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1、 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学） ：,结 论：,一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任一点的角动量与角速度的方向相同.,现在讨论力矩对时间的积累效应。, 对于定轴转动质点系：, 质点系：,（质点系的角动量定理）,对点：,现在讨论力矩对时间的积累效应。,（定轴角动量守恒定律）,（可以不是刚体，也可以是一个或几个刚体）, 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1. 刚体定轴转动（对轴）的角动量,2. 刚体定轴转动
2、的角动量定理,则,刚体作定轴转动的转动惯量 保持不变，则,刚体定轴转动的角动量定理,3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,非刚体定轴转动的角动量定理,刚体角动量定理： 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。,3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此固定轴的角动量守恒。,-对定轴的角动量守恒,但角动量可在内部传递。,当 时,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守 恒条件:,若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.,3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,有许多现象都可以用角动量守恒来说明.,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律 能
3、量守恒定律 角动量守恒定律,电荷守恒定律质量守恒定律宇称守恒定律等,花样滑冰跳水运动员跳水,圆锥摆,以子弹和杆为系统,机械能不守恒 .,角动量守恒；,动量不守恒；,以子弹和沙袋为系统,动量守恒；,角动量守恒；,机械能不守恒 .,圆锥摆系统,动量不守恒；,角动量守恒；,机械能守恒 .,下面几种情况系统的动量、角动量和机械能是否守恒？,例: 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
4、大速率向细杆端点爬行?,解: 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,由角动量定理,即,考虑到,例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一周，求盘相对地转动的角度.,解：,系统对转轴,角动量守恒,人 ，盘,M = 0,（对地的角位移）,例：,圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度,解：,在走动过程中,人盘系统 L=const.,设任意时刻，人对盘: ；盘对地: ,则有, Mm,讨论, Mm,作 业： 7.4.3. 思 考： 7.4.1.,例: 已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上
5、，开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹一起运动时的角速度.,解：,子弹进入到一起运动，瞬间完成.,系统（子弹+棒）,外力：,重力、轴的作用力,对轴的力矩为零,角动量守恒,动量守恒？,或,结合本章教材习题 7.3.6（打击中心） ，在什么情况下，上页例题中系统（子弹与杆）的动量在碰撞打击前后保持守恒？,碰撞前后系统的动量：,所以，系统（子弹与杆）的相互作用力作用在打击中心时，动量在碰撞打击前后保持守恒.,系统对轴的角动量守恒,解：轴反力设为,由转动定理：,为作用时间,得到：,由质心运动定理：,切向：,法向：,于是得到：,例题 如图所示，一质量为 m 的子弹以水平
6、速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒的角速度 ，已知棒长为 l ，质量为 M.,子弹对棒的反作用力 对棒的冲量矩为,解 以 f 代表棒对子弹的阻力，对于子弹有,思考题： 1、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？ 2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在 水平方向上动量是否守恒？ 4、机械能是否守恒？,刚体的重心,重心刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点.,如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C 轴合力矩为零.,则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质
7、心是质量中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作用线通过的那一点.,若取,典型例子,例题如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴 处，闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.,（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和质点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图(b)需拉力是多少？,解（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy，,向x及y轴投影得
8、,根据转动定理,起动时,根据质心运动定理,即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点O 对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.,(2) 用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：,比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小.,例题如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线的长度不变.,解 分别以质点 m 和转动系统 I+I0 作为研究对象，受力分析如图.,例题 如图所示，将一根质量为 m 的长杆用细绳从两端水平地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？,解 设杆长为2l ，质心运动定理和转动定理给出绳断的一刹那的运动方程：,式中转动惯量 。因在此时刻悬绳未断的一端的速度为0，从而在质心的加速度和角加速度之间有,如下关系：,得绳中张力,
