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1、第一节 初等变换与初等矩阵,第二章,二、 矩阵的标准形,三、 初等矩阵,一、 矩阵的初等变换,四、 小结,定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,二、矩阵的标准形,阶梯形矩阵,例
2、如，,阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成更简单的形式：,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵:,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,三、初等矩阵,定理：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,初等变换,初等变换对应初等矩阵，,由初等变换可逆知，初等矩阵是可逆的，,且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵.,定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵,证,即,必要性,充分性 显然成立,利用初等变换求逆矩阵的方法：,解,例,即,初等行变换,例,解,解：,例3,解法二：,四、小结,2. 利用初等变换求逆矩阵的步骤是:,
