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1、第三章 线性系统 时域分析法,3.1 时间响应性能指标,3.2 一阶系统的时域分析,3.3 二阶系统的时域分析,3.4 线性系统稳定性分析,3.5 线性系统的误差分析,3.6 顺馈控制的误差分析,End,本章作业,本 章 提 要,时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。,本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误差的方法。,3.1 时间响应性能指标,3.1.1 典型输入信号,典型输入信
2、号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等 典型时间响应：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应等 系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。,动态性能,1.延迟时间(delay time)td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。,阶跃响应性能指标,稳态性能：由稳态误差(steady state error)ess描述。,2.上升时间(
3、rise time)tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。,3.峰值时间(peak time)tp：响应超过终值到达第一个峰值所需时间。4.调节时间(response time)ts：响应到达并保持在误差带内所需的最小时间，通常取0.05c()或0.02c()为误差带。5.超调量(percent overshoot)%：响应的最大偏离量c(tp)与终值c()之差的百分比，即,3.2 一阶系统的时域分析,3.2.1 一阶系统(first order system)的数学模型,一般地，将微分方程为 传递函数
4、为 的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。,传递函数:,结构图：,微分方程为:,控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。,如RC电路:,输入r(t)=1(t)，输出,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0。,性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T(=0.05)或 ts=4T(=0.02),输入 r(t)=(t)，输出,特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差ess=0。,3.
5、2.3 一阶系统的单位脉冲响应,输入r(t)=t，输出一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1.,3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,3.2.5 一阶系统的单位加速度响应,跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。,结论：一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数
6、。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。,整理得传递函数,故得结构图,在第二章，已得微分方程：,取拉氏变换，有,其中：n自然频率；阻尼比(damping ratio)。,又因为,标准形式,标准形式,3.3.1 二阶系统(second order system)的数学模型,控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。,3.3 二阶系统的时域分析,3.3.2 二阶系统的阶跃响应,其根决定了系统的响应形式。,其输出的拉氏变换为,单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。,二阶系统特征方程,=,s1,2=-n,稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；瞬态部分是阻尼正弦振
7、荡过程，阻尼的大小由 n(即，特征根实部）决定；振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比和自然振荡角频率n决定。,欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：,1.欠阻尼(underdamping)二阶系统(即01时),系统有一对共轭复根：,=,阶跃响应为,其中,3.3.2 二阶系统的阶跃响应,系统有两个相同的负实根：s1,2=-n 阶跃响应:,此时系统有两个纯虚根：s1,2=j n 阶跃响应：c(t)=1-cos nt 系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。,此时系统有两个不相等负实根,=,2.临界阻尼(critical damping)二阶系统（即=1 时）
8、,3.无阻尼二阶系统（即=0 时）,4.过阻尼(overdamping)二阶系统（即1 时）,系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。,系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。,阶跃响应：,以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。,1.动态性能指标计算,上升时间 tr,峰值时间 tp,单位阶跃响应,即,得,由,得,此时,3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,超调量%,单位阶跃响应进入 误差带的最小时间。,调节时间 ts,由,有,根据定义
9、,因,则,越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。,2.结构参数对单位阶跃响应性能的影响,欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：,包络线,（=2%时）,(=5%),工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。,当 0时，为零阻尼响应，具有频率为 的不衰减（等幅）振荡。,阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示,结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，小，系统响应的平稳性好。,在 一定的情况下，越大，振荡频率 也越高，响应平稳性也越差。,（一）.延迟时间 的计算,单位阶跃响
10、应到达其稳态值50%所需的时间。,令h(t)=0.5，得延迟时间的近似表达式：,（二）.上升时间 的计算,响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间.,与欠阻尼系统相同,3.3.4 过阻尼二阶系统的动态过程分析,化为标准形式,即有 n2=K/Tm=25,2n=1/Tm=5,解得 n=5,=0.5,已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。,例3.2,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,例3.3,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性,调
11、节时间减小。,3.3.4 改善二阶系统性能的措施,1.比例微分控制(proportional plus derivative control),(1)方法的思路,未超前校正,超前校正,实例参考,开环传递函数：开环增益：K=n/2,特点:(1)引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；(2)零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。(3)不影响系统误差，自然频率不变。,闭环传递函数：,闭环系统具有零点,可以使上升时间提前.阻尼增大,
12、超调减小。,(2)性能分析,抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性,调节时间减小。,2.速度反馈(velocity feedback)控制,(1)方法的思路,超前校正,未超前校正,由上可知：1)速度反馈使增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；2)速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例微分控制；3)系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益.,在二阶系统中引入微分反馈：,闭环传递函数：,开环传递函数为：,(2)性能分析,3.比例微分控制与输出微分反馈的比较,（1）增加阻尼的来源,比例微分的阻尼来自误差信号的速度；输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度；因此对于
13、给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；,（2）对于噪声和元件的敏感程度,比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用；输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用第5章，对噪声不敏感；比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大。输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；,（3）开环增益和自然振荡角频率的影响,比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率都没有影响；输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环增益会明显减小本章最后一节；使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；,（4）对动态性能的影响,
14、比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了系统的响应速度；相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输出微分反馈系统的超调。,4.零点对阶跃响应的影响,(1)零点对阶跃响应的影响 假设系统中增加一个闭环实零点，即系统中增加了一个串联环节 且闭环零点z位于复平面的左半平面，,上式拉普拉斯反变换 可见，增加一个闭环左实零点以后，系统阶跃响应增加了一项，该项的值与c(t)的变化率成正比，与该零点离虚轴的距离成反比。显然，该零点的增加将使系统响应过程加快，超调量增大，系统对输入作用的反应灵敏了。,反之，如果增加的闭环零点位于复平面的右半平面，即，则这将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统对输入作用
15、的反应变滞呆了。,3.4 高阶系统的时域分析,特点：1)高阶系统时间响应由简单函数组成。2)如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。3)时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。,由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。,3.4.1 高阶系统的瞬态响应 n阶系统的闭环传递函数为,当输入为阶跃输入时，R(s)=1/s,则输出为,工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统。,通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的
16、分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。,1.主导极点,分析方法：1)可由系统主导极点估算高阶系统性能。2)忽略偶极子的影响。,2.偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。,一、稳定性的基本概念,图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图(b)就是不稳定的。,3.5 线性系统的稳
17、定性分析,稳定性的定义,稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。,反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质。,系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的，即系统的零输入响应是收敛的。,二、稳定的充要条件,若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当 时，脉冲过渡函数 收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：,则线性系统是稳定的。,设系统传递函数 k个实极点,r对
18、共轭复极点,设闭环系统的传递函数,由上式可以看出：要使,必须使特征方程的根满足Repi0,闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。,对上式进行拉氏反变换得系统的单位脉冲响应为：,由此得出线性系统稳定的充分必要条件为：,线性系统特征方程为：稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。,3.5.1 劳斯古尔维茨判据,系统闭环稳定的充分必要条件:1)特征方程各项系数均大于零,即 ai02)赫尔维茨行列式全部为正,即,1.赫尔维茨稳定判据,劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：,当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳
19、定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。,2.劳斯判据(Routh stability criterion),L,L,L,L,判别系统稳定性。,例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据,解：列出劳斯表,第一列数据不同号，系统不稳定性。,3.劳斯判据特殊情况的处理：1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程
20、求导，用所得方程的系数代替全零行。,判断系统的稳定性。,例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据,例3.6 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2(取代0)2 s1 2-4/s0 2,可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。,解：列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式A(s)的系数 s3 0 0 0,A(s)=2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16
21、s,此时第一列元素全为正，系统并非不稳定；阵列出现全零行，系统不是稳定的；综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。,解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y，A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0,以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4,4、劳思稳定判据的应用,判断系统的稳定性,3.应用劳思判据可以确定一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,劳斯判据的缺点,一是它不能指出如何使系统达到稳定；,二是它不能指出系统是否具有满意的动态过程，
22、即它不能表明系统特征方程根相对于s平面上距虚轴的距离。,2.判断系统特征根是否位于垂直线s=-a（a为给定稳定度）之左。,例3.7 检验特征方程式,是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-的右边。,(1)特征方程式系数都为正实数,满足稳定的必要条件,(2)列劳斯阵列表,第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。,解,令s=z-1，代入特征方程式，得,即,则新的劳斯阵列表,从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。,2.分析系统参数对稳定性的影响,设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的范围,图3-8,解(1)系统的传递
23、函数为：,特征方程为：,(2)列劳斯阵列表,系数都为正实数,(2)列劳斯阵列表,0 K 30,其稳定的临界值为30。,若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，,即 K 0，30-K 0,例：3.8某系统如下图所示，其K是待定参数，已知，试用劳思稳定判据确定使 闭环系统稳定的K取值范围，如果要求闭环系 统的极点全部位于s=-1之左，问K值范围应取 多大？,解.首先写出系统的闭环传递函数：,特征方程式为：,劳 斯 表,1,7500,7500K1,令：,当要求闭环极点全部位于s=-1之左时，可令s=s1-1，代入原特征方程，得到新特征方程：,令第一列各元素为正，得到全部闭环极点位于s
24、=-1之左的K1取值范围：,劳 斯 表,1,7433.8,7500K1-7466.4,稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指，稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定系统误差的终值,e(t)=希望值实际值,3.6.1 稳态误差(steady state error)的定义,3.6 线性系统的误差计算,（1）从输入端定义：输入信号与主反馈信号之差。,这种误差的定义在实际系统中是可以测量的，具有一定的物理意义。,（2）从输出端定义：系统输出量的实际值与希望值之差。,这种定义误差的方法在性能指标的提法中经常应用，但在实际系统中是不可测量的，因而只具有一定的数学意义。,单位反馈时二者定
25、义一致,3.6.2 稳态误差计算,根据终值定理,误差传递函数为：,瞬态分量,稳态分量,1）,符合终值定理应用条件。,3）,不符合终值定理应用条件。,2）,符合终值定理应用条件。,为 1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sint，求系统稳态误差。,解：误差传递函数为,例3.9 设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别,本题说明：1）使用终值定理要注意条件 2）稳态误差与输入有关。,使用终值定理将得出错误结论。,一、影响稳态误差的因素 一般开环传递函数可以写成如下形式：,3.6.3 系统类型与静态误差系数(steady state error coeffic
26、ient),显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。,式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为 0 型、型、型系统。,二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数(position error coefficient),三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数(velocity error coefficient),四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数(acceleration error coefficient),五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系,减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的
27、阶次、增加开环增益 K。,表3-1 输入信号作用下的稳态误差,例3.9 系统输入r(t)=(+t+t2/2)1(t)，求0 型、型、型系统的稳态误差。,解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：,例.3.10一复合控制系统如图,解.系统的闭环传递函数：,等效单位反馈开环传递函数为：,故系统为2型系统，且,与型次v有关，而v又与开环传递函数的零极点数有关。,3.6.4 动态误差系数法,动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。,其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。,设误差传递函数在s邻域展开成泰勒级数为：,对上式进行拉氏反变换得：,方法一：整式除法,令：,则误差传递函数为
28、：,将系统误差传递函数的分子和分母多项式排列成S的升幂多项式，然后用分子多项式除以分母多项式，得到一个s的升幂级数。,方法二：求导法,将系统误差传递函数在S=0的临域内展成泰劳级数：,其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。,对上式进行拉氏反变换得：,例3.11：设单位反馈控制系统的开环传递函数为：若输入信号为，试求系统的稳态误差。,解.系统误差传递函数,动态误差系数为：,静态误差,得,例3.12 单位负反馈系统的开环传递函数 输入信号，求稳态误差的时间函数。解 单位负反馈系统,3.6.5 扰动作用下的稳态误差,负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态
29、误差。,扰动不可避免,它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。,扰动稳态误差,控制对象,控制器,总的误差=R(S)引起的误差+n(S)引起的误差,输出对扰动的传递函数,扰动N(s)作用时,系统误差为:,与 G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。,例3.13：求(a)、(b)扰动作用下的扰动误差essn,作用点不同,稳态误差也不同。,上例中在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替,从前述可知：（1）在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益,可减小系统的给定稳态误差；（2）增加误差信号到扰动作用点之间的积分环节个数或
30、放大系数，可减小系统的扰动稳态误差。但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。,提高系统稳态精度的方法：,有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用其它的方法减小和消除稳态误差。,例3.14,求r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系统稳态误差。,解：r(t)作用时：Kp=,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。,n(t)作用时：,3.7 按扰动补偿的复合控制,一、前馈补偿,1.按参考输入补偿,位置随动系统：雷达跟踪系统、船舵操纵系统。,若,2.按扰动输入补偿,物
31、理上难实现（分子阶次高于分母的阶次），近似取,提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法,前馈控制作用，能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的,影响系统的动态性能,稳定性,系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性,本章重点：1、时域性能指标；2、一阶系统的时域分析；3、二阶系统的时域分析；标准型（开环、闭环）单位阶跃响应 欠阻尼（动态性能指标和稳态误差）其它阻尼情况4、二阶系统性能的改善；5、线性系统的稳定性；定义 充要条件、必要条件 判据：赫尔维茨判据 劳斯判据（含两种特殊情况）相对稳定性的判断6、稳态误差及计算 系统类型与稳态误差系数 扰动作用下的稳态误差计算 系统总的稳态误差计算 减小稳态误差的方法,作业：3-4、3-9(1)、3-12(2)、3-13、3-15(3)、3-18,
