经济数学教学ppt课件 第十章 概率论初步.ppt

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1、第三篇 概率论与数理统计,第10章 概率论初步,10.1 随机事件10.2 随机事件的概率10.3 条件概率、乘法公式与事件的独立性10.4 随机变量及其分布10.5 随机变量的数字特征,1.随机现象,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象,“太阳总是从东边升起”,“水往低处流”,实例,10.1 随机事件,确定性现象的特征,条件完全决定结果,我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但每次 的结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中，其结果呈现出一种统计规律性的现象,随机现象,实例 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察结果有可能出现正面也可能出现反面的情况”。,“抛掷一枚骰子，观察出现的点数结果

2、有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6 ”。,2.随机试验,在我们所生活的世界上， 充满了不确定性,随机现象是通过随机试验来研究的。,问题 什么是随机试验？,如何来研究随机现象?,随机试验（E，Random experiment）：具有以下三个特征的试验：（1）可以在相同的条件下重复地进行;（2）每次试验有多种可能结果，并且能知道试验的所有可能结果;（3）进行一次试验之前不能语言哪一个结果会出现。,E1:在一定的条件下进行射击练习，考虑中靶的环数；E2:抛一枚硬币， 观察出现的面；E3: 记录某汽车站某时段内候车的人数；E4: 测试某种灯泡的寿命；E5: 记录电话交换台在单位时间内受到

3、的呼唤次数；E6: 抛掷一颗均匀的骰子出现的点数。,3. 随机事件（事件，Event）：试验E的样本空间的子集。常用A、B、C等表示。注意 ：一旦做试验，就会出现一个结果，即有一个样本点出现。 复合事件由多个样本点构成的集合 基本事件当且仅当A中的一个样本点出现 必然事件每次试验后必有中的一个样本点出现 不可能事件空集不包含任何样本点，显然在每次试验中都不会发生,4. 样本空间（Sample space）: 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为随机试验E的样本空间。用表示。样本点（Sample, Outcome）：样本空间中的每个元素，即试验的每个结果。记为。,例如E2和E6的样本空间分别

4、为2=正面，反面和6=1，2，3，4，5，6。,特别地，E的必然事件就是其样本空间自身，E的不可能事件记为,它对应着空集,10.1.2 事件间的关系和运算1.包含关系,如果A发生必导致B发生，则,相等关系,包含关系的传递性 A，若AB，BC，则A C。,2.和（并）事件 （或 ）,事件 发生当且仅当 A、B 至少发生一个 .,3.积（交）事件,事件 发生当且仅当 A 、B 同时发生.,4.差事件,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,5.互斥关系（互不相容）,6. 对立（逆）事件,请注意互不相容与对立事件的区别！,事件间的关系和运算的性质,分配律:,交换律:,结合律:,对偶律:,运算顺序：逆交

5、并差，括号优先。,【例1】将两颗均匀的骰子各掷一次，若以(x,y)表示其结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，则样本空间为 =(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6若以A，B，C，D分别表示事件“点数之和等于2”、“点数之和等于5”、“点数之和超过9”，“点数之和不小于4也不超过6”。 试写出事件A,B,C,D包含的结果。,【解】A=(1,1)； B=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)； C=(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6); D=(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)

6、,(3,2), (3,3),(4,1),(4,2),(5,1),【例2】设A，B，C为三个随机事件，试表示以下事件：(1) A，B，C都发生；(2) A，B发生但C不发生；(3) A，B，C都不发生；(4) A，B，C中至少有一个发生.,【解】(1) A,B,C都发生可表示为ABC；(2) A,B发生但C不发生可表示为ABC=AB-C；(3) A,B,C都不发生可表示为ABC；(4) A,B,C中至少有一个发生可表示ABC.,10.2 随机事件的概率,频率（Frequency）：描述n次试验中事件发生的频繁程度,概率：表征事件在一次试验中发生的可能性大小,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发

7、生的可能性的大小，用P(A)表示。,?,P(A)应具有何种性质？,10.2.1 概率的古典定义 古典概率模型简称古典概型，通常是指具有下列两个特征的随机试验模型。随机试验只有有限个可能的结果，即有限个样本点(有限性)；(2) 每一个样本点发生的可能性相等(等可能性)。 古典概型又称为等可能性概型。在概率论产生和发展的过程中，它是最早的研究对象，在实际应用中它也是最常用的一种概率模型。,对于古典概型，以=1,n表示样本空间，i(i=1,2,n)表示样本点，对于任一随机事件A=i1,in,下面给出古典概型的定义。,定义1.1 (概率的古典概型定义)对于给定的古典概型，若样本空间中有n个样本点，事件

8、A含有m个样本点，则事件A的概率为,性质1.1(古典概率的性质)对于任意事件A，0P(A)1；(2) P()=1,P()=0；(3) 若A1，A2，An是两两互不相容的事件，则 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),【例1】某种产品共有30件，其中含正品23件，次品7件，从中任取5件.试求被取出的5件中恰好有2件是次品的概率.,【解】设A=“被取出的5件中恰好有2件是次品”.由题设“从中任取5件”应理解为“一次取出5件”，故样本点总数 .事件A包含的样本点数 ,则所求概率为,【例2】一批同类产品共N件，其中次品M件.现从中随机抽取n件(取后不放回)，问这n件中恰有k(kM)件

9、次品的概率是多少？,【解】设A=恰取到k件次品，由于A并不涉及抽取产品的次序，故可将试验设想成从N件编上号的产品中一次取出n件,每一种取法构成一个基本事件，总共有 种取法,A发生意味着取到k件次品和n-k件正品，k件次品和n-k件正品的取法分别为 及 种.由乘法原理，构成A的基本事件数为 ,故,【例3】某口袋中有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式. 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球,这种取球方式叫做有放回取球. 第一次取一只球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一只球,这种取球方式叫做无放回取球.试分别就上面两种情况求：(1)

10、取到的两只球都是白球的概率；(2) 取到的两只球颜色相同的概率.,【解】(1) 令A1表示事件“取到的两只球都是白球”，则有放回取球：P(A1)=无放回取球：P(A1)= (2) 令A2表示事件“取到的两只球颜色相同”，则有放回取球： P(A2)=无放回取球： P(A2)=,【例4】袋中有a只白球、b只红球，依次将球一只只摸出，不放回.求第k次摸到白球的概率(1ka+b).,【解】设A=第k次摸到白球，由于并不关心第k次以后的取球结果，可设想将球编号，一只只抽取直至取出第k只球为止.则基本事件总数是从a+b只编上号的球中选出k只球进行排列的排列种数，即 ,A发生意味着第k次取到白球.此白球可能

11、是a只白球中的任一只；而前k-1次取的球则可能是除此白球之外的其余a+b-1只中的任k-1只，故由乘法原理得，m= .所以,对本题也可给出另一种解法.设想将a+b只球编上号，每次试验将a+b只球逐一摸出并依次排列在a+b个位置上，则基本事件总数为n=(a+b)! , kA= (a+b-1)! , 故有,注意到P(A)与k无关，即无论第几次摸球，摸到白球的概率都是 .这一结果表明抽签、摸彩与先后次序无关，机会是均等的.,【例5】有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在N(nN)间房中的任一间中，试求下列各事件的概率：(1) 某指定的n间房中各有一人；(2) 恰有n间房，其中各有一人；(3)

12、某指定的一间房中恰有m(mn)人.,【解】先求样本空间中所含样本点的个数.首先，把n个人分到N间房中去共有Nn种分法；其次，求每种情形下事件所含的样本点个数.某指定的n间房中各有一人，所含样本点的 个数，即可能的分法为n!；(2) 恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 n!；(3) 某指定的一间房中恰有m人，可能的分法为 .,于是可以得到三种情形下事件的概率分别如下：(1)(2)(3),在上述分房问题中，若令N=365，n=30,m=2则可演化为生日问题.全班有学生30人，求下列事件的概率：(1) 某月指定为30天，每位学生生日各占一天；(2) 全班学生生日各不相同；(3) 全年某天，恰有两

13、个学生同一天出生.利用上述结论可得到概率分别如下：(1) (2) (3),10.2.2 概率的统计定义定义1.2(频率的定义)若在同一条件组下将试验E重复N次，事件A发生了m次，则称比值m/N为事件A在N次重复试验中发生的频率，记为fN(A),即,定义1.3(概率的统计定义)在观察某一随机事件A的随机试验中，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会越来越稳定地在某一常数p附近摆动，这时就以常数p作为事件A的概率，并称其为统计概率，记作： P(A)=p,由频率和概率的统计定义，可以得到统计概率的性质：（1）非负性：0P(A)1;（2）规范性：P()=1；（3）有限可加性：若事件A1，A

14、2,An互不相容，则,【例6】某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的情况进行调查，从4个区各分别调查了80人，90人，100人，100人，其中患病人数分别为23，27，33，30.试估计该市60岁以上老人高血压的患病率p.,【解】以4组调查结果频率的平均值来估计p，结果为,10.2.3 概率的性质根据随机事件概率的定义，可得到随机事件的概率具有以下性质：性质1 P()=0,即不可能事件的概率为零.证明 =+ P()=P()+P()+P()+ 因此，P()=0,性质2 若A1,A2,An是两两互不相容的事件，则,证明,性质3证明 性质4 若BA,则P(A-B)=P(A)-P(B)，且 P

15、(B)P(A)证明 由于A=AB+(A-B)， 所以P(A)=P(AB)+P(A-B) 若BA,则AB=B，故P(A-B)=P(A)-P(B) 此外，注意到P(A-B)0，故在BA下， 有P(B)P(A),性质5 对于任意事件A、B， P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).证明 AB=A(B-AB),且A(B-AB)=，则 P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB),【例7】设有100件产品，其中有95件合格品，5件次品,从中任取5件，试求其中至少有一件次品的概率.,【解法1】设Ak表示“5件产品中有k件次品”，这里k=0,1,2,3,4,5;A表示“其中至少有

16、一件次品”，则 ,且A1，A2，A5互不相容， 于是，由性质2可得,【解法2】事件A比较复杂，而其对立事件则比较简单，且于是，由性质3可得 第2种解法显示了对立事件概率的性质在计算事件概率时的作用.一般地，当所要求概率的事件较复杂时，常常考虑先求出其对立事件的概率.,【例8】袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取三次，求“取到的三球里没有红球或没有黄球”的概率.,【解】设A=没有红球，B=没有黄球， C=没有红球或没有黄球，则C=AB, 故,【例9】设事件A，B的概率分别为1/2和1/3，求下列条件下事件AB的概率.(1) AB; (2) P(AB)=14; (3) A,B互斥.

17、,【解】(1)因为AB，所以 B=B-A,故由概率的性质4有 P( B)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6(2) 因为 B=B-A=B-AB，故由概率的性质4有 P( B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/4=1/4(3) 因为A，B互斥，故B B=B,于是 P( B)=P(B)=1/2,10.3 条件概率、乘法公式与事件的独立性,10.3.1 条件概率,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率。如在事件B已经发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B)。 一般 P(A|B) P(A),【例1】考虑有两个孩子家庭

18、(假定男、女出生率相同).设A=一男一女=(男，女)，(女，男)； B=至少有一女=(女，女)，(男，女)，(女，男).则=(男，男)，(男，女)，(女，女)，(女，男)， P(A)=1/2, P(B)=3/4, P(AB)=2/4【解】现在考虑：已知事件B发生的条件下，A发生的概率，则,为事件B发生的条件下事件A发生的概率，简称条件概率.条件概率具有以下性质：(1) 若A，B为随机事件，且P(B)0，则0P(A|B)1;(2) 若P(B)0，则P(|B)=1,P(|B)=0;(3) 若A1，A2，An是两两互不相容的事件， P(B)0，则(4) 若P(B)0，则P( |B)=1-P(A|B)

19、.,【例2】设某种动物由出生算起活10年以上的概率为0.9，活20年以上的概率为0.3.现有一只10岁的这种动物，问它能活20岁以上的概率是多少？,【解】设A=能活10年以上，B=能活20年以上，依题意，P(A)=0.9,P(B)=03.由于BA,所以AB=B.因此P(AB)=P(B)=0.3.于是,10.3.2 乘法公式,若已知P(B)，P(A|B)，也可以求P(AB).这就是概率的乘法公式.定理1.1 设P(B)0，则有P(AB)=P(B)P(A|B) (1-1) 设P(A)0，则有P(AB)=P(A)P(B|A) (1-2)(1-1)式、(1-2)式称为概率的乘法公式.概率的乘法公式可以

20、推广到任意n个事件的情形.若事件A1，A2，An满足P(A1A2An-1)0,则,【例3】从含有3只次品的10只产品中无放回地取2次，每次任取一只.(1)求2次都取到正品的概率；(2)求第2次才取到正品的概率.,【解】设Ai=第i次取到正品(i=1,2),B=两次都取到正品，C=第2次才取到正品.(1) 显然有B=A1A2，依题意有故 (2) “第2次才取到正品”也即“第一次取到次品而第2次取到正品”，即故,【例4】设有甲、乙、丙三个小朋友，甲得病的概率是0.05，在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40,在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80，试求甲、乙、丙三人均得病的概率.,【

21、解】用A表示“甲得病”，B表示“乙得病”，C表示“丙得病”，则 P(A)=0.05,P(B|A)=0.4,P(C|AB)=0.8所求概率为 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) =0.050.40.8=0.016,10.3.3 相互独立事件一般情况下，条件概率P(B|A)与P(B)是不同的,但在某些特殊情况下，条件概率P(B|A)等于无条件概率P(B),这时事件B发生与否不影响事件A的概率.这表明事件A与事件B之间存在某种独立性.定义1.5设A与B为两事件，若 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立.由定义1.5，可以推出如下定理和性质成立.,定理1.4 设

22、A、B为两事件，且P(A)0，则A与B相互 独立的充要条件是P(B|A)=P(B).证明 设A、B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，则 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B); 反之，设P(B|A)=P(B)，则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)显然，当P(B)0时，定理1.4中的充要条件可改为P(A|B)=P(A).而当P(A)、P(B)至少有一个为零时，由ABA及ABB易知，此时仍有P(AB)=P(A)P(B)成立.这表明，概率为零的事件与任一事件相互独立.,性质1.2 (1)不可能事件与任何事件独立； (2) 若事件A、B相互独

23、立，则A与B，A与B， A与B分别相互独立.证明 (1)是显然成立的； (2) 由于A=AB+AB则 P(A)=P(AB)+P(AB ) 由A与B的独立性，知 P(A)=P(A)P(B)+P(AB ) 则 P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)1-P(B)=P(A)P(B)从而A与B相互独立，类似可证明其他结论.,下面给出三个事件独立性的定义.定义1.6对于随机事件A1，A2，A3，若下列4个等式成立，则称A1，A2，A3是相互独立的. P(A1A2)=P(A1)P(A2) P(A2A3)=P(A2)P(A3) (1-5) P(A1A3)=P(A1)P(A3) P(A1A2A3)=

24、P(A1)P(A2)P(A3) (1-6)若前三个等式成立,即式1-5成立,则称A1,A2,A3是两两独立的.上述三个事件相互独立的定义中要求4个等式同时成立，缺一不可,【例1】若有一个均匀正八面体，其1、2、3、4面被染成了红色，1、2、3、5面被染成了白色，1、6、7、8面被染成了黑色，用A，B，C表示投掷一次正八面体出现红、白、黑色的事件，则 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)但 P(AB)=3/81/4=P(A)P(B),我们可以将相互独立概念推广到任意n个事件的情形.定义1.7设有n个事件A1，A2，An.如果对于任意正整数k

25、(2kn)以及 1i1i2 ikn 有 P(Ai1Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik) 成立，则称事件A1，A2， ，An是相互独立的.从定义1.7不难看出，n个事件相互独立的条件十分苛求， =2n-n-1个等式必须同时成立. 而n个事件中两两独立的条件是C2n个式子 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) (ij; i,j=1, ,n)成立.可见由多个事件相互独立可以推出它们两两独立.反之，由多个事件两两独立不一定能推出它们相互独立.,【例2】有两门高射炮独立地射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.8，乙炮击中敌机的概率为0.7.试求敌机被击中的概率.,【解】设A表示“甲炮

26、击中敌机”，B表示“乙炮击中敌机”，那么敌机被击中这一事件是AB.由于A，B相互独立，故P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.8+0.7-0.80.7 =0.94,【例3】加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？,【解】设A=加工出来的零件为次品，Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3)，则有A= ,且A1，A2，A3相互独立，故有 P(A)=P(A1A2A3) =1- =1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05) =0.09693,

27、【例4】假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%.混合100个人的血清，试求该血清中含有肝炎病毒的概率.,【解】设Ak表示“第k个人血清中含有肝炎病毒”(k=1,2,100)，则可以认为诸Ak相互独立，且P(Ak)=0.004(k=1,2,100).于是所求概率为,10.4 随机变量及其分布,【引例】有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如:掷一颗骰子面上出现的点数；每天从北京下火车的人数；昆虫的产卵数；八月份武汉的最高温度；,【引例】在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字

28、而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，则样本空间是=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT。令X表示三次投掷得到正面H的总数，那么X是定义在上的一个实单值函数。,称这种定义在样本空间上的实值函数为,随,量,机,变,定义：设随机试验E，它的样本空间=.若对任一,都有实数X()与之对应，则称X()为随机变量.简记为X.,随机变量分离散型和非离散型两大类.离散型随机变量是指其所有可能取值为有限或可列无穷多个的随机变量.非离散型随机变量是对除离散型随机变量以外的所有随机变量的总称，范围很广，而其中最重要且应用最

29、广泛的是连续型随机变量.,10.4.1 随机变量的概念,10.4.2 分布函数定义：设X是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=PXx(-x)称F(x)是随机变量X的分布函数，也称为累积分布函数. 分布函数以全体实数为定义域，以事件Xx的概率为函数值，从而分布函数是一个普通的函数.由概率的性质及分布函数的定义易知，对任意实数x1x2,有Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1),分布函数F(x)具有以下性质：(1) (单调递增性)若x1x2,则 F(x1)F(x2) 事实上，F(x2)-F(x1)=P(x1Xx1)0, x1x2(2) (有界性)0F(x)1,且 F(-)=

30、F(x)=0 F(+)= F(x)=1 据分布函数定义即知0F(x)1;对后两式只给出直观解释：由于F(-)相当于事件P(X-)的概率，而X-是不可能事件，故有F(-)=0.类似地，P(X+)是必然事件，故有F(+)=1.(3) (右连续性)F(x+0)=F(x),10.4.3 离散型随机变量的概率分布1.离散型随机变量及其分布的定义定义：如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称X为离散型随机变量.定义：设xk(k=1,2,)为离散型随机变量X所有可能取值，pk(k=1,2,)是X取值xk时相应的概率，即 PX=xk=pk,(k=1,2,) (10-5)则式(2-1)叫做离散型随机变

31、量X的概率分布，其中pk0且pk=1.,离散型随机变量X的概率分布也可以用下表的形式来表示，称其为离散型随机变量X的分布律.,【例3】某男生投篮的命中率为0.8,现在他不停地投篮,直到投中为止,求投篮次数X的概率分布.,【解】显然当X=1时,p1=0.8.当X=2时,意味着第一次投篮未中,而第二次命中.由于两次投篮是相互独立的,故p2=0.20.8=0.16.当X=k时,则前k-1次均未投中,所以 pk=(0.2)k-10.8于是X的概率分布为 PX=k=pk=(0.2)k-10.8,(k=1,2,),2.几种常见的离散型随机变量的概率分布（1）两点分布(0-1分布) 如果随机变量X只取0,1

32、两个值,即 其分布律为,其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为p的两点分布或(01)分布,记为XB(1,p).,【例4】一批产品共100件,其中有3件次品.从这批产品中任取一件,以X表示“取到的次品数”，即 求X的分布律.,【解】因为 故X的分布律为,（2） 二项分布如果随机变量X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，n,在n次试验中A发生k次的概率为 pk=PX=k=显然pk0,且 =(p+q)n=1如果随机变量X的概率分布为 PX=k= (k=0,1,2,n) (10-6)其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,p).特别地，当n=1

33、时的二项分布就是两点分布.,【例5】某大楼有两部电梯，每部电梯因故障不能使用的概率均为0.02.设某时不能使用的电梯数为X，求X的分布律.,【解】因为XB(2，0.02),所以 PX=k= (0.02)k(1-0.02)2-k (k=0,1,2)于是X的分布律为,【例6】某人独立射击10次，每次命中率为0.8，求命中次数X的分布律.,【解】X的可能取值为0，1，2，10 PX=k= 0.8k 0.210-k, k=0,1,2,10 由结果看出，随机变量XB(10,0.8).,（3）泊松(Poisson)分布如果随机变量X的概率分布为 PX=k= (k=0,1,2,) (10-7)其中0,则称X

34、服从参数为的泊松分布，记为XP(). 泊松分布常见于所谓“稠密性”问题,在实际生活中已发现许多取值为非负整数的随机变量都服从泊松分布.,【例6】某城市每天发生火灾的次数X服从参数为=0.8的泊松分布，求该城市内一天发生火灾的次数大于等于3的概率.,【解】由概率的性质知 PX3=1-PX3 =1-PX=0-PX=1-PX=2 =1-e-0.8(1+ ) 0.0474,【例】设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知PX=1=PX=2, 试求(1)参数; (2) PX=3.,【解】(1) 因为XP(),故由PX=1=PX=2， 知有 易解得=2. (2) PX=3= 0.1804,定理 (泊松定理)

35、设随机变量Xn(n=1,2,)服从参数为n,pn的二项分布，即有 P(Xn=k)= (1-pn)n-k, k=0,1,2,n 若limnpn=0,则有 limP(Xn=k)= e-,证明 记n=npn,则 P(Xn=k) 对固定的k有,故有显然，定理的条件 (常数)意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明当n很大, p很小时有以下近似式 (2-4)其中=np.在实际计算时，若XB(n,p),当n10，p0.1时，均可以用泊松分布近似计算其概率；当n100且np10时效果更佳.,【解】设X表示未来一年里，2000名投保者中死亡的人数，则XB(2000，0.005).(1) 恰有15人死

36、亡的概率为PX=15=b(15;2000,0.005).因为n=2000,p=0.005,所以根据泊松定理，X近似服从参数为=np=10的泊松分布.从而 PX=15 =0.9513-0.9165=0.034(2) 同理可得，死亡人数不低于1人的概率为PX1=1-PX=0=1- 1-e-101,【例】在参加人寿保险的某一年龄组中，每人每年死亡的概率为0.005.现有属于这一年龄组的2000人参加了人寿保险.试求在未来一年里，投保者中，(1)恰有15人死亡的概率；(2)死亡人数不低于1人的概率.,10.4.4 连续型随机变量及其密度函数1.连续型随机变量及其密度函数的定义定义:对于随机变量X，如果

37、存在非负可积函数 f(x)(-x+),对于任意的实数a,b(ab),都有 PaXb= f(x)dx (10-8)则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.有时也可用其他函数符号如p(x)等表示.如果f(x)是随机变量X的密度函数，则必有如下性质：(1)f(x)0(-x+)(2) f(x)dx=P-X+=1,如果给出了随机变量的概率密度，那么它在任何区间取值的概率就等于概率密度在这个区间上的定积分.在直角坐标系中画出的密度函数的图像，称为密度曲线.如下图所示，密度曲线位于x轴的上方，且密度曲线与x轴之间的面积恒为1；X落在任一区间(a,b)内取值的概率等于以该

38、区间为底，以密度曲线为顶的曲边梯形的面积.,由式(10-8)及概率的性质可以推出PX=a=0(a为任一常数)，即连续型随机变量在某一点取值的概率为零，从而有 PaXb=PaXb=PaXb =PaXb =即区间端点对求连续型随机变量的概率没有影响. 概率密度f(x)不表示随机变量X取值为x的概率，而是表示随机变量X在点x附近取值的密集程度，就像线密度一样，某一点的线密度并不代表物质在这一点的质量.,【例7】设某连续型随机变量的概率密度为 0 x2 求：(1)常数k; (2) P1X2; (3)PX1.,【解】(1) 根据密度函数性质有解得k=3/8(2) (3),【例】设连续型随机变量X的分布函

39、数为试求:(1) 系数A,B;(2) P-1X2; (3) X的概率密度f(x).,【解】(1) 由分布函数的性质,有又因为连续型随机变量的分布函数是连续函数,从而应有,2.几种常用的连续型随机变量的分布(1) 均匀分布如果连续型随机变量X的概率密度为 (其中ab为有限数),则称X在区间a,b上服从均匀分布,记为XUa,b.,容易验证:f(x)满足概率密度的两条性质.由连续型随机变量的定义,可以求得X的分布函数为,f(x)与F(x)的图形如图10-9所示. 图10-9易见,对于在区间a,b上均匀分布的随机变量,X落在任一长度为l的子区间(c,d)(acdb)上的概率为该概率与子区间的长度成正比

40、,而与子区间的起始点无关.,【例38】设某一时间段内的任意时刻,乘客到达公共汽车站是等可能的.若每隔3min来一趟车,则乘客等车时间X服从均匀分布.试求X的概率密度及等车时间不超过2min的概率.,【解】因为XU0,3,所以X的密度函数为等车时间不超过2min的概率为,（2） 指数分布如果连续型随机变量X的密度函数为则称X服从参数为的指数分布,记作XE().,【例9】已知某种机器无故障工作时间X(单位：小时)服从参数为12000的指数分布.(1) 试求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率；(2)如果某机器已经无故障工作了500小时，试求该机器能继续无故障工作1000小时的概率.,【解】,

41、（3）正态分布如果连续型随机变量X的概率密度函数为其中0为常数，则称X服从以,2为参数的正态分布，记作XN(,2).特别地，当=0，=1时，称X服从标准正态分布，并分别以(x)及(x)记标准正态分布的密度函数和分布函数.,正态密度函数f(x)的图形(见图10-10)具有以下特点：(1) 以直线x=为对称轴，并在x=处有最大值f()=(2) 在x=处各有一个拐点；(3) 当x时，以x轴为渐近线； 图10-10,(4) 当固定而变动时，图形形状不变地沿x轴平行移动(见图10-11).当固定而变动时，随着的变大，图形的高度下降，形状变得平坦；随着的变小，图形的高度上升，形状变得陡峭(见图10-12)

42、. 图10-11 图10-12,若XN(,2),则X的分布函数为 (10-10)其图形如图10-13所示. 图10-13,对于标准正态分布函数 (10-10)的值,已编制成表可供查用(见附录).由于标准正态密度函数 (10-11)的图形关于y轴对称,从而有 (10-12)所以,附录只给出了x0时(x)的数值表.,一般正态分布N(,2)与标准正态分布N(0,1)有如下关系:定理：设随机变量XN(,2),分布函数设为F(x),则对每个xR,有 (10-13)证明由分布函数的定义,知 令 则得由此可得如下推论:推论1若XN(,2),则 (10-14) 推论2若XN(,2),对每个a,bR(ab),有

43、,10.4.5 随机变量函数的概率分布,定理2.3设随机变量X的概率分布如表10-8所示 表10-8 X的分布律 则Y=f(X)的概率分布如表10-9所示 表10-9 Y=f(X)的分布律,【例11】设随机变量X的概率分布为 试求下列随机变量函数的概率分布 (1)Y=2X+1；(2)Y=X2.,【解】(1)当Y=2X+1时概率分布为(2)当Y=X2时 所以Y=X2的概率分布为,10.4.6 二维随机变量及其分布的几个相关概念定义：设随机试验E,它的样本空间=.设X=X()和Y=Y()是定义在上的随机变量,由它们构成的一个有序组(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.定义6：设(X,Y)为二维

44、随机变量,对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=P(Xx,YY) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X与Y的联合分布函数.式中Xx,Yy表示Xx与Yy这两个事件的积XxYy,故F(x,y)的几何意义是随机点(X,Y)落入以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域(见图3-1)的概率. 图,定义7：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果让其中一个随机变量的取值趋于无穷,就能得到X或Y的分布函数,则有即 同理，有 分别称FX(x)和FY(y)为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.上式表明:只要在联合分布函数F(x,y)中令x+或y+,即

45、得边缘分布函数FX(x)或FY(y).,我们在研究随机现象时,经常碰到这样的一些随机变量,其中一部分随机变量的取值对其余随机变量的分布没有什么影响,例如,两个人分别向同一目标进行射击,各自命中的环数X,Y就互无影响.为了描述这种情形,我们借助于两个事件的相互独立概念来引入两个随机变量相互独立这个十分重要的概念.定义8：设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别为随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于任意实数x,y有即成立,则称随机变量X与Y相互独立.,定义9：若二维随机变量(X，Y)的所有可能取值为有限或可列对，则称(X，Y)为二维离散型随机变量.对于二维离散型随机变量(X，Y)，

46、若它至多只能取有限或可数无限对不同值(xi,yj),(i,j=1,2,)，称(X，Y)取各可能值的相应的概率 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2, 为(X，Y)的分布律或概率分布，或称为X与Y的联合分布律.,定义10：对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有 则称(X，Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)称为(X，Y)的概率密度函数(简称为概率密度、分布密度)，或称为X与Y的联合概率密度.,定义11：对于二维连续型随机变量(X,Y),与离散型随机变量相类似，由联合分布可以得到边缘分布.设(X，Y)的联合概率密度

47、为f(x,y),可得 由此可知，X亦为连续型随机变量，并且其概率密度为,同理可知，Y也是连续型随机变量，并且其分布函数和概率密度分别为 其中fX(x)与fY(y)分别称为(X，Y)关于X与Y的边缘概率密度.,10.5 随机变量的数字特征,1.离散型随机变量的数学期望【例1】设一盒产品共10件,其中含有等外品、二级品、一级品件数与售价如表10-13所列. 表10-13,该盒产品平均每件售价 X=1/10(51+83+106) =51/10+83/10+106/10=8.9,10.5.1 数学期望,定义1设离散型随机变量X的分布律为PX=xi=pi(i=1,2,),则称和式为离散型随机变量X的数学

48、期望，记作 (10-15)或记EX，即数学期望等于离散型随机变量的所有可能取值与其对应概率乘积之和.,【例2】设随机变量X的分布律为 求E(X).,【解】,(1)二点分布二点分布的分布律为其中0p1,q=1-p,所以二点分布的数学期望E(X)=0q+1p=p,(2) 二项分布二项分布的分布律为所以令k=k-1,m=n-1; 当k=1时，k=0,当k=n时,k=n-1=m,于是有 (4-2)即二项分布的数学期望E(X)=np.二项分布的期望是np，直观上也比较容易理解这个结果.因为X是n次试验中某事件A出现的次数，它在每次试验时出现的概率为p，那么n次试验时当然平均出现了np次.,(3)泊松分布

49、泊松分布的分布律为所以令k=k-1,当k=1时,k=0,则即泊松分布的参数就是随机变量的数学期望.,【例4】设在时间0,t内到达某服务窗口的人数XP().若P(X=3)=6P(X=2),求在时间0,t内到达该服务窗口的平均人数.,【解】由P(X=3)=6P(X=2),即解得=18,故EX=18即为所求的在时间(0,t内到达该服务窗口的平均人数.,2.连续型随机变量的数学期望,定义：,【例5】设随机变量X的密度函数为求E(X).,【解】利用分部积分法可得 E(X)=0.,（1）均匀分布均匀分布的密度函数为所以即均匀分布的数学期望,（2）指数分布指数分布的密度函数为所以即指数分布的数学期望E(X)

50、=1/.,（3）正态分布如果XN(,2),则设x-=t,则x=t+,dx=dt,于是上式右端第一项的被积函数为奇函数,它在对称区间上的积分为0,第二项的被积函数为正态分布N(0,2)的密度函数,所以其在(-,+)上的积分值为1,于是E(X)=.即正态分布的参数恰好是随机变量的数学期望.,【例6】设随机变量XN(0,1/2),YN(0,1/2),且两者相互独立,求|X-Y|的均值.,【解】令Z=X-Y.由于XN(0,1/2),YN(0,1/2),且X和Y相互独立,故ZN(0,1).均值,3.随机变量函数的数学期望,定理1设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数).(1) 若X是离散型随