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1、学号：20090401169信阳师范学院华锐学院本科毕业论文 专 业 数学与应用数学 年 级 2009级 论文题目 矩阵初等变换的若干应用 2013年5月8日目 录摘 要1关键词1Abstract1Key Words1引言11.矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念22.矩阵初等变换的若干应用22.1 用初等变换求矩阵和向量组的秩22.2 用初等变换法求逆矩阵42.3 用初等变换化二次型为标准形52.4 用初等变换求解矩阵方程62.5判定向量组的线性相关性，确定极大无关组、向量的线性表示93.总结11参考文献12 矩阵初等变换的若干应用 摘 要：作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换能够把各种复杂的
2、矩 阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便.本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用, 总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及线性相关性的应用. 关键词：初等变换;初等矩阵;秩;逆矩阵;标准形;矩阵方程Abstract： As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the cal
3、culation becomes more simple .In this paper, we introduce some applications of elementary transformation of matrix in algebra, and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form a
4、nd solving the matrix equation .Key Words：Elementary transformation; Elementary matrix; Rank; Inverse matrix; Standard form; Matrix equation引言矩阵理论是代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵的应用中,矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用,前人已经得出了很多有价值的结论,本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若干应用进行了一些讨论.归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩,矩阵的逆,化二次型为标准形,以及求线性矩
5、阵方程的解，线性相关性等方面的应用.1.矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识: 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)交换矩阵的两行（对调,两行,记作）; (2)用任意非零常数乘矩阵的某一行中的所有元素(第行乘,记作); (3)用数乘矩阵的某一行的所有元素加到另一行的对应元素上去(第行的倍加到第行上,记作). 把定义中的“行”换成“列”，是矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把换成）. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换. 定义2 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵或初等方阵.共三类：(1)交换的第行与第行
6、(或第列与第列)得到的初等矩阵;(2)（或）用数域中的非零数乘的第行(或第列)得到的初等矩阵;(3)(或把的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩阵.2.矩阵初等变换的若干应用2.1 用初等变换求矩阵和向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵;因此,我们要确定一个矩阵的秩,首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵,然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例1 设, 求矩阵的秩.解 因此矩阵的秩为3.如果我们要求向量组的秩,可以把每一向量作为矩阵的一行,从而向量组就转化为了一个矩阵,使求向量组的秩转化成求矩阵的秩,自然使问题简单化了.例2 求向
7、量组, , , , 的秩. 解 以为列,构造矩阵,再对进行行初等变换,化为梯形矩阵: 因此,矩阵的秩是4,从而向量组的秩也是4.2.2 用初等变换法求逆矩阵如果是阶可逆矩阵,我们将与并排放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列行初等变换,将其左半部分化为单位矩阵,这时右半部分就是.例3 设，求.解 因此, 同理,如果是阶可逆矩阵,我们将与并列放到一起,形成一个 的矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵,这时下半部分就是.用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法.正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.2.3 用初等变换化二次型为标准形
8、对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形,即为对称矩阵找一个可逆矩阵,使得为对角矩阵,而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵有，从而有是一个对角矩阵.由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:首先,写出二次型的矩阵,构造矩阵,然后对矩阵每进行一次行初等变换后,就对进行一次同样的列初等变换,当矩阵化为对角矩阵时,单位矩阵将化为可逆矩阵,此时,最后得到可逆矩阵和非退化线性变换,在这个变换下二次型化为标准形.例4 化二次型为标准形,并写出所用的非退化线性替换.解 题中二次型的矩阵为, 由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知:=从而非退化线性替换为, 原二
9、次型化为.在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键:对矩阵进行的行初等变换和列初等变换必须是一致的.2.4用初等变换求解矩阵方程2.4.1当,可逆时线性矩阵方程的解我们知道的解为.实际上就是计算形如的矩阵乘积, 因为,所以经过行初等变换可使化为, 也即对矩阵作初等行变换,当处变成单位矩阵时,处得到的矩阵就是.例5 求解矩阵方程,其中，.解 因此 .2.4.2当,不可逆时线性矩阵方程的解当,不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程.定理1如果矩阵方程有解,且可逆矩阵使, 那么该矩阵方程的通解为, 其中为的前行组成的矩阵,中的元素可以任意取值. 以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法:（
10、1）把,放到一起,组成一个矩阵,然后对其做初等行变换, 使得经过行变换后得到矩阵,其中是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵和矩阵的秩,判断方程是否有解,同时取的前面行作成,它满足,且为的前行. （2）如果上述方程有解，则对作初等列变换.过列变换后变成其中，必有.（3）从而由定理1可知，的通解公式为.例6 设, ,求矩阵方程的通解.解 根据求解矩阵方程的步骤，首先将放到一起，组成一个矩阵，如下: ,然后对其作一系列简单初等行变换，使得为上三角矩阵，即 很明显，矩阵和矩阵的秩都是2，故该方程有解.取=，有=，接下来对作初等列变换, 经过列变换后我们可得到.从而，由定理1知，该方程的通解为 其中是任意的矩
11、阵.矩阵方程的通解公式和解法与上面类似，应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点，不但通俗易懂,而且容易掌握.2.5判定向量组的线性相关性，确定极大无关组、向量的线性表示 当向量组的秩小于向量的个数时,向量组线性相关;当秩等于向量的个数时,向量组线性无关.因此可以通过求向量组的秩判定向量组是线性相关还是线性无关,同时确定极大无关组.以向量组与向量为列构成矩阵,然后对只施行行初等变换,化为行最简形矩阵,即.看的最后一列能否由前面各列表示.若能,则由线性表示的系数跟的最后一列由它前列线性表示的系数一样.例7 判定向量组的线性相关性,并求出一个极大无关组,把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线
12、性表示.解 以向量组为列构造矩阵知的秩为2,故向量组线性相关,而极大无关组含2个向量.且2个非零行的非零首元在1,2列,故为一个极大无关组.为把用线性表示,把再变成行最简形矩阵把上面行最简形矩阵记作.由于方程同解，因此向量与b之间有相同的线性关系,现在,因此有 .3.总 结 矩阵是高等代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，除了本文总结的以上应用外，矩阵的初等变换还在运筹学、统计学等方面有着广泛的应用，由此可知，对矩阵及其初等变换的研究是有重要意义的.参考文献1 北京大学数学系. 高等代数(第3版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.2 王文省, 姚忠平
13、. 初等变换的思想方法在高等代数中的应用J. 聊城师范3 樊恽, 钱吉林等. 代数学词典M. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.4 钱吉林. 线性代数概论M. 武汉: 华中师范大学出版社, 2000.5 林亨成, 陈群. 矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用J. 成都教育学院学报, 2006, 91 92.6 戴天时, 陈殿友. 大学数学线性代数M. 北京: 高等教育出版社, 2004.7 赵树嫄. 线性代数(3版)M . 北京: 中国人民大学出版社, 2005. 061.8 Bebiano, Newdevelopmentsb on the Marcus-Oliveira conjecture N. Linear Algebra Applic, (1994)197-198, 793-803.9 Fuchs, The explicit inverse of the stiness matrix M.B., Int.J.Solids Struct, 29(1992), 2101-2113. 10 N. H. Scott, A New Canonical Form for Complex Symmetric Matrices, Proc. R. Soc. Lond. A 1993 441, 625-640.
