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1、第六章 共形映射,共形映射的概念分式线性映射几个常见区域间的分式线性映射几个初等函数所构成的映射,6.1 共形映射的概念,一、解析函数的导数的几何意义,上式表明：,二、共形映射的概念,推论：,共形映射中的两个基本问题：,1. 分式线性映射及其分解 2. 分式线性映射的性质,6.2 分式线性映射及其性质,共形性保圆性保对称性,3. 确定分式线性映射的条件,一. 分式线性映射及其分解,因此，分式线性映射可分解为,称为,2. 分式线性映射的性质,由于,即有,性质1,30,？,代入圆的方程得,所以，,性质2,综上所述我们有：,如果有一点映射成无穷远点，,那,么它就映射成直线。,3 保对称性,首先我们来
2、阐明关于圆周的对称点的一个重要特性，,如果,当,为半径有限的,圆周时，,因此,在圆周,上，,反过来，,所以有,定理3,映射的这种性质称为保对称性。,证,所,称之为对应点公式,证明,注： （1） 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。,因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。,例,解：,确定对应区域的两个方法：,定理,例,解,43,上半平面,单位圆内部,单位圆内部,单位圆内部,6.3 常见的分式线性映射,上半平面,上半平面,例,解,解法一,于是,解：,57,1. 幂函数 2. 指数函数,6.4 几个初等函数所构成的映射,1.幂函数,幂函数：,上岸,下岸,61,幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角 形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成 了原来的n倍，因此，,例,解:,64,-i,例,解 令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=, 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:,其中k为待定的复常数.,2. 指数函数,上岸,下岸,69,例3,解,70,a,b,1,例4,解,E,A,B,D,C,例5,解,答：,例6,例7,解,故所求的映射为,解,故所求的映射为,复合以上映射得,
