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1、1,北京工业大学,高等数学教程,2,为什么要研究无穷级数,是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、,出它的威力.,在自然科学和工程技术中,也常用无穷,?,无穷级数是数和函数的一种表现形式.,因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现,如谐波分析等.,造函数值表）.,级数来分析问题,3,引例,一人骑车从距家a公里处以每小时b公里的速度回家. 一只苍蝇以每小时2b公里的速度在车的前轮和家门之间往返飞行. 问：骑车人到家时，苍蝇飞行了多少公里. 第一个往返，人与苍蝇通过的路程之和是2a公里. 苍蝇速度是人的2倍. 所以苍蝇飞行了,公里, 人走了,公里, 距家,公里.,4
2、,1,次数 距家 人 苍蝇,2,3,n,5,骑车人走了a公里, 苍蝇速度是人的2倍, 飞了2a公里.,6,7.1 常数项级数的概念和性质,第七章 无穷级数,7.1.1 常数项级数的概念,给定一个常数列,称为(常数项)无穷级数, 简称级数.,记为,即,其中第 n项 称为级数的一般项, 或通项.,则表达式,7,(常数项)无穷级数,一般项,如,以上均为(常)数项级数.,(1),8,这样, 级数(1)对应一个部分和数列:,称无穷级数(1)的,按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的,无穷级数定义式(1)的含义是什么?,也算不完,永远,那么如何计算?,前n项之和,第n部分和.,9,定义7.1,级
3、数 的前n 项和,称为级数的部分和.,记为,即,则称级数 收敛,极限s 称为级数的和,则称级数,发散.,注: 如果级数发散, 只是形式上的和, 无数值,意义.,如果部分和数列 的极限不存在,10,称为级数的余项.,显然有,当n充分大时,当级数收敛时, 其部分和 是级数和s的近似值.,误差为,注,常数项级数收敛,(发散).,(不存在),存在,11,解,例 讨论等比级数(又称几何级数),的收敛性, 其中q 叫做级数的公比.,收敛;,发散;,12,发散;,发散.,级数变为,综上所述,重要结论:,例,公比为q的几何级数的和,13,讨论级数,的敛散性.,解,例,因为,为公比的等比级数,是以,故,级数,收
4、敛.,发散.,14,证 因,证明等差级数是发散的.,所以, 该级数发散.,例 形如 的级数称为等差级数, 其中,15,解,例 判定级数 的敛散性.,所以, 该级数收敛, 且其和为1.,16,的部分和分别为,则,于是,证,性质1,k是一常数,所以,7.1.2 收敛级数的基本性质,如果级数 收敛于s,并且其和为ks.,则级数 也收敛,17,性质2,发散.,收敛,发散,均发散,敛散性不确定.,证,极限的性质,即证.,级数的部分和,如果级数 都收敛,18,例,都收敛.,19,性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.,性质4,设级数,收敛,则对其各项任意加括号,所得新级数仍收敛于原级数的和.,证
5、,则,20,四个相关命题:,(1)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛.,(3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,(2)加括弧后发散的级数,去括弧后仍发散.,(4)发散的级数加括弧后不一定发散.,收敛,发散,21,证,性质5 (级数收敛的必要条件),若级数 收敛,则,所以,必要条件不充分！,22,(1) 级数收敛的必要条件, 常用判别级数发散;,(3) 必要条件不是充分条件.,如调和级数,(2) 也可用于验证数列的极限为“0”;,但级数是否收敛?,发散,注意:,例如,23,所以, 级数发散.,这是不可能的,假设调和级数收敛, 其和为 s.,于是,因,有,24,两个相关命题:,25,例,判别下列级数的敛散性,级数收敛的必要条件,常用判别级数发散.,解题思路,26,解,由于,发散,解,由于,发散,27,解,而级数,所以这个等比级数,发散.,由性质2知,由性质1知,发散.,因调和级数,发散,为公比的等比级数,是以,收敛.,28,练习,为收敛级数,a为非零常数,试判别级数,的敛散性.,解,因为,收敛,故,从而,故级数,发散.,29,作 业,习题7.1(64页),1. (2)(4) 3.(3) (4) (5) 5.,
