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1、1,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第十一章,2,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,3,一、常数项级数的概念,引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,4,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,一般项,5,部分和数列,级数的部分
2、和,当n=1，2，3，,时,又形成一个新的数列，,6,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,收敛,并称 S 为级数的和,记作,则称无穷级数,7,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,8,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,9,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,10,2).若,因此级数发散
3、;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,11,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,12,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,13,例3：对级数 做如下推导：设,于是,所以s=-1.,判断上述结论是否正确，说明理由。,14,例4.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,15,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常
4、数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,16,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,17,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),练习 判别级数,的敛散性。,7/2,18,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,19,性质4.,收敛级数加括弧后所成的
5、级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,因此必有,用反证法可证,例如,20,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,发散的级数加括号可能收敛，故不能用加括号的方法判别原级数收敛，但可以用加括号的方法判别原级数发散。,给了一个级数后,要判断收敛还是发散，可以按照级数的特点加括号,但是想的是希望它是发散的.若加括号以后收敛了,那么什么结论都得不到.,21,例5.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,22,三、级数收敛的必要条
6、件,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,23,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,讨论1 事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,24,讨论2,在区间n，n+1上对函数lnx使用拉格朗日中值定理，,25,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,讨论3,26,例6.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,27,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),28,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),29,作业 P192 1(1),(3)；3(2)；4(1),(3),(5);,30,思考题,31,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,32,练习题,33,34,练习题答案,35,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,36,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,37,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,38,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,39,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,40,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,41,
