命题“若p则q”为假，则记作p q.,3、若命题“若p则q”为真,记作p q(或q p).,2、四种命题及相互关系：,1、命题：可以判断真假的陈述句， 可写成：若p则q.,复习,（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；,真,真,假,假,判断下列命题是真命题还是假命题：,判断下列命题是真命题还是假命题：,（1）若 ，则 ；,（6）若 ，则 ；,（
3、3）全等三角形的面积相等；,（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；,（2）若 ，则 ；,（5）若方程 有两个不等的实数解， 则 ,真,假,真,假,假,真,两三角形全等 两三角形面积相等,什么是充分条件？,什么是必要条件？,预习问题：,新授课,1、充分条件与必要条件：一般地,用 、 分别表示两个命题,如果命题 成立,可以推出命题 也成立,即 ,那么 叫做 的充分条件, 叫做 的必要条件.,则称：,是 的充分条件， 是 的必要条件。,P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所 必须具备的前提,一、充分条件、必要条件当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，
4、记作pq，读作“p推出q”一般地，已知命题”若p，则q“为真，则记为pq，这时我们就称p是q的充分条件，q是p的必要条件理解充分条件、必要条件的定义要注意以下三点：,(1)p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立(2)“若p则q”是真命题，pq，p是q的充分条件，q是p的必要条件三种说法是等价的(3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p”这需结合定义理解，判断“若q则p”的真假,两三角形全等 两三角形面积相等,两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件,两三角形
5、面积相等是两三角形全等的必要条件,例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件.,如果若p则q为假命题，那么由p推不出q，记作p q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。,“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B,2. 充分必要条件如果p是q的充分条件， p又是q的必要条件，则称 p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作 ,从集合角度看,命题“若p则q”,引申,设Ax|xp，Bx|xq，即x具有性质p，则xA，若x具有性质q，则xB.如果AB，就是说若xA，则x必具有性质p，则pq；类似地AB
6、与pq等价例如，A中学生，B学生，AB，即某人是中学生，必是学生，若是学生，但不一定是中学生，所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分不必要条件从集合的角度分析可以加深我们对充要条件的直观性的理解，如上述问题也可以用Venn图(如图右图)表示,例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种填空.,（充分不必要条件）,（充分不必要条件）,（必要不充分条件）,（必要不充分条件）,（充要条件）,（充要条件）,（既不充分也不必要条件）,B,A,D,B,例7、若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件.则：
7、1）s是p的什么条件？ 2）r是q的什么条件？,必要不充分条件,充要条件,练：1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的条件. (3)“x=3”是“x2=9”的条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的条件.,必要不充分,充要,充分不必要,既不充分也不必要,设集合,充分不必要条件,2、判断p是q的什么条件？,必要不充分条件,必要不充分条件,必要不充分条件,必要不充分条件,必要不充分条件,充分不必要条件,“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区
8、间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C,解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示：,当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件
9、,2.充要条件的证明,注意：分清p与q.,三充要条件的证明(1)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证命题的充分性，由“结论”“条件”是证命题的必要性证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明(2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是可逆的，即反过来也能推出,求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0，a12b1c0，即abc0.充分性：a
10、bc0，cab，代入方程ax2bxc0中可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.综上所述：原命题成立,从命题角度看,引申,若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件.,若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.,（四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条件.,(三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的充要条件,给出下列四组命题：(1)p：x20；q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m2；q：方
11、程x2xm0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等试分别指出p是q的什么条件解题提示解答本题时，既要判断pq是否成立，又要判断qp是否成立,充分条件、必要条件、充要条件的判定,方法总结(1)判断p是q的什么条件，主要判断pq及qp两命题的正确性，若pq为真，则p是q成立的充分条件，若qp为真，则p是q成立的必要条件(2)注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断(3)关于充要条件的判断问题，当不易判断pq真假时，也可从集合角度入手进行判断,设a、b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条
12、件答案D解析设a1，b2，则有ab，但a2ba2b2；设a2，b1，则有a2b2，但ab2ab，故选D.,用集合判断充要条件,设命题甲为：0 x5，命题乙为：|x2|3，那么甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解题提示解决本题的关键是把充分条件、必要条件转化为集合关系,设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xMP”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B,证明充要条件,证明：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.解题提示分清条件与结论，明确一元二次方程有一正根一负根的条件,方程mx
13、2(2m3)x1m0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？,等价转化思想,已知p:x28x200，q:x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围,等价转化思想,已知p:x28x200，q:x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围,方法总结(1)解决此类问题的关键是将p、q之间的充要关系转化为p、q确定的集合之间的包含关系，同时注意命题等价性的应用，可简化解题过程(2)本例将命题p、q的关系转化为集合A、B之间的包含关系，体现了转化与化归的思想，在确定AB后有时需要对A是否非空进行讨论，体现了分类讨论思想，但本题集合A是确定的不需讨论,本例若改为已知
14、p:x28x200，q:x22x1a20，若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围,一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()Aa0Ca1Da1,辨析知识点掌握的不够牢固，不够熟练，一般会出现这种问题充分不必要条件和必要不充分条件的应用在解题时往往易产生混淆性错误，出错原因有两个：对定义理解不够深刻比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q是p的必要条件它们都是表述相同的关系，只是换个说法而已；对数学中的文字语言把握不准确比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p.根据经验，有的同学对后一种说法不注意或不理解在解题中，同学们一方面只要牢牢抓住我们的记忆口诀“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可解决第一个错因；另一方面，在解题中，把题目所给出的形式还原成定义形式(p是q的条件)可豁然开朗,课堂小结,（3）判别技巧： 可先简化命题； 否定一个命题只要举出一个反例即可； 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。,（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念.,（2）判断充分、必要条件的基本步骤： 认清条件和结论； 考察 p q 和 p q 是否能成立。,
