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1、考点一不等式的概念及性质1.实数比较大小的方法a-b0ab;a-b=0a=b;a-bbbb,bcac.(3)aba+cb+c.推论1a+bcac-b.推论2ab,cda+cb+d.(4)ab,c0acbc;ab,c0acbc.,7.1不等式的概念和性质、基本不等式,知识清单,推论1ab0,cd0acbd.推论2ab,ab0b0anbn(nN*,且n1).(5)ab0(nN*,且n1).,考点二基本不等式1.两个重要不等式(1)若a、bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取“=”.(2)若a、b(0,+),那么,当且仅当a=b时取“=”.2.算术平均数、几何平均数若a、b(0,+),那么叫做
2、正数a、b的算术平均数,叫做正数a、b的几何平均数.3.基本不等式求最值的方法(1)若a、b(0,+),当ab为定值时,a+b有最小值,最小值为2,当且仅当a=b时取“=”.,(2)若a、b(0,+),当a+b为定值时,ab有最大值,最大值为,当且仅当a=b时取“=”.(3)若a、bR,则.当a、b(0,+)时,a+b,当a2+b2为定值时,a+b有最大值,当且仅当a=b时取“=”.4.基本不等式的几种变形及相关结论(1)几种变形对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,如:ab(a、bR);,(a0,b0).(2)常用的结论(i)如果a、b(0,+),则
3、(当且仅当a=b时取等号).(ii)若a(0,+),则a+2(当且仅当a=1时取等号);若a0,则a+2(当且仅当a=1时取等号)或a+-2(当且仅当a=-1时取等号).(iii)若a、bR,则2(a2+b2)(a+b)2,当且仅当a=b时取等号.(iv)a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.,比较大小常用的方法比较大小常用的方法有作差法和作商法.(1)作差法比较大小的步骤:作差变形判断差的符号下结论.(2)作商法比较大小的步骤:作商变形判断商与1的大小下结论.其中变形是关键,变形方法有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.例1若00且a1,则|
4、loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是(A)A.|loga(1-x)|loga(1+x)|B.|loga(1-x)|loga(1+x)|C.不确定,由a的值决定D.不确定,由x的值决定,方法技巧,解析00,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-=-lg(1-x)+lg(1+x)=-lg(1-x2)0,|loga(1-x)|loga(1+x)|.,应用不等式的性质解题使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用.例如:(1)ab,cda+cb+d,已知的两个不等式必须是同向不等式;(2)ab0且cd0acbd,已知的两个不
5、等式不仅要求同向,而且必须为正值;(3)ab0anbn,其中a,b为正值,并且nN*,n1.若去掉“b0”这个条件,取a=3,b=-4,n=2,就会出现32(-4)2的错误结论;若去掉“nN*,n1”这个条件,取a=3,b=2,n=-1,会出现3-12-1,即的错误结论.例2已知-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是.(答案用区间表示),解析解法一(待定系数法):设2x-3y=(x+y)+(x-y)=(+)x+(-)y,则从而2x-3y=-(x+y)+(x-y),又由已知得-2-(x+y),5(x-y),3-(x+y)+(x-y)8,即z(3,8).解法二(线性规划法):-1x
6、+y4且2x-y3表示的平面区域如图,其中, A(3,1),B(1,-2).,当直线z=2x-3y经过点A时,z取得最小值,zmin=3,当直线z=2x-3y经过点B时,z取得最大值,zmax=8,又A,B两点不在可行域内,故z(3,8).,答案(3,8),利用基本不等式求最值1.已知某些变量(正数)的积为定值,可求和的最小值.2.已知某些变量(正数)的和为定值,可求积的最大值.在运用基本不等式解决最值问题时,要注意条件“一正、二定、三相等”.创造使用基本不等式的条件,常用的技巧有变常数、变系数、拆项等.另外,对于函数f(x)=ax+(a0,b0)定义域内不含实数的类型的最值问题,应用“对勾函
7、数”的单调性求解.例3(1)(2016天津红桥高考模拟,11)已知x3,则x+的最小值为(D)A.2B.4C.5D.7,(2)(2016江西重点中学盟校一模,10)若直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则+的最小值为(D)A.4B.12C.16D.6,解题导引(1)添项成x-3+3+使用基本不等式解决(2)求圆的半径及圆心坐标直线过圆心(-3,-1)3m+n=2用“1”代换利用基本不等式求最小值,解析(1)x3,则x-30,所以x+=x-3+32+3=7,当且仅当x=5时等号成立.故选D.(2)圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心为(-3,-1),因为直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,所以直线经过圆的圆心,则可得3m+n=2.则+=(3m+n)=3+=6.当且仅当m=,n=1时取等号.故选D.,
