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1、振动和波动,第1部分 振动学基础,第2部分 波动学基础, 简谐振动的描述 简谐振动的动力学特征 简谐振动的合成 阻尼振动 受迫振动 共振,第1部分 振动学基础,1 简谐振动的描述,1简谐振动的定义,1.1 机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：一个物理量随时间t 作周期性变化,1.2 简谐振动,则物体的运动为简谐振动。,物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：,2描述简谐振动的特征物理量,2.1 周期和频率,2.3 位相与初相,t 时刻的位相: t+,初相: ,2.2 振幅,A,3简谐振动的表示,1）振动表达式：,2）振动曲线：,3）旋
2、转矢量表示：,振幅：旋转矢量的模A圆频率：旋转矢量的角速度位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+,4简谐振动的速度和加速度,练习 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当 t = 0时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动。求：1. 振动表达式。2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,解,1. 设位移表达式为,已知 A = 0.12 m , T = 2 s,初始条件,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,m,振动表达式为,由初始条件用解析法求初
3、相 ,由 v0 0 决定取舍,m,由初始条件用旋转矢量法求初相 ,当 t = 0 时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动,A,A/2,2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度,3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,x = - 6 cm,向 x 轴负方向运动,第一次回到平衡位置,所需要的时间,练习 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = 0 处，向x 轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。,解,质点 1 的振动超前质点 2 的
4、振动,2 简谐振动的动力学特征,1简谐振动的动力学特征,结论：简谐振动的动力学特征,判别简谐振动的依据,1、运动表达式为 ，其中 A 、 和 是常数。,2、作用力的形式为 ，k 为常系数。,3、动力学方程可写成 ， 为常系数，其平方根即为角频率。,弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动,在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动,2.几种常见的简谐振动,2.1 弹簧振子,周期和频率：由振动系统的固有性质决定,振幅和初相：由初始条件决定,2.2 单摆,s,小幅振动，,例2 如图所示，已知弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，滑轮的半径为R，转动惯量为J。开始时托住物体m，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧
5、无形变，t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。(1) 证明放开后m作简谐振动；(2) 求振动周期；(3) 写出m的振动表达式。,解：,练习 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。,解,取平衡位置为坐标原点,平衡点,V 为平衡时比重计的排水体积,3.简谐振动的能量,结论：谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能：,保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。,例题 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？,解,当 时
6、，动能和势能各占总能量的一半。,例题 证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其振动周期。,解,用能量分析法 取O 点为零势能点,J,很小,其振动是简谐振动,3 简谐振动的合成,1.同频率同方向的简谐振动的合成,代数方法：,旋转矢量合成方法：,2）,结论：,1）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。,链接,2.同方向不同频率的简谐振动的合成,结论：,3相互垂直的同频率的简谐振动的合成,椭圆轨道,链接,4.相互垂直的同频率的简谐振动的合成,链接,例4-3 已知两个简谐振动的表达式分别为,（1）求合振动的表达式；（2）若x3=3cos(10t+)，则为何值时，三振动叠加后，合振动的振
7、幅最大？则为何值时，三振动叠加后，合振动的振幅最小？,*4 阻尼振动 受迫振动 共振,1阻尼振动,1.1 阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。,1.2 阻尼振动的定量分析,欠阻尼：,过阻尼：,特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止在平衡位置。,临界阻尼：,特点：质点不再作来回振动，到达平衡位置刚好停下来。,振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。,2受迫振动,2.1 受迫振动,2.2 受迫振动的定量分析,讨论：,1）稳定时，系统按余弦函数作周期性振动：,2）系统振动的频率等于驱动力的频率。,3）系统振动的振幅：,4）系统振动的初位相：,当驱
8、动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。,3共振,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振, 桥被摧毁, 波的产生和传播 波动表达式 波的能量 波的干涉 驻波 惠更斯原理 波的衍射 波的反射和折射*多普勒效应,第2部分 波动学基础,5 波的产生和传播,1波的产生与传播,1.1 波的产生,产生条件：1）波源；2）媒质。,波传播的只是振动状态，媒质中各质元并未“随波逐流”。
9、,沿着波的传播方向，各质元振动存在位相差。,波动伴随着能量的传播。,真空,波：振动在媒质中的传播，形成波。,1.2 横波与纵波,横波：质元的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质元的振动方向与波的传播方向平行,横波只能在固体中传播，而纵波可以在固体、液体和气体中传播,1.3 平面波与球面波,波前、波面和波射线：媒质中振动相位相同的点所构成的面，称为波面；最前方的波面称为波前（波阵面）；与波面垂直且表明波的传播方向的线称为波射线。,平面波与球面波：波面为平面的波称为平面波；波面为球面的波称为球平面波,2描述波动的特征量,2.1 波速,1.2 波长,在一个全振动周期内振动状态向前传播的距离:,=uT,
10、或定义为:,波传播方向上振动位相差等于2的两质点的距离。,1.3 波的周期与频率,6 波动表达式,1.波动表达式,2平面简谐波的波动表达式,O点的振动表达式：,波动表达式：,3波函数的物理意义,解：,7 波的能量,1波的能量分布,能量密度,波的能量与振动能量,平均能量密度,2波动能量的传播,单位时间里通过某一截面的能量：,2.1 波的传播过程也是波动能量的传播过程。,2.2 能流：,通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流：,2.3 平均能流密度（波的强度）,3.球面波的能量,解:,8 波的干涉 驻波,1波的迭加原理,1）两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内每一质元的位移等于各列波单独传播时
11、所引起位移的和。,2）两列波相遇时仍保持各自原有的特性。,各水波独立传播,各种乐器发出的声波独立传播,2波的干涉,2.2 相干波的叠加,频率相同，振动方向相同，位相差恒定。,2.1 相干条件,结论：,特别地,3驻波,沿相反方向传播的两相干简谐波相互叠加的结果:,3.1 驻波的形成：,3.2 驻波的表达式,沿x轴正、负方向传播的简谐波波形重叠时为：t0 此时两列波的波峰为原点O(x0),x轴上各点作简谐振动。,各点振幅随x而变化：,若相邻波节之间为一段，则同一段中各点的振动位相相同，而相邻段振动的位相相反,*3.3 驻波的能量,驻波的动能和势能不断地在波腹和波节之间的小范围内迁移并转换。驻波进行
12、过程中没有能量的定向传播。,各点的动能和势能都随时间作周期性变化，但两者的变化不同步。,例题 一平面简谐波沿 x 轴方向传播，在距反射面 B为 L 处的振动规律为 y = A cos t ，设波速为 u ，反射时无半波损失，求入射波和反射波的波函数。,解,入射波波函数,O,反射波波函数,振动从O 传到 B，再反射到 P ，需时,例 在弦线上有一简谐波，其表达式为：,为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。,解：,反向波,因为x = 0处为波节,9 惠更斯原理 波的衍射,波的反射和折射,1.惠更斯原理,波阵面（波前）上的每一点都可视为发射子波的波源，
13、在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面（波前）。,2波的衍射,2.1 波的衍射现象：波在传播过程中遇障碍物时，能改变其传播方向而绕过障碍物的现象。,2.2 波的衍射现象的解释,2.3 产生波的衍射的条件：小孔或障碍物的尺寸不比波长大得多。,水波通过窄缝时的衍射,3波的反射与折射,3.1 波的反射与折射现象,波传播到两种媒质的界面时，一列波被分成两部分，一部分反射回来，形成反射波，另一部分进入另一种媒质，形成折射波，这种现象称为波的反射与折射现象。,3.2 反射定律与折射定律,反射定律：,折射定律：,3.3 半波损失,解：,10 多普勒效应,1.多普勒效应,当波源或接收器相对于媒质运动时
14、，接收器所接收到的波的频率（单位时间内所接收到的波数）与波源的振动频率（单位时间内波源所发出的波数）不同。,2.接收频率与波源及观察者相对媒质运动速度的关系,2.1 波源与接收器相对于媒质均为静止,接收器向着波源运动：,接收器背离波源运动：,综合：,波源向着接收器运动：,波源背离接收器运动：,综合：,水波的多普勒效应（波源向左运动）,超声多普勒效应测血流速,3.冲击波,超音速的子弹在空气中形成的激波,例4-8 一警报器发射频率为1000Hz的声波，远离观察者向固定的目的物运动，其速度为10m/s，试问：（1）观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少?（2）观察者听到从目的物反射回来的声音颠率为多少?（3）听到的拍频是多少? (空气中的声速为330ms)。,解：,
