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1、自动控制原理,(Principles of Automatic Control）,第三章控制系统的时域分析法,时域分析法 是一种在时间域内对系统进行分析的方法,具有直观、准确、时时提供系统响应的全部信息的特点.根轨迹法频域分析法,常用的分析方法,本章主要内容,3.1控制系统的时域指标,3.2一阶系统的时域响应,3.3二阶系统的时域响应,3.4线性系统的稳定性分析,3.5线性系统的稳态误差,3.1控制系统的时域指标,3.1.1 典型输入信号,3.1.2 时域性能指标,3.1.1 典型输入信号,1.阶跃函数（位置函数）,单位阶跃函数：令R0=1，记为1（t）,其拉氏变换为,2.斜坡信号(ramp
2、signal),斜坡函数（速度函数）,若，则称为单位斜坡信号,其拉氏变换为,3.抛物线信号,等加速度函数(acceleration signal),当 时，则称为单位等加速度信号,其拉氏变换为,理想单位脉冲函数：若 记为,4.脉冲信号(impulse signal),单位脉冲函数：令H=1，记为,面积：,5.正弦函数(sinusoidal signal),其拉式变换为,各函数间关系：,任何控制系统的时间响应都由动态响应和稳态响应两部分组成。动态响应：又称过渡过程、瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应：又称稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当
3、时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。,一个可以实际运行的系统，必须是稳定的。,3.1.2 时域性能指标,1、动态性能指标,动态性能指标示意图1,动态性能指标示意图2,振荡次数N:在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。,稳态误差是控制系统精度和抗干扰能力的一种度量，反映控制系统复现或跟踪输入信号的能力。,当响应时间大于调整时间时，系统就进入稳态过程。稳态误差 是稳态过程的性能指标，其定义为：当时间 时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即,2、稳态性能指标,3.2一阶系统的时域分析,first-order system analysis in time-domain,3.2.1 一阶系统的
4、数学模型,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应,3.2.5 一阶系统的单位加速度响应,3.2 一阶系统的时域分析,3.2.1 一阶系统的数学模型,dc(t)T+c(t)=r(t)dt,R(s)1 K K/SG(S)=C(S)TS+1,G(S)=1/TS H(S)=1,微分方程,传递函数,用闭环结构图表示为,3.2.2 单位阶跃响应,动态性能指标：ts=3T(s)对应5%误差带 ts=4T(s)对应2%误差带 T反映了系统的响应速度。,斜率逐渐变小，最后趋于零,位置误差随时间的增加而减小,稳态误差：ess=1-h(t)=0 对
5、于一阶系统，其单位阶跃响应没误差，可完全复现输入信号。,3.2.3 单位脉冲响应,由此我们可以看出一创系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线。若定义曲线衰减到其初始的5所需的时间为脉冲响应调节时间，则仍有ts=3T。故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。,3.2.4 单位斜坡响应,位置误差随时间的增加而增大,跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大，因此一阶系统不能实现加速度输入函数的跟踪。,跟踪误差：,3.2.4 单位加速度响应,单位脉冲响应,单位阶跃响应,h(t)=1-e-t/T,h(0)=1/T,h(T)=0.632h(),h(3T)=0.95h(),h(2T)=0.865h(),h(4T)
6、=0.982h(),单位斜坡响应,T,c(t)=t-T+Te-t/T,r(t)=(t)r(t)=1(t)r(t)=t,一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响应等该输入信号时域响应积分。对线性定常系统只需由一种典型信号的响应，就可推知于其它.,线性定常系统的一个重要性质：,WORDS AND PHARASES,阶跃信号 step signal斜坡信号 ramp signal等加速度信号 acceleration signal脉冲信号 impulse signal正弦信号 sinusoidal signal上升时间 rise time峰值时间 peak t
7、ime超调量 overshoot调整时间 setting time,3.3二阶系统的时域分析,second-order system analysis in time-domain,1 二阶系统的数学模型,2 二阶系统的单位阶跃响应,3 欠阻尼二阶系统的性能分析,4 过阻尼二阶系统的性能分析,5 二阶系统性能的改善,3.3.1 二阶系统的数学模型,二阶系统的特征参数：,阻尼比(相对阻尼系数),无阻尼自振角频率(固有频率),凡以二阶系统微分方程描述的系统，称为二阶系统,微分方程：传递函数：用闭环结构图表示为：,二阶系统的结构及标准型,特征根性质取决于值的大小，分以下几种情况讨论：,假设初始条件为
8、零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,01,1,0,1,二阶系统的单位阶跃响应,2,(s)=,s2+2ns+n2,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,零阻尼,0的四种情况,（1）欠阻尼（0 1）系统的特征根为一对具有负实部的共轭复根：,其中,式中：阻尼振荡角频率，或振荡角频率 阻尼角 衰减系数,其单位阶跃响应：,由于 故要有,令,求得,则,1.上升时间Rise time tr,对上式求导,令其为零,根据峰值时间定义,由于：,解得：,2.峰值时间Peak time tp,将峰值时间带入,3.超调量Overshoot Mp,最佳取值:,是按指数衰减的正弦振荡
9、的包络线，因而当它衰减到 值的时间可近似地视为是系统的调整时间ts。,是对称于c()的一对包络线,整个响应都包含在这一对包络线内。,4.调整时间Setting time ts,由上式求得,如取,则当 较小时，近似为,当 时，近似为其中，为系统的时间常数。,5.振荡次数N,振荡次数N表示在调节时间内，系统响应的振动次数，用数学式子表示为 当考虑5%的误差带时，则 当考虑2%的误差带时，则 通常N取整数。,6.稳态误差,欠阻尼二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。,典型二阶系统欠阻尼时的动态性能指标,上升时间tr,峰值时间tp,超调量%,调节时间ts,例3-1 控制系统如图3-15所示，要使=
10、0.6，试确定参数K值，并计算动态性能指标：调节时间、峰值时间、超调量。解：系统的闭环传递函数与二阶系统的数学模型对照，可得,故,要使=0.6，由上式得K=0.56。,下面计算性能指标：调节时间 峰值时间 超调量,例3-2要求系统具有性能指标：,确定系统参数,并计算单位阶跃响应的,性能指标,解：由图可知系统闭环传递函数：与标准形式比较，由 得：,若取误差带为,（2）无阻尼（=0）系统的特征根为一对共轭虚根：,输出量的拉氏变换为：二阶系统的暂态响应为：,（3）临界阻尼（=1）系统的特征根是两个负实根：,输出量的拉氏变换：,其单位阶跃响应：,响应曲线：,（4）过阻尼（1）系统的特征根为复平面负实轴
11、上的两个不等实极点：,其单位阶跃响应：,结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。,临界阻尼(=1)时的单位阶跃响应（）响应的稳态分量为1，暂态分量随着时间的推移最终衰减到零，ess=0。,欠阻尼(01)时的单位阶跃响应（）稳态分量为1，暂态分量为振幅随时间按负指数规律衰减的周期函数，其振荡角频率为d，由于，可见的值越大，振幅衰减越快，最终衰减到零,ess=0。,(arccos),结论：在稳定的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程度与 有关：越小，振荡越剧烈。,当=0时，系统不能正常工作，=1时，系统暂态响应
12、进行的又太慢，所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况（）是最有实际意义的。,离虚轴最近的闭环极点对系统的动态响应起主导作用。,高阶系统怎么办？,响应曲线的类型（震荡情况）由闭环极点的性质所决定。动态响应曲线的形状由闭环系统的零点、极点共同决定。闭环极点离虚轴越近，其对系统的影响越大。,偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点，对系统的影响很小。,主导极点：如果系统中有一个(极点或一对)复数极点距虚轴最近，且附近没有闭环零点；而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。,WORDS AND PHARASES,阻尼比 damping r
13、atio无阻尼自然频率 undamped natural frequency阻尼自然频率 damped natural frequency过阻尼 overdamp overdamping临界阻尼 critical damping欠阻尼 underdamping,3.4 线性系统的稳定性分析,Stability analysis of linear systems,系统稳定的充要条件,系统稳定的必要条件,3 劳斯稳定判据,4 赫尔维茨判据,线性控制系统稳定性的定义为：,线性控制系统在初始扰动影响下，若其动态过程随时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零(或原平衡工作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳
14、定；若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。,线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。稳定性是系统的固有特性，是扰动消失后系统自身的恢复能力。,常用的稳定判据：代数判据（Routh、Hurwitz）Nyquist稳定判据,3.4.1 系统稳定的充要条件（sufficient and necessary condition),如果脉冲响应函数是收敛的，即有表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定
15、与其脉冲响应函数收敛是一致的。如果 则系统是不稳定的。如果则系统是临界稳定的。,由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统的复域脉冲响应函数C(s)就是系统的闭环传递函数。令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则其传递函数可写为,式中，,上式用部分分式展开，得系统的时域脉冲响应为,若系统的特征根全部为负实部根，则成立，系统稳定；若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式 成立，系统不稳定；若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，成立，系统临界稳定。工程上，将临界稳定也视为不稳定。,线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部
16、。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于s左半平面。,注意：对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。,3.4.2 系统稳定的必要条件,定理：若系统的特征方程为 则系统稳定的必要条件是（依系数判稳）：特征方程式无零系数，且各项系数均为正值。,证明：设P1、P2、为实数根。、为复数根。其中，P1、P2、和、都为正值(符合充要条件），则式(3-57)改写为 即,因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后s各次项必然仍为正值且不会有系数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为
17、正的复数根，则由式(3-58)可知，对于方程式s各次项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。然而，这一条件是不充分的，因为各项系数为正数的系统特征方程，完全有可能拥有正实部的根。,不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。,3.4.3 劳斯稳定判据(Rouths stability criterion),由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。由
18、于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。,设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表,由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。列表规律：,3 分母总是上一行第一个元素,4 一行可同乘以或同除以某正数,2 次对角线减主对角线,1 右移一位降两阶,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在s的左半平
19、面，相应的系统是稳定的。(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在右半s平面上的个数。,例3-2 已知三阶系统特征方程为判断系统稳定的充要条件。解：列劳斯表为 根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且bcad。,例3-3 设系统特征方程为使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。解：列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。,两种特殊情况：,劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使
20、计算下一行第一元素时出现无穷现象。解决的办法是：以一个很小的正数 代替为零的该项，继续劳斯表的列写。,若劳斯表第一列的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。,例3-4 设系统的特征方程为试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。解：基于方程中s2项的系数为零，s一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表,由上表可见
21、，其第一列 项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。,(2)如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和(或)共轭虚根。解决的办法是：可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。,例3-5 系统的
22、特征方程为 试判稳。解：劳斯表如下：,用系数为4和6代替s3这行中相应的0元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知有一个正实部根，系统不稳定。由P(s)=0得 求得两对大小相等、符号相反的根为，显然，这个系统是处于不稳定状态。,补1 系统特征方程 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,劳斯表特点,系统不稳定,劳斯判据的补充习题,劳斯表出现零元素,劳斯表出现零行,补2 设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯
23、表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数:2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3,劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线 的右侧根的数目。只要令 并代入原方程中，得到以 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线 的右侧。用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据的应用）,例3-6 用劳斯判据检验下列特征方
24、程 是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直线s=1的右方。解：列劳斯表 由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是稳定的。,令s=z1代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线s=1的右方。列出以z为变量的劳斯表 由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线s=1的右方。,劳斯判据的应用,单位反馈系统开环传递函数如下，确定使系统稳定的k的范围,3.4.4 赫尔维兹判据,该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为 以特征方程式的各项系数组成如下行列式,赫尔维兹判据：系统稳
25、定的充分必要条件是 在 的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于零，即,例3-7 系统的特征方程为，判断系统的稳定性。解：系统行列式 由赫尔维兹判据，该系统不稳定。,例3-8 系统的特征方程为，判断系统的稳定性。解：系统行列式 由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知二阶系统稳定的充要条件是特征方程的所有系数均大于零。,3.5 控制系统的稳态误差,Steady-state error of control system,稳态误差的定义,系统类型,3 扰动作用下的稳态误差,4 提高系统稳态误差的方法,线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差叫原理性稳态误差。由于非线性因
26、素所引起的系统稳态误差叫附加稳态误差，或结构性稳态误差。无差系统：阶跃函数作用下，没有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差,稳态误差定义为稳定系统误差的终值，用ess表示，即。它是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。,3.5.1 稳态误差的定义,系统误差定义为 e(t)=r(t)-b(t)r(t)相当于代表希望值的指令输入，而b(t)相当于被控量c(t)的测量值（且b(t)与r(t)同量纲），H(s)为检测元件,系统典型结构图,如果系统的误差的拉氏变换E(s)在s的右半面及除原点外的虚轴上没有极点，则其稳态误差可用拉氏变换的终值定理进行求解：,令系统对输入指令的误差传递函数Ge(s),则可
27、将误差表示为：,3.5.2 系统的类型,K:为系统的开环增益,设系统开环传递函数为,为积分环节数,！,系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别,令,系统稳态误差计算通式则可表示为,分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况,阶跃信号输入,令,令,要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统,斜坡信号输入,静态速度误差系数,令,加速度信号输入,静态加速度误差系数,令,令,例3-9 单位反馈系统传递函数为，已知系统稳定，控制信号为，试计算系统的稳态误差。解：系统稳态误差函数为,例3-10 一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2；设该系统为三阶
28、，其中一对复数闭环极点为求满足上述要求的开环传递函数。解：根据(1)和(2)的要求，令其开环传递函数为,因为,按定义,则,相应的闭环传递函数,所求开环传递函数为,3.5.2 扰动作用下的稳态误差,可用拉氏变换的终值定理进行求解：,系统对干扰的误差传递函数en(s)为,若，则上式可近似为,例如,若,则稳态误差,可见扰动作用点之前的增益越大，扰动产生的稳态误差越小，而稳态误差与扰动作用点之后的增益无关。,比较可以看出，扰动信号作用下的稳态误差与扰动信号作用点之后的积分环节无关，与误差信号到扰动点之间的前向通道中的积分环节有关，要想消除稳态误差，应在误差信号到扰动点之间的前向通道中增加积分环节。,若
29、,则稳态误差,稳态误差的计算,如果系统的误差的拉氏变换E(s)在s的右半面及除原点外的虚轴上没有极点，则其稳态误差可用拉氏变换的终值定理进行求解：,令系统对输入指令的误差传递函数er(s)和系统对干扰的误差传递函数en(s)分别为,则可将误差表示为：,提高系统的开环增益和增加系统的类型数是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但是这两种方法在其他条件不变时，一般都会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益和积分环节的个数，可以减小扰动信号引起的稳态误差。但同样会影响系统的稳定性。采用复合控制，将反馈控制与扰动信号的前馈与给定信号的顺馈相结合。,3.5.4 提高系统稳态精度的方法,时域分析法是通过求解控制系统在典型输入信号作用下的时间响应来分析系统稳定性、快速性和准确性，以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。,一阶系统的性能指标主要决定时间常数T（调节时间ts）；二阶系统的欠阻尼时的响应及性能指标分析占有重要的位置，它是高阶系统分析的基础。,稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。重点掌握根据系统型别和稳态误差系数，按输入端定义的给定输入作用下稳态误差的计算方法。,稳定的充要条件是系统闭环特征方程的根全部位于s的左半面；判别系统稳定性的方法有劳斯稳定判据。,
