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1、1,第七章 位移法,Last Edit: 2009.12.06,2,本章主要内容：,1 位移法的概念；2 等截面杆件的刚度方程;3 无侧移刚架的计算;4 有侧移刚架的计算;5 位移法基本未知量个数的确定；6 位移法的基本体系；7 对称性的利用；8 采用先离散后组装建立位移法方程；9 力法与位移法的比较；课后作业,3,7-1 位移法的概念,4,7-1 位移法的概念,一、关于位移法的简例,对称结构，受竖向荷载FP 结点B只发生竖向位移D, 水平位移为0。,位移法中，将竖向位移 D 作为基本未知量。求出 D 后，可求出各杆的伸长变形，进而求出各杆的内力。,计算分为两步：1 从结构中取出一个杆件进行分
2、析2 把各杆件综合为结构,5,7-1 位移法的概念,1 从结构中取出一个杆件进行分析,若已知杆端 B 沿轴向位移为ui则杆端力 FNi,是使杆端产生单位位移时所需要增加的杆端力，称为杆件的刚度系数,杆端力FNi和杆端位移ui的关系，称为杆件的刚度方程,6,7-1 位移法的概念,2 把各杆综合成结构。,综合时各杆在 B 端的位移相同。,考虑结点B的静力平衡条件,位移法的基本方程，表明结构位移D 和荷载FP的关系,由此求出基本未知量:,7,7-1 位移法的概念,求出轴力:,代入尺寸：,2根杆-结构静定，2根杆，超静定；都可用上面的方法算。用位移法计算时 ，计算方法不因结构的静定或超静定而有所不同。
3、,8,7-1 位移法的概念,由上面的简例，可以归纳出位移法的两个要点： 1）位移法的基本未知量是结构的结点位移；2）位移法的基本方程是平衡方程；3）建立基本方程的过程分为两步： 第一步：把结构拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程； 第二步：再把杆件综合成结构，进行整体分析，得到基本方程。4）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位移法又称为 刚度法,9,7-1 位移法的概念,位移法取单根杆件作为计算基础( AB杆、 AC杆)把刚结点看成固定支座，刚结点位移相当于支座位移。现忽略杆件的轴向变形则AB、AC杆不伸长也不缩短，故刚结点A无线位移，只能发生角位移jA
4、。以 jA 为基本未知量,10,7-1 位移法的概念,AB杆：两端固定，有q，支座A发生 jA,参照第六章第八节力法 支座位移,此时支座A jA 位移情况下杆端弯矩,两端固定超静定梁在均布荷载作用下的杆端弯矩用力法计算,顺时针 正 逆时针 负,11,7-1 位移法的概念,两者叠加,顺时针 正 逆时针 负,AC杆：A端固定，C端铰支，支座A发生 jA,考察刚结点 A,求得,12,7-1 位移法的概念,将 jA 回代到(1)(2)(3)式，求出杆端弯矩,根据得到的结果，可画出整体的弯矩图,13,7-2 等截面杆件的刚度方程,14,7-2 等截面杆件的刚度方程,一、由杆端位移求杆端弯矩,等截面直杆A
5、B,惯性矩I常数。已知端点A和B的角位移qA和qB，拟求杆端弯矩MAB和MBA,在位移法中，结点转角qA,qB，弦转角j，杆端弯矩MAB MBA，一律以顺时针方向为正。,弦转角：,这个正负号规则是针对杆端弯矩的，并不是针对杆中任意截面的弯矩，其目的是便于建立平衡方程。在作弯矩图时，仍然遵循受拉侧为正的符号规则。,15,7-2 等截面杆件的刚度方程,(1) 计算简支梁在两端力偶作用下的杆端转角(图a),图a,取,杆件的线刚度,根据单位荷载法求得,(2)简支梁两端有相对竖向位移D时的杆端转角(图b),图b,(3)上述两种情况综合,16,7-2 等截面杆件的刚度方程,图a,图b,(3)上述两种情况综
6、合,解该联立方程,转角位移方程,由平衡条件求杆端剪力,代入已求得的MAB和MBA,17,7-2 等截面杆件的刚度方程,写成矩阵形式：,弯曲杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数,刚度系数仅和杆件的截面尺寸以及材料性质有关。所以又称为形常数。,18,7-2 等截面杆件的刚度方程,二、杆件在一端具有不同支座时的刚度方程,(1) B端为固定支座,上式中 qB=0,(2) B端为铰支座,根据,又 MBA = 0,19,7-2 等截面杆件的刚度方程,二、杆件在一端具有不同支座时的刚度方程,(3) B端为滑动支座,上式中 qB=0,代入,求得,20,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,对于
7、下列三种杆件：两端固定一端固定，一端铰支一端固定，一端滑动支承的梁,郑版教材 201页表7-1高教龙驭球版 401页表8-1 给出了几种常用荷载作用下的杆端弯矩和剪力，称为 固端弯矩和固端剪力。,由于固端弯矩和固端剪力仅和荷载形式有关的常数，因此称为载常数。,固端弯矩表示：,21,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,常用的固端弯矩和固端剪力,当FP作用在跨中 a = b = l /2,22,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,常用的固端弯矩和固端剪力,当FP作用在跨中 a = b = l /2,23,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,常用的固端
8、弯矩和固端剪力,当FP作用在B 点,24,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,对于图示情况,根据叠加原理,25,7-2 等截面杆件的刚度方程,三、由荷载求固端弯矩,如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，则根据叠加原理得到杆端弯矩的一般公式：,杆端剪力的一般公式,26,7-3 无侧移刚架的计算,27,7-3 无侧移刚架的计算,如果刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移，这种刚架称为 无侧移刚架。,本节讨论无侧移刚架的计算，连续梁也属于此类问题。,【例 7-1】画出图示连续梁的弯矩图,28,7-3 无侧移刚架的计算,取结点角位移qB （顺时针为正）为基本未知
9、量,计算杆端弯矩,1）荷载作用下的固端弯矩,查表：,2）由杆端位移求杆端弯矩,参考,参考,29,7-3 无侧移刚架的计算,根据上述计算，得到各杆端弯矩：,建立位移法的基本方程，以求出qB，取节点B 列平衡方程,将qB代入杆端弯矩的计算式，求得：,30,7-3 无侧移刚架的计算,画出弯矩图,位移法的基本作法是先拆散，后组装。,组装的原则：在结点处各杆件变形要协调一致；装配好的结点要满足平衡条件。,31,7-3 无侧移刚架的计算,【例 7-2】作如图的刚架的弯矩图,32,7-3 无侧移刚架的计算,(1) 基本未知量qB qC,(2) 固端弯矩：,各个杆的刚度取相对值计算设EI0=1,叠加位移引起的
10、固端弯矩，得到：,33,7-3 无侧移刚架的计算,(3) 位移法方程,考虑结点B的平衡,代入前面各固端弯矩的表达式，整理化简得：,考虑结点C 的平衡,联立方程(1)(2) 求得：,需要注意的是：因为各杆采用的相对刚度，因此此处求出的qB和qC并不是真实值。如果要求真实值，则刚度也必须采用真值。,34,7-3 无侧移刚架的计算,代入前面求得的各杆端弯矩的表达式，得到：,(4) 求杆端弯矩,35,7-3 无侧移刚架的计算,(5) 弯矩图 单位 kNm,36,7-4 有侧移刚架的计算,37,7-4 有侧移刚架的计算,如果刚架除了有结点转角外，还有结点线位移，则为有侧移刚架。,有侧移刚架采用位移法计算
11、基本思路与无侧移刚架基本相同。具体做法上有新内容：,（1）在基本未知量中，要包含结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移相应的平衡方程。,38,7-4 有侧移刚架的计算,一、基本未知量的选取,为了减少基本未知量，使得计算得以简化，通常在位移法中忽略轴力对变形的影响。,假设：,（1）忽略轴力产生的轴向变形杆件变形前和变形后的曲线长度可认为相等。,（2）结点转角 q 和各杆弦转角j 都很微小变形后的曲线长度与弦线长度可认为相等。,尽管杆件发生了弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。,39,7-4 有侧移刚架的计算,一、基本未知量的选取,
12、尽管杆件发生了弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。,基本未知量：3个qB qC D,独立线位移：2个D1 D2,40,7-4 有侧移刚架的计算,一、基本未知量的选取,由于在刚架计算中，不考虑各杆长度的变化，因而结点的独立线位移数目可以用几何构造的方法来确定。,把所有的刚结点(包括固定支座)都改为铰结点，则此铰结体系的自由度数目就是原结构的独立线位移的数目。,为了使此铰结体系变成几何不变而所需要添加的链杆数目就等于原结构的独立线位移的数目。,41,7-4 有侧移刚架的计算,一、基本未知量的选取,2个自由度,增加两根支杆，几何不变,两个独立线位移,42,7-4 有侧移刚架的计算,二、基本
13、方程的建立,基本未知量分为两类: 刚结点角位移 独立结点线位移。与此对应，基本方程也分为两类。,如图所示刚架，柱线刚度i, 梁的线刚度2i, 基本未知量可确定为 结点B的转角qB 和柱顶的水平位移D。,按照假设：变形后的曲线长度与弦线长度可认为相等BC 的两端结点只有整体的水平位移，而没有相对的垂直位移。,43,7-4 有侧移刚架的计算,二、基本方程的建立,计算出各个杆端弯矩,参考前面学过的知识,对于BC杆,对于DC杆,考虑结点B平衡：,未画轴力和剪力,44,7-4 有侧移刚架的计算,二、基本方程的建立,对于柱AB:,对于柱CD:,对于水平梁,由上述三式经过整理得到：,再根据杆端弯矩的计算，则
14、变化为：,联立,可求出基本未知量,45,7-4 有侧移刚架的计算,【例 7-3】作如图的刚架的弯矩图,忽略横梁的轴向变形,46,7-4 有侧移刚架的计算,基本未知量: 各柱顶的水平位移相等，只有一个独立线位移D 没有转角基本未知量。,各柱的线刚度,考察BA杆,则各杆杆端弯矩,杆端剪力,47,7-4 有侧移刚架的计算,位移法方程：,取柱顶以上部分为隔离体。,回代到杆端弯矩的表达式，求得：,48,7-4 有侧移刚架的计算,画出弯矩图：,49,7-5 位移法基本未知量个数的确定,50,7-5 位移法基本未知量个数的确定,基本未知量： 角位移 线位移,基本结构：三种单跨超静定梁,一、结点角位移个数的确
15、定 角位移基本未知量数目刚架刚结点的个数。,二、结点线位移个数的确定 一点在平面内具有两个线运动自由度， 故每一结点可以有两个线位移 (水平、竖向)。 受弯直杆受力发生变形时，其两端结点之间的距离保持不变。 （即受弯直杆提供了相当于一根刚性链杆的约束条件）。结论：分析计算刚架结点的线位移个数时， 可采用“铰化结点，增设杆件”的方法。,51,7-5 位移法基本未知量个数的确定,分析刚结点线位移的步骤,(1) 刚结点改为铰结点、固定支座改为铰支座 受弯直杆变为刚性链杆 刚架变为铰接体系(2) 再分析该铰接体系的几何组成 (3) 若为几何不变体系： 则原结构没有结点线位移 若为几何可变体系： 则增设
16、杆件(支杆、链杆)，使其成为几何不变体系 所需增设杆件总数 = 刚架结点独立线位移数,52,7-5 位移法基本未知量个数的确定,角位移 1个,线位移 无,角位移 1个,线位移 无,角位移 1个,线位移 无,可以不把jC作为基本未知量，而求得全部杆件内力。,规定：凡杆端为铰支座(固定铰支座、活动铰支座)时的杆端转角 都不作为基本未知量,53,7-5 位移法基本未知量个数的确定,角位移 1个,线位移 无,角位移 2个,线位移 无,角位移 2个,线位移 无,角位移 1个,线位移 无,静定部分伸臂 CD，内力可由平衡条件确定，确定基本未知量个数时，可将其去掉结论：确定基本未知量个数时，可将结构中的静定
17、部分去掉。,54,7-5 位移法基本未知量个数的确定,角位移 2个,线位移 1个,角位移 2个,线位移 无,角位移 2个,线位移 无,55,7-5 位移法基本未知量个数的确定,角位移 2个,线位移 1个,角位移 6个,线位移 2个,56,7-5 位移法基本未知量个数的确定,角位移 5个,线位移 2个,角位移 2个,线位移 1个,57,7-5 位移法基本未知量个数的确定,横梁 CD EI=能承受弯矩，但不发生弯曲变形故在荷载作用下，结点 C、D只能作水平移动，而无角位移产生。,角位移 2个,线位移 3个,58,7-5 位移法基本未知量个数的确定,注意点,(1) 如果需要考虑杆件轴向变形的影响时
18、“杆件两端结点之间距离保持不变”的假设就不成立了， 除支座外，每个结点都各有两个线位移。 这时，需要考虑轴向变形影响的杆件，不能作为刚性链杆,角位移 4个,不把CD作为刚性链杆,线位移 3个,桁架： n个结点，2n个线位移自由度，再考虑支座约束。(2)一端固定、一端定向,B处竖向位移，对杆端弯矩计算并非必需的，因此，不作为基本未知量。,59,7-6 位移法的基本体系,60,7-6 位移法的基本体系,本节介绍通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的解法。,这种方法解题程序与力法相对应，有助于进一步理解位移法典型方程的解法，也为矩阵位移法打下基础。,两个基本未知量(统一用D表示),结点B的转角D1
19、结点C的水平位移D2,原结构,附加刚臂约束,(控制角位移，不控制线位移),附加支杆约束,(控制线位移，不控制角位移),基本体系,基本结构,61,7-6 位移法的基本体系,基本体系与原结构的区别在于，增加了人为约束，把基本未知量由被动的位移变成受人工控制的主动的位移。,基本体系可以转化为原结构 (图示附加约束上的约束力为0),基本体系把整体结构分隔为多个杆件(杆件各自独立变形，互不干扰，且已知转角位移方程)进行计算，从而使计算简化。,力法：撤除约束 位移法：增加约束,62,7-6 位移法的基本体系,基本结构-刚架被锁定,基本体系可以转化为原结构的条件位移法的基本方程,在基本结构上施加荷载后在附加
20、约束中形成原结构中不存在的约束力矩F1P和约束水平力F2P,控制附加约束，使得基本结构发生结点位移D1和D2,基本体系-放松附加约束,D1和D2 变化F1，F2变化,D1和D2 变化到与原结构的实际值相等 F1，F2变化为0(原结构中无此约束),63,7-6 位移法的基本体系,基本体系可以转化为原结构的条件位移法的基本方程,基本体系转化为原结构的条件是：,基本结构在给定的荷载以及结点位移D1，D2 Dn的共同作用下，在附加约束中产生的总约束力F1, F2 Fn应等于0。,64,7-6 位移法的基本体系,利用叠加原理，计算基本体系中的总约束力,(1)荷载单独作用相应的约束力F1P和F2P (图a
21、),图a,(2)单位位移D1=1单独作用相应的约束力k11和k21 (图b),图b,(3)单位位移D2=1单独作用相应的约束力k12和k22 (图c),图c,总约束力,由于实际总约束力为0,65,7-6 位移法的基本体系,n个基本未知量的情况,矩阵形式：,位移法基本方程可写为：,结构的刚度矩阵,刚度系数由反力互等定理,结构刚度矩阵主对角线的系数主系数 恒大于0,其他系数副系数 可为正负或0,66,7-6 位移法的基本体系,【例 7-4】作如图的刚架的弯矩图,忽略横梁的轴向变形,解: 取基本未知量D1和D2附加约束，确定基本体系,(1) 基本结构下在荷载作用下的计算,求各杆的固端弯矩,67,7-
22、6 位移法的基本体系,取结点B为隔离体,取柱顶以上BC部分为脱离体,基本结构在荷载作用下的弯矩图MP图,68,7-6 位移法的基本体系,(2)基本结构在D1=1作用下的计算,其中:,其中:,故:,考虑结点B平衡:,考虑BC平衡:,69,7-6 位移法的基本体系,(2)基本结构在D1=1作用下的计算,作出弯矩图,70,7-6 位移法的基本体系,(3)基本结构在D2=1作用下的计算,其中:,其中:,故:,71,7-6 位移法的基本体系,(3)基本结构在D2=1作用下的计算,考虑结点B平衡:,考虑BC平衡:,作出弯矩图,72,7-6 位移法的基本体系,(4)基本方程,73,7-6 位移法的基本体系,
23、(5)根据叠加原理绘出弯矩图,74,7-6 位移法的基本体系,【例 7-5】试用位移法求连续梁-画弯矩图,75,7-6 位移法的基本体系,解: 取基本未知量qBD1qCD2,基本结构,(1) MP图,76,7-6 位移法的基本体系,(3) 图,77,7-6 位移法的基本体系,(4) 图,78,7-6 位移法的基本体系,(5) 基本方程及求解,(6)利用叠加原理计算各杆端弯矩,上部受拉,上部受拉,上部受拉,79,7-6 位移法的基本体系,(6)弯矩图,单位 kNm,80,7-6 位移法的基本体系,【例 7-6】试用位移法计算图示刚架并画弯矩图,81,7-6 位移法的基本体系,为计算方便，先计算下
24、图A处的弯矩,取qC为基本未知量,此处亦可采用郑版教材203页续表13中的已知结果,把CD伸臂部分的荷载对C点产生的力矩当作作用于AC杆铰支端C截面的外荷载，再通过跨中的均布荷载的计算，由叠加原理计算MAC。,82,7-6 位移法的基本体系,1) 确定位移未知量个数，位移法典型方程,结构改为铰接体系后，由于C点固定铰支座，体系几何不变，因此刚架物结点线位移，只有两个角位移qAD1, qBD2,2) 画出单位弯矩图和荷载弯矩图,荷载弯矩图MP,83,7-6 位移法的基本体系,单位弯矩图M1,附加刚臂约束力矩,单位弯矩图M2,附加刚臂约束力矩,3)解方程,84,7-6 位移法的基本体系,4) 计算
25、各杆的杆端弯矩，从而绘出刚架的最后弯矩图。,85,7-6 位移法的基本体系,【例 7-7】试用位移法计算图示刚架并画弯矩图, EI 常数。,86,7-6 位移法的基本体系,画出M1, M2, MP, 并求出基本未知量,87,7-6 位移法的基本体系,画出M1, M2, MP, 并求出基本未知量,88,7-6 位移法的基本体系,画出M1, M2, MP, 并求出基本未知量,将系数和自由项代入典型方程：,解出,89,7-6 位移法的基本体系,画弯矩图,取,则,MF=257K (上拉)MA=436K (上拉)MBE=117K (右拉)MBA=358K (下拉)MBC=241K (下拉),90,7-6
26、 位移法的基本体系,【例 7-8】试用位移法计算图示刚架并画弯矩图。,91,7-6 位移法的基本体系,基本未知量：上下两层各有一个独立线位移,MP图及反力系数,92,7-6 位移法的基本体系,M1图及系数,93,7-6 位移法的基本体系,M2图及系数,94,7-6 位移法的基本体系,解方程,95,7-7 对称性的利用,96,7-7 对称性的利用,对称结构在对称 (反对称)荷载作用下， 结构的内力和变形都是对称 (反对称)的， 处于对称轴上的截面，只产生对称 (反对称) 的未知力，反对称 (对称) 的未知力等于零。 结论：可以取一半分析，根据对称轴上的截面内力、变形模拟约束。,97,7-7 对称
27、性的利用,98,7-7 对称性的利用,对称刚架在对称荷载作用下，处于对称轴上的截面，其内力和位移：,无水平线位移，但存在水平力，DCx= 0 X10;,有竖向位移，但无竖向剪切力，DCy 0 X2= 0;,无角位移，但存在弯矩，jC = 0 X3 0;,如果是反对称的，则情况正好相反。,对称刚架在对称荷载下，一半刚架对另一半刚架的约束作用，完全可以将其模拟成竖向定向支座；对称刚架在反对称荷载作用下，则可将其模拟为既可以转动又能水平移动的竖向活动铰支座。,99,7-7 对称性的利用,EI=,100,7-7 对称性的利用,A,C,B,101,7-7 对称性的利用,【例 7-9】利用对称性用位移法计
28、算图示刚架，并绘出弯矩图。,102,7-7 对称性的利用,对称,+,反对称,103,7-7 对称性的利用,(1)在对称荷载作用下的计算,104,7-7 对称性的利用,(2)在反对称荷载作用下的计算,1个角位移，1个线位移。但是，此时柱内的剪力可求出，在这种情况下，亦可不把柱端的线位移作为基本未知量，而把柱子看成是下端固定、上端为定向支座的单跨超静定梁,参考,参考,105,7-7 对称性的利用,(3)画出最后的弯矩图,对称,反对称,取,106,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,107,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,【例 7-10】试用先离散后组装建立位移法方程，计算图示刚架并绘出
29、 M 图。,108,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,解：3个位移基本未知量 (2个角位移、1个独立线位移),109,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,将刚架各杆沿紧靠结点的截面切开，使杆件和结点分离， 写出各杆的杆端内力表达式,杆件AB,杆件AC,杆件BD,110,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,再进行组装，使刚架回复原状， 根据结点或刚架某些局部的平衡条件， 建立平衡方程 (位移法方程) 结点A：,结点B：,横梁 AB、结点A、结点B一起组成的一个局部,111,7-8 采用先离散后组装建立位移法方程,联立平衡方程,解方程，得, 代入杆端内力表达式，得,112,7-9 力
30、法与位移法的比较,113,7-9 力法与位移法的比较,一、力法与位移法的比较,力 法,位移法,基本结构,静定结构,单跨超静定梁,(从原结构中解除多余约束),(在原结构上增加约束),基本未知量,力,结点位移,(未知量数等于超静定次数),(未知量数=角位移数+线位移数),单位内力图,在基本结构上施加单位力,在基本结构上施加单位位移,建立方程的依据,变形协调条件,(去掉约束处的位移必须与原结构相应处的位移情况相符),平衡条件,(增加约束处的反力必须与原结构并无约束的情况相符),114,7-9 力法与位移法的比较,二、方法的选择,根据刚架的几何而定： 1超静定次数较少但刚结点多，独立线位移多的刚架,力
31、法,2超静定次数较多但刚结点少，独立线位移少的刚架,位移法,力法： 3个基本未知量位移法：13个基本未知量 ( 角7、线6 ),力法：18个位移法：6个,3用两种方法计算时，基本未知量数目相同或差不多， 一般采用位移法(系数和自由顶计算比力法简单)4电算，采用矩阵位移法普遍。,115,本章课后作业,116,【作业1】,试用位移法计算图示结构，并绘出内力图 (郑版7-5),117,【作业2】,试用位移法计算图示连续梁，并绘出弯矩图 (郑版7-8),118,【作业3】,试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图 (郑版7-11),119,【作业4】,试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图 (郑版7-15),120,【作业5】,试用位移法计算图示刚架，并绘出弯矩图 (郑版7-16),121,【作业6】,试利用对称性，求图示刚架的 M 图,122,本章完谢谢听讲,
