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1、,高等数学 上机教学（三）,微分方程求解,上机目的,上机内容,MATLAB,2、学会用 Matlab 求微分方程的数值解.,上机软件,1、学会用 Matlab 求简单微分方程的解析解.,1、求简单微分方程的解析解.,4、上机作业.,2、求微分方程的数值解.,3、 数学建模实例.,1、微分方程的解析解,结果：u = tan (t+c1),例如求下例微分方程的特解。,在Matlab命令窗口中输入： y=dsolve(Dy=exp(x),y(0)=exp(1),x)输出结果为：y =exp(x)-1+exp(1),如想画出函数在自变量x在区间-10,10的函数图像，可在命令窗口中输入： ezplot
2、(y,-10,10),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)作图命令：ezplot(y,1.0,4),2、微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解.而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的.,（二）建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉
3、法.,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法.,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法.,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式.,k越大，则数值公式的精度越高.,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式. 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式. 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式.,（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,opti
4、ons）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以 x 的分量形式写成.,2、使用 Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，在matlab主命令窗口中输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y
5、(:,1),-),3、结果如图：,解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图：,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,由(1),(2)消去t整理得模型:,解法二：(数值解),1. 建立m-
6、文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)2)/(1-x);,2. 取x0=0; xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0; xf=0.9999; x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on; y=0:0.01:2; plot(1,y, r*),结论: 导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰.,令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组.,4、上 机 作 业 （三）,3. 鱼雷追击问题 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里处我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？,1. 求微分方程 ，在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形.,一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹. ( 选作 ),（慢跑者与狗）,谢谢你的阅读,知识就是财富丰富你的人生,
