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1、计算机数学基础,授课教师：林四海联系方式：TEL： Q Q： 254639066,13850094922,一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,*三、随机变量函数的数学期望,四、小结,6.2.1 数学期望及其性质,6.2 随机变量的数字特征,一、数学期望的概念,A 胜 2 局 B 胜 1 局,前三局:,后二局:,A A,A B,B A,B B,A 胜,B 胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:,A A,A B,B A,B B,A胜B负,A胜B负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,A胜B负,B胜A负,B胜A负,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,故有
2、, 在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的,可能性大小之比为,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,等于,X 的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,其概率分别为:,1. 离散型随机变量的数学期望,试问哪个射手技术较好?,实例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,实例2 发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千
3、元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为,实例3,解,2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.,实例4 顾客平均等待多长时间?,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,定积分的分部积分法,例如 计算,解:,原式 =,一般的说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积
4、，在多数情况下，可按顺序：指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数。将排 在前面的那类函数选作,1. 设 C 是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证明,例如,二、数学期望的性质,4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机 变量数学期望的性质类似.,解,实例5,1. 离散型随机变量函数的数学期望,解,*三、 随机变量函数的数学期望,设随机变量 X 的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X), 且,则有,实例6,解,实例7
5、,解,因此期望所得为,四、 小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,四、小结,6.2.2 方差,1. 概念的引入,方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.,一、随机变量方差的概念及性质,2. 方差的定义,方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(
6、X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好.,3. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,4. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,证明,(2) 利用公式计算,证明,5. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,推广,1. 两点分布,则有,二、重要概率分布的数学期望方差,2. 二项分布,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,(即 ) 其分布律为,令 表示第i次试验中事件A发生的次数， 是相
7、互独立的，,所以有,3. 泊松分布,则有,所以,4. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,5. 指数分布,则有,6. 正态分布,则有,解：,三、 例题讲解,例1,于是,解,例2,解,例3,解,例4,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,得,四、 小结,方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好.,2. 方差的计算公式,3. 方差的性质,4. 契比雪夫不等式,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May. 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia,契比雪夫资料,
