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1、,1.3 直角三角形全等的判定,第1章 直角三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,情境引入,1探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”（难点）2会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等（重点）,SSS,SAS,ASA,AAS,旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法,导入新课,如图，RtABC中，C=90，直角边是_、_，斜边是_.,AC,BC,AB,思考：,前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,A,B,C,A,B,C,1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对
2、应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,口答：,动脑想一想,我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.,如果这两个三角形都是直角三角形，即C=C=90，且AB=AB,AC=AC，现在能判定ABCABC吗？,动脑想一想,我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.,任意画一个RtABC,使C=90.再画一个RtA B C，使C=90,BC=BC,A B=AB,把画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们能重合吗？,作图探究,讲授新课,画图思路,（1）先画M C N=90,画图思路,（2）在射线CM上截取BC=BC,
3、B,画图思路,（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交射线CN于A,B,A,画图思路,（4）连接AB,B,A,思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？,在RtABC和RtABC中AB=AB,AC=AC，根据勾股定理，BC2=AB2AC2，BC2=AB2AC2，BC=BC.RtABCRtABC.,证明猜想,“斜边、直角边”定理,文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.,几何语言：,在RtABC和Rt ABC 中，,RtABC Rt ABC(HL).,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的
4、对边对应相等；（）(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）(3)一个锐角和斜边对应相等；（）(4)两直角边对应相等；（）(5)一条直角边和斜边对应等（）,HL,AAS或ASA,SAS,AAS,AAS,判一判,例1 如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.,证明：ACBC，BDAD，C与D都是直角.,在 RtABC 和RtBAD 中，,RtABCRtBAD(HL).BCAD.,变式1：如图，ACB=ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）,AD=BC,DAB=CBA,
5、BD=AC,DBA=CAB,HL,HL,AAS,AAS,如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.,变式2,HL,AC=BD,RtABDRtBAC,如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.,变式3,HL,ADB=CBD,RtABDRtCDB,ADBC,例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.,证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL)BDBF.
6、BDCDBFEF.即BCBE.,方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法所以直角三角形全等的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？,解：在RtABC和RtDEF中,RtABCRtDEF(HL).,B=DEF(全等三角形对应角相等).,DEF+F=90,B+F=90.,1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角
7、对应相等,D,A,当堂练习,2.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则 CH的长为（）A1 B2 C3 D4,4.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.,证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.,在 RtEBC 和RtDCB 中，,RtEBCRtDCB(HL).,3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC（填“全等”或“不全等”），根据是（用简写法）.,全等,HL,5.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.,证明:BFAC,DEAC,BFA=D
8、EC=90.AE=CF，AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE.,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF.,变式训练1,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?,变式训练2,C,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,6.如图，有一直
9、角三角形ABC，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等？,【分析】本题要分情况讨论：(1)RtAPQRtCBA，此时APBC5cm，可据此求出P点的位置(2)RtQAPRtBCA，此时APAC，P、C重合,解：(1)当P运动到APBC时，CQAP90.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APBC，RtABCRtQPA(HL)，APBC5cm；,能力拓展,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；（）(
10、2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）(3)一个锐角和斜边对应相等；（）(4)两直角边对应相等；（）(5)一条直角边和斜边对应等（）,HL,AAS或ASA,SAS,AAS,AAS,判一判,例1 如图，ACBC，BDAD，ACBD，求证：BCAD.,证明：ACBC，BDAD，C与D都是直角.,在 RtABC 和RtBAD 中，,RtABCRtBAD(HL).BCAD.,变式1：如图，ACB=ADB=90，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）,AD=BC,DAB=CBA,BD=AC,DBA=
11、CAB,HL,HL,AAS,AAS,如图，AC、BD相交于点P,ACBC，BDAD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.,变式2,HL,AC=BD,RtABDRtBAC,如图：ABAD，CDBC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.,变式3,HL,ADB=CBD,RtABDRtCDB,ADBC,例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE.求证：BCBE.,证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL)BDBF.BDCDBFEF.即
12、BCBE.,方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法所以直角三角形全等的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？,解：在RtABC和RtDEF中,RtABCRtDEF(HL).,B=DEF(全等三角形对应角相等).,DEF+F=90,B+F=90.,1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等,D,A,当
13、堂练习,2.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则 CH的长为（）A1 B2 C3 D4,4.如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.,证明：BDAC，CEAB，BEC=BDC=90.,在 RtEBC 和RtDCB 中，,RtEBCRtDCB(HL).,3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC（填“全等”或“不全等”），根据是（用简写法）.,全等,HL,5.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.,证明:BFAC,DEAC,BFA=DEC=90.AE=C
14、F，AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在RtABF和RtCDE中，,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE.,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BD平分EF.,变式训练1,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?,变式训练2,C,RtABFRtCDE(HL).,BF=DE,RtGBFRtGDE(AAS).,BFG=DEG,BGF=DGE,FG=EG,BD平分EF,6.如图，有一直角三角形ABC，C9
15、0，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等？,【分析】本题要分情况讨论：(1)RtAPQRtCBA，此时APBC5cm，可据此求出P点的位置(2)RtQAPRtBCA，此时APAC，P、C重合,解：(1)当P运动到APBC时，CQAP90.在RtABC与RtQPA中，PQAB，APBC，RtABCRtQPA(HL)，APBC5cm；,能力拓展,(2)当P运动到与C点重合时，APAC.在RtABC与RtPQA中，PQAB，APAC，RtQAPRtBCA(HL)，APAC10cm，当AP5cm或10cm时，ABC才能和APQ全等,【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解,课堂小结,“斜边、直角边”,内容,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,前提条件,在直角三角形中,
