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1、习题 B.6.1 B.6.2 B.6.8,4.5 控制系统的稳态误差,K,K,K,0,0,0,4.5 控制系统的稳态误差,减小稳态误差方法:1、增大开环增益；2、提高系统型数,解：此系统为I型系统,稳态误差为,例: 如下系统，当输入信号分别为 、 、 时，试分别求出系统的稳态误差。,例：某控制系统的结构图为 试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时，系统的稳态误差(定义在输出端)。,解:当H(s)=1时，系统的开环传递函数为则系统稳态误差,当H(s)=0.5时,若上例在H(s)=1时,系统的允许稳态误差为0.2,问开环增益k应等于多少?,时,上例的稳态误差又是多少?,例：设具有测速发电机内反
2、馈的位置随动系统如图所示，要求计算 时，系统的稳态误差。,sE(s)的极点不全部分布在S平面的左半部,例,第五章 根轨迹方法,5.1 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹绘制的基本方法5.3 典型环节根轨迹与广义根轨迹5.4 应用根轨迹分析和设计控制系统,5.1 根轨迹的基本概念,根轨迹简称根轨，它是开环系统某一参数从0变到正无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹法的实质就是用图解法利用开环系统的零、极点解决闭环特征方程式的求根问题。,根轨迹法是由美国工程师W.R. Evans于1948年在控制系统的图解分析的论文中提出的。,例：设一系统,闭环传递函数,特征方程,特征方程的根,考
3、察K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况,1、K1=0时，s1=0,s2=1,2、0K10.25 时，两个互异负实根,3、K1=0.25时，s1=s2=0.5,K1=0.25,所谓根轨迹图，即以系统根轨迹增益K1为参变量，当K1由0时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。,稳定性 当根轨迹增益K1由0 ，根轨迹不越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有非零值都是稳定的稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，可以根据根轨迹增益K1 计算Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。动态特性 当00.25时，闭环系统是复极点， 欠阻尼状态，单位阶跃响应
4、为衰减 振荡过程。,5.1 根轨迹的基本概念,开环零、极点与闭环零、极点之间的关系,5.1 根轨迹的基本概念,根轨迹方程,闭环传递函数：,闭环特征方程：,5.1 根轨迹的基本概念,根轨迹幅相条件,或,凡满足幅值条件和相角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方程的根。这些s值构成系统的根轨迹。：在复平面中寻找满足相角条件的s值来绘制根轨迹曲线；用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。,这里绘制的根轨迹以根轨迹增益K1为参数，满足180+2k的相角条件。,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则1：根轨迹的起点和终点,起点（K1=0）：根轨迹起始于开环极点终点（K1）：根轨迹终止于开环零点。,5.2
5、 根轨迹绘制的基本方法,法则2：根轨迹的分支数和对称性,根轨迹的分支数等于开环系统的极点数（系统阶次）。,一条完整的根轨迹称为根轨迹的一个分支。n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。,根轨迹对称于实轴。,特征方程的根或为实数，或为共轭复数。根轨迹是根的集合，所以必对称于实轴。,连续性,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则3：根轨迹的渐近线（s=处的根轨迹特征）,共有(n-m)条根轨迹分支沿着与实轴夹角为k，与实轴交点为同一点-的一组渐近线趋向无穷远处：,渐近线与实轴的夹角：,渐近线与实轴的交点：,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则4：根轨迹在实轴上的分布,
6、实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。,解：按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-2； 终点：，。（2）分支数： n=3（3）根轨迹对称于实轴。（4）渐近线：因为本系统中，n=3,m=0，所以渐近线共有3条。渐近线的倾角：,例： 已知：,试画出根轨迹的大致图形。,取k0，1，2，得到,渐近线与实轴的交点：,（5）根轨迹在实轴上的分布： 0-1，-2-之间。,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则5：根轨迹在实轴上的分离点,两条或两条以上根轨迹分支在 S 平面上相遇又立即分开的点，称为分离点。分离点满足如下条件：,进入分离点的l条根轨迹和离开分离点的l条根轨迹交错排列，它
7、们的切线共同均分2（l为分离点的重根数）。,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点与特征方程式的重根相对应。,如果实轴上相邻的两个开环极点（或零点）之间存在根轨迹，则至少存在一个分离点。如果实轴上相邻的开环极点、零点之间存在根轨迹，则或者无分离点，或者存在成对的分离点。,由于根轨迹上的分离点与特征方程式的重根相对应，即满足：,根据根轨迹方程：,闭环特征方程式D(s),利用上两式消去K1，可得,为了便于记忆，可写成,以上分析没有考虑K10(且为实数)的约束条件，所以只有满足K1 0的这些解，才是真正的分离点。,例:设系统,试求该系统根轨迹在实轴上的分离点。,求得：,解：系统
8、的开环传递函数,代入特征方程 检验：s1代入，K10，故舍去； s2代入，K10 。所以s2是分离点。,重根数l=2。进入分离点的2条根轨迹和离开分离点的2条根轨迹交错排列，它们的切线共同均分2，为90,问题：分离点会不会出现在s平面上实轴以外的地方？什么时候会出现？以什么样的形式出现？满足什么数学条件？,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则6：根轨迹的出射角和入射角,当开环零、极点处于复平面上时：根轨迹离开复极点的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角称为入射角。,出射角：,入射角：,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则7：根轨迹与虚轴交点,常用的2种方法：(1) 利用特征方程求取。用j替代s，令虚部、实部分别等于零，求得和对应的K1。(2) 利用Routh表求取。将Routh表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取Routh表中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则8：根之和与根轨迹的走向,特征方程：,当n-m2,这是一个与K1无关的常数，可以定义极点的“重心”：,当K1变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。,5.2 根轨迹绘制的基本方法,法则9：根轨迹上K1值的计算,根轨迹上任一点S1处的K1值可由幅值条件来确定。即,
