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1、1,高等数学,第十八讲,2,习题课,一、 重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第十章,重积分的 计算 及应用,3,一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,4,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或质心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,练习题,4. 利用重积分换元公式,
2、P181 1 (总习题十) ; P182 4, 7(2), 9,解答提示: (接下页),5,1、二重积分的定义,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，,当被积函数小于零时，,二重积分是柱体的体积,二重积分是柱体的体积的负值,6,性质,为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,为D的面积,若,性质,若在D上，,7,性质,性质,（二重积分中值定理）,8,特别：,轮换对称：,若D关于直线,对称，则.,例如计算：,9,、二重积分的
3、计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线,Y型,的直线与区域边界相交不多于两个交点.,与区域边界相交不多于两个交点.,10,（）极坐标系下,11,两个方面。,1若 关于 轴对称，,时，,当 时，,运用对称性时，,当,则有,必须兼顾被积函数与积分区域,两个方面的对称性要相匹配，才能利用,对,12,6、重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面面积,13,(3) 质心,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,1
4、4,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,(4) 转动惯量,15,(4) 转动惯量,16,例1,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,17,解,例2.,18,解,例3.,19,例4.,计算,其中,解: 对于含有绝对值的函数 , 通常分区域积分,原式 =,利用极坐标,20,例5. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,21,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例5. 计算二重积分,其中:,(2) D由直线,围成 .,22,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对
5、称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,在第一象限部分.,其中D 为圆域,23,解：,例6 计算,用极坐标计算。,对称。,如图D是关于直线,24,例7. 计算积分,解: 原式,25,例8 计算,，其中,解：,26,6、三重积分的定义,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列,“乘积和式” 极限,27,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,28,投影法,方法1. 三次积分法,设区域,9、三重积分的计算,29,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的
6、柱形薄片质量为,该物体的质量为,30,() 柱面坐标,() 球面坐标,31,例如计算：,设,轮换对称：,32,5),已知,则,提示:,其形心为,其体积为,33,6) 设,在柱坐标系下 , 有,则,提示:,34,例1：,计算,解 由轮换对称有,设,35,解,例2,被积函数仅为z的函数，,截面,为圆域：,故采用“先二后一”的方法。,36,例3. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,37,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,38,例3.,计算,解：,
7、由,旋转面方程为,所围成的立体如图.,与两平,39,解法1. 用“先二后一”计算,旋转面方程为,40,所围成立体的投影区域如图，,解法2. (用柱坐标计算),旋转面方程为,41,旋转面方程为,42,或,旋转面方程为,43,7 (1) .计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,P124,44,7 (3).计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示:,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183,原式,45,7 (3).计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示:
8、,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183,利用柱坐标,46,证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,P182 4.,47,(2) 质心,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,48,例1. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接,上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,矩形薄片的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀,即有,使整个薄片的形心恰好落在圆心上 ,49,例2.,在半径为,体质心位于球心上，该圆柱体的高应为多少？,，以大圆为xoy平面，球心在原点，,，故,在球面坐标系中,解得,。,的均匀半球体的大圆上接一个半径与,球的半径相等材料相同的均匀圆柱体，使拼接后的立,解：设高为,密度为,50,例3. 计算二重积分,解:,其中,利用对称性,分区域 D 为,(如图) ,则,用形心公式,51,例4,设积分域 D 是以原点为中心, 半径为 r 的,圆域 , 则,解:,由积分中值定理可知,使,存在,于是 , 原式 =,52,例5.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,53,2 (3). 计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,P124,
