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1、,第 二十 讲 I. 算符及其表示 A.算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为 则 或,称为算符 的自然展开。 B. 算符的表示 算符 是将一态矢量变为另一态矢量而 是将态矢量 表示变到态矢量 表示，所以它起到算符 同样的作用。,的全体称为算符在表象 中的矩阵表示。 显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的,为力学量 在表象 中的算符。 事实上，矩阵 描述了表象 中的本征态，即基矢 ，在算符 作用下，所得到 的新的态矢量在 表象中的表示。,即 这表明， 表象中的基矢 在 作用下所产生的新的态矢量在表象 中的表示正是算符 在表象 中矩阵表示的第 列
2、元素集合,于是，我们求算符 在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展开系数形成的矩阵转置，即得 在该表象中的表示。,其系数矩阵为： 转置 这即为在表象 中的矩阵表示 显然，算符在其自身表象中的表示为,系数矩阵为， 转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。,例： 给出方程 在 表象中的表示式所以在 表象中， 算符的形式为,. 不可约张量算符的矩阵元计算简介 A.不可约张量算符的G. Racah定义 若 满足以下的对易关系其中 ，则称 为 秩不可约张量算符。,B.Wigner-Eckart定理 维格纳-埃伽定理：矩阵元 与投影量子数的关系完全包含在C-G系数中 C.一秩张量
3、的投影定理, . 表象变换： （1） 同一状态在不同表象中的表示间的关系 对于态 在 表象中，其表示为 就是态 在表象 中的表示,在 表象中其表示为 则有,构成一矩阵形式即,矩阵的矩阵元正是 表象基矢与 表象基矢的标积，其第 列，是 表象中第 个基矢在 表象中的表示。,是一个幺正算符。 （2）两表象的基矢之间关系, 基矢的变换是经 来实现（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系。 对于算符在表象中的矩阵表示为,6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形、 式。 （1）平均值： A.力学量 在体系（处于态 ）中的平均值 设： 构成力学量完全集，共同本征矢为 ， 则,是 在 中的表示。 若 包
4、括力学量,B. 对于两个算符乘积的平均值 （2）本征方程：对于算符的本征方程为,在 表象，则 算符的本征方程在 表象中的矩阵形式 为,从而得 要方程组有非零解，即 不全为 ，则要求系数行列式为 ，即,由这方程求出 . 然后代入方程组求出相应的 例1：某力学量 在表象中的矩阵为 由系数行列式,代入方程得 代入方程得,的本征值 所相应的本征矢在 表象中的表示为 所相应的本征矢在 表象中的表示为,顺便我们可以看到，对于两个表象 所以要求矩阵 ，只要求 表象中的基矢在 表象中的表示即可，这相当于 矩阵中一个列。,具体看 的本征矢在 中的表示为 由表象 到 表象的变换矩阵为,而我们知，算符在自身表象中的
5、矩阵表示是对角的，对角元为其本征值,例2： 在 表象中，求 (在 子空间)的本征值，本征矢（即在 也就是 本征值为 子空间） 解：首先求在 表象中 的矩阵,由本征方程,如何求在 的本征值为 的本征态中测量 的可取值的几率？,由于 在自身表象中的本征值为 的表示是 于是测得 的几率振幅为,所以在 中（坐标表象中， 的本征值为0的本征态中）测量 的可取值的几率为 这表明，可在任何一个表象中来处理问题。 而 (对 l=1的子空间）的变换矩阵为,而从 则是,（3） 薛定谔方程 在 表象中，基矢为 ，则,这即为 表象中的薛定谔方程的矩阵形式。 若 不显含 ，而 表象就是 表象，则 从而得,当 不显含t，
6、在 表象中 的表示为,， 由初态给出（它是 时， 在 表象中表示） ，由 在任一表象中 求出。,6.5 量子态的不同描述 由Schrodinger equation 它体现了量子力学的因果律，即当知 在不受外界干扰下，体系的波函数随 的演化 是完全确定的。,而,而波函数和算符不是直接观测量. 仅力学 量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测 量。 因此，重要的是： 可能取的值 测量 取 的几率 振幅 如果用不同方式来描述，但若上面两个量 是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别， 而都是可以接受的。,（1）薛定谔绘景 （Schrodinger Picture） 设： 以 来表示，遵守薛定谔方程
7、 如果 和 分别演化为 和 根据态叠加原理可能态 将 演化为 。这表明， 可由 一线性算符从 获得。因此可假设,（ 与 无关） 而 于是有由于 是初态，可任意设定,所以时间演化算符 满足 若 不显含 ，则 由于 ，所以,所以，这一变换是一幺正变换 而本征方程 若 不显含 ，那 ， 也与 无关 时刻，测量 取值 的几率振幅为,在薛定谔绘景的描述中，态矢量随 t 的变 化，反映在它的表示随 t 的变化。而力学量的本征值及本征矢不随 t 变化。,随 变化取决于 。取 之值的几率为 但所有这些测量可得值与实验可比较的量的 描述并不唯一。上述描述只是一些等价描述方 式之一。,（2）海森堡绘景 （Heis
8、enberg Picture） A.矩阵元：对于薛定谔绘景中的矩阵元，我们看到 随 t 的变化（如 不显含 ）是由于态矢量随 变化所致。,的矩阵元可表为 所以，态矢量可保持不随时间变，而算符用来代之；,态矢量可以表为 这样，矩阵元,即这一描述与薛定谔绘景的描述一样。 B.本征方程,力学量 的本征值为 ，即谱是相同的，但相应本征态为 是随 变的。 在 中测得 的几率为,在 态矢量中测得 的几率振幅与在 态中测得 的几率振幅也是一样的。 所以，这两种描述是完全等价的。于是，我 们引入新的绘景海森堡绘景（Heisenberg Picture）。 A. 态矢量 B. 算符和本征方程,这时本征矢虽与 有
9、关，但本征值相同，对易关系保持不变,C. 算符随时间变化（运动方程） 不显含,这时,D. 本征矢随 t 变化,这表明，在S. P.中态矢量在矢量空间随 t 绕 一定方向“转动”。而算符和相应的本征矢不变。,因此，在本征矢 张开的坐标架下，态矢量随 t 的变化，反映在其“分量”，即表示 随 t 的“转动”. 而在H. P.中，态矢量不变，但算符和其本征矢绕同一方向随 t “反转动”,从而保持几率振幅与S.P相同。 在实际使用中，S.P. 较方便（解方程，求本征值，本征函数）；但在理论讨论中，H.P.有其优越性，其形式更类似经典描述（因经典是讨论物理量的变化，但无波函数）。 将算符方程 用于 ，,例：求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动 量算符。,所以,有解由初条件,显然， 但,
