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1、第十章动 量 定 理,1,2,3,4,5,即,10-1 动量与冲量,一、动量,质点系的动量,质心,质点的动量,问题：如何用简便方法计算刚 体或刚体系的动量？,在国际单位制中，动量的单位为 kgm/s。,结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。,6,绳的质量和变形不计，,已知:,求: 这三个质点动量的矢量和。,投影 :,7,杆长：l，质量：m，,角速度：。,方向与vC一致。,均质轮质量：m，轮心速度：vC。,方向与vC一致。,均质圆轮质量： m。,8,二、冲量,1常力的冲量,变力的冲量,作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量,冲量是矢量，它的方向与常力的方向一致。,变力的元冲量,变
2、力的冲量,冲量的单位，在国际单位制中：Ns。,9,10-2 动量定理,1.质点的动量定理,或,即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.,在 内, 速度由 , 有,即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.,质点动量定理的微分形式,质点动量定理的积分形式,10,2.质点系的动量定理,外力: , 内力:,内力性质:,质点:,质点系:,或,质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.,11,即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和
3、.,质点系动量定理微分形式的投影式,质点系动量定理积分形式的投影式,质点系动量定理的积分形式,3质点系动量守恒定律,若 , =恒矢量,若 , = 恒量,12,报道1、1962年，一架“子爵号”客机，在美国的伊利奥特市上空与一只天鹅相撞，客机坠毁，十七人丧生。,报道2、1980年，一架英国的“鸽式”战斗机在威夫士地区上空与一只秃鹰相撞，飞机坠毁，飞行员弹射逃生,问题：小小飞禽何以能撞毁飞机这样的庞然大物？,思考与讨论,13,如果天上飞的鸟撞上飞机.,鸟重0.45公斤，飞机速度80公里/小时，相撞将产生1500牛顿的力。鸟重0.45公斤，飞机速度960公里/小时，相撞将产生21.6万牛顿的力。鸟重
4、1.8公斤，飞机速度700公里/小时，相撞将产生比炮弹还大的冲击力。,14,电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.,例10-2,15,得,解:,由,动约束力,附加动约束力,16,质点系动量守恒的实例,炮身与炮弹人与小船,结论：只有外力才能改变质点系的动量；内力不能改变质点系的动量，但能改变其中各部分的动量。,动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；,应确定一个正方向，严格按照动量投影的正负号去计算；,动量守恒定理常用来求速度。,17,实例分析太空拔河,宇航员A、B的质量分别为mA、mB。开始时二人
5、在太空保持静止。若A的力气大于B，则拔河胜负如何？, 二人拔河不分胜负！,18,例题 火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr ，炮筒对水平面的仰角是 （图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。,19,例 质量为m1的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m2的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。已知系统初始静止。,受力分析，,则小三角块,小三角块相对大三角块速度为 ，,20,由水平方向动量守恒及初始静止 ；则,21,一、质量中心(简称质心),计算质心位置时，常
6、用上式在直角坐标轴上的投影形式，即,质量中心的公式：,10-3 质心运动定理,22,2022/11/26,23,如图所示，曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OA =AB =l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。求此系统的质心运动方程、轨迹方程和动量。,例10-3,24,解：设t=0时杆OA水平，则有=t。所以质心C的坐标为,上式为此系统质心C的运动方程。,上两式消去时间t，得,即质心C的轨迹方程。,25,动量,系统动量的大小为,系统动量的方向余弦为,26,问题：内力是否影响质心的运动？,由,得,或,质点系的质量与质心加速度的乘积等于作
7、用于质点系外力的矢量和.,质心运动定理,质心运动定理与动力学基本方程有何不同？,二、质心运动定理,由于,因此动量定理的微分形式可写成,27,在直角坐标轴上的投影式为:,在自然轴上的投影式为:,质心运动定理是矢量式。,应用时取投影形式。,28,三、几点说明,（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。,如在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。,29,（2）质系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改
8、变质 心的运动。,30,驱动汽车行驶的力,汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力，对汽车来说是内力。,当F1F2Fr时，aC0,31,（3）若质点系是由n个刚体组成的系统，则刚体系内各刚体的质量与其质心加速度乘积的矢量和，等于作用于刚体系的外力的主矢。即,在直角坐标上投影形式,32,均质曲柄AB长为r,质量为m1 ,假设受力偶作用以不变的角速度转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A 处的最大水平约束力Fx .,例10-5,33,显然,最大水平约束力为,应
9、用质心运动定理,解得,如图所示,解:,34,例 如图所示，均质杆OA，长 ,重为 ，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。,解:取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。取坐标系Oxy，杆OA质心加速度为：,方向如图（b）所示。则：,35,由质心运动定理得：,解得：,本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己进行求解。,36,质心运动守恒定律,从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若
10、开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。该结论称为质心运动守恒定律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,37,若，则 常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若 则 常量，质心沿x方向速度不变； 若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,质心运动守恒定律,质心运动定理的投影式,38,用质心运动定理可以解释工程实际中的一些现象： 空中飞行的弹丸如不受空气阻力，其质心将沿抛物线轨道运动。假设弹丸在空中爆炸，爆炸力是内力，只能使爆炸后各碎片的运动重新分配。各碎片可以脱离原轨道四散飞开，但所有碎片所组成
11、的系统的质心仍将继续沿爆炸前弹丸质心的抛物线轨道运动，直到有一弹片碰到其他物体为止。工程上常用的定向爆破的施工方法也是利用质心运动定理预先估算碎石的抛射距离。 再如，汽车之所以能够行进，是依靠驱动轮与地面之间向前的摩擦力。否则，车轮只能在原地空转，因为发动机中的燃气压力属于内力，它并不能直接产生质心加速度而使汽车前进。冰雪天气，由于路面湿滑，常常在汽车的车轮上缠上防滑链，就是为了增加驱动轮与地面间的摩擦力。刹车时，制动装置与车轮之间的摩擦力是内力，它并不能改变质心的运动状态而使汽车停止前进，但能阻止车轮相对于车身的转动。如果没有车轮与地面之间的摩擦力，即使制动装置使车轮停止转动，车辆仍然要向前
12、滑行，不能减速。,39,求:电机外壳的运动.,40,设,由 ,得,解:,41,例:在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1,船长l，水的阻力不计。求船的位移。,解：取人和船为研究对象。,且,因,所以,取图示坐标。在人走动前，质心的坐标为,人走到船尾时,船位移的距离为s,则质心的坐标为,由于,解得,42,质心运动定理建立了作用于物体的外力与质心运动状态之间的关系，特别适合于求解已知质心运动求外力，或已知外力求质心运动规律的问题。对于那些不受外力或外力在某轴上的投影为零的质点系动力学问题，则适宜用质心运动守恒定律来求解。应用质心运动定理解题的步骤如下：(1) 选取研究对象
13、，分析受力(画出质点系所受全部外力，包括主动力和约束反力)。(2) 如果外力主矢等于零，或外力在某轴上的投影为零，则应用质心运动守恒定理求解。若初始静止，则质心的坐标保持不变。分别计算两个时刻质心的坐标(用各质点的坐标表示)，令其相等，即可求出所要求的某质点位移。(3) 如果外力主矢不等于零，若已知质心的运动规律，先求出质心加速度，然后应用质心运动定理求未知力(一般为约束反力) ；若已知作用于质点系的外力，先计算质心坐标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。,43,例题 图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱两三棱柱的截面均为直角三角形三棱柱的质量ma为三棱柱的质量mb 的三倍，其尺寸如图示.设各处摩擦不计,初始时系统静止.求当三棱柱B沿三棱柱A滑下接触到水平面时,三棱柱A移动的距离，三棱柱A的加速度和地面的约束反力.,解：（1）以整体为研究对象，水平向质心运动守恒,44,（2）以整体为研究对象，由质心运动定理,单独考虑B块，,经求解可得A、B块的加速度为,（3） 确定地面的反力,根据质心运动定理,B沿xt方向运动微分方程为：,45,2022/11/26,46,
