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1、三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质,正、余弦函数图像特征：,在函数 的图象上，起关键作用的点有：,最高点：,最低点：,与x轴的交点：,注意：函数图像的凹凸性！,知识回顾:,在函数 的图象上，起关键作用的点有：,最高点：,最低点：,与x轴的交点：,注意：函数图像的凹凸性！,余弦函数图像特征：,y=sinx(xR),y=cosx(xR),一、正弦、余弦函数的周期性,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。,注：1、T要是非零常数 2、“每一个值”只要有一个反例，则f(x
2、)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）3、周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2,4,-2,-4,都是周 期）,4、周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）,正弦函数是周期函数，最小正周期是,余弦函数是周期函数，最小正周期是,一.周期性,函数 的周期是,函数 的周期是,二.奇偶性,为奇函数,为偶函数,三.定义域和值域,正弦函数,定义域：R,值域：-1，1,余弦函数,定义域：R,值域：-1，1,练习,下列等式能否成立？,例1.求下列函数的定义域和值域。,定义域,值域,0,1,2,4,0,2,练习：求下列函数的定义域、值域,解(1)：定义域：R.值
3、域：-1,1.,值域为,解（2）：-3sinx 0,sinx 0,定义域为,x|+2kx2+2k,kZ,又-1sinx 0,0-3sinx 3,探究：正弦函数的最大值和最小值,最大值：,当 时，,有最大值,最小值：,当 时，,有最小值,四.最值,探究：余弦函数的最大值和最小值,最大值：,当 时，,有最大值,最小值：,当 时，,有最小值,当且仅当,当且仅当,当且仅当,当且仅当,四、正弦、余弦函数的最值,例题,求使函数 取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。,化未知为已知,分析：令,则,例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最
4、小值分别是什么.,解：,这两个函数都有最大值、最小值.,（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合,使函数 取得最小值的x的集合，就是使函数 取得最小值的x的集合,函数 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.,练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是,所以使函数 取最大值的x的集合是,同理，使函数 取最小值的x的集合是,函数 取最大值是3，最小值是-3。,五、探究：正弦函数的单调性,曲线逐渐上升，sin的值由 增大到。,当 在区间,上时
5、，曲线逐渐下降，sin的值由 减小到。,探究：正弦函数的单调性,正弦函数在每个闭区间,都是增函数，其值从1增大到1；,减函数，其值从1减小到1。,探究：余弦函数的单调性,曲线逐渐上升，cos的值由 增大到。,曲线逐渐下降，sin的值由 减小到。,探究：余弦函数的单调性,由余弦函数的周期性知：,其值从1减小到1。,其值从1增大到1；,练习,P46(4),先画草图，然后根据草图判断,练习,P46 练习1,五、正弦函数的单调性,y=sinx(xR),增区间为，其值从-1增至1,0,-1,0,1,0,-1,减区间为，其值从 1减至-1,+2k,+2k,kZ,+2k,+2k,kZ,五、余弦函数的单调性,
6、y=cosx(xR),-0,-1,0,1,0,-1,例3 比较下列各组数的大小:,学以致用,正弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,六、正弦、余弦函数的对称性,余弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,六、正弦、余弦函数的对称性,y=sinx的图象对称轴为：,y=sinx的图象对称中心为：,y=cosx的图象对称轴为：,y=cosx的图象对称中心为：,任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.,C,（）,为函数 的一条对称轴的是（）,解：经验证，当,时,为对称轴,练习,时，,时，,时，,时，,增函数,减函数,增函数,减函数,对称轴：,对称中心：,
7、对称轴：,对称中心：,奇函数,偶函数,求 函数的对称轴和对称中心,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,练习,练习,求 函数的对称轴和对称中心,正弦函数、余弦函数的性质习题课,6,3,/2,一、基础题型,A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D以上都不对答案B,3函数ysin(2x)为偶函数，02，则的值为或.4函数y2cos3x的单调增区间为，.,(2)若a0，当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最大值为ab；当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最小值为ab.若a0，当cosx1，即x2k(kZ)时，yminab；当cosx1，即x2k(kZ)时，ymaxab
8、.,转化,换元法,分析根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数,辨析解答忽视了以下内容：三角形中的最小角的范围不是090，而是060，又三角形是不等边三角形，故060.,辨析b的符号未定，故bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b0与b0讨论,练习 求下列函数的单调区间：,归纳：解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响,变形1:,分类讨论法,变形2:,已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,求m的取值范围.,法1:分离参数法,
9、答案D,答案C,答案B,4sin1、sin1、sin的大小顺序是()Asin1sin1sin Bsin1sinsin1Csinsin1sin1 Dsin1sin1sin答案B解析1弧度57.3，ysinx在(0，90)上是增函数，且11，sin1sinsin1.,5下列函数中，奇函数的个数为()yx2sinx;ysinx，x0,2；ysinx，x，;yxcosx.A1个B2个C3个D4个答案C解析ysinx，x0,2的定义域不关于原点对称，不是奇函数，、符合奇函数的概念,6y2sinx2的值域是()A2,2 B0,2C2,0 DR答案A解析x20，sinx21,1，y2sinx22,2,8函数
10、yasinxb的最大值为1，最小值为7，则a_，b_.答案43,3、求下列函数的值域,正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其相邻两条对称轴间距离为半个周期，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，更要注意函数的定义域 求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，0时，先利用诱导公式把x的系数化为正数，然后把x看作一个整体t，考虑函数yAsint(或yAsint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之,课堂小结:,5、对称性：,y=sinx的图象对称轴为：,对称中心为：,y=cosx的图象对称轴为：,对称中心为：
11、,任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.,练习 求下列函数的单调区间：,练习 求下列函数的单调区间：,(5)y=-|sin(x+)|,解：,令x+=u,则 y=-|sinu|大致图象如下：,减区间为,增区间为,即：,y为减函数,练习 求下列函数的单调区间：,时，,时，,时，,时，,增函数,减函数,增函数,减函数,对称轴：,对称中心：,对称轴：,对称中心：,奇函数,偶函数,奇偶性,单调性（单调区间）,奇函数,偶函数,+2k,+2k,kZ,单调递增,+2k,+2k,kZ,单调递减,函数,2、定义域,3、值域,1、周期性,R,-1,1,T=2,正弦、余弦函数的性质：,4、奇偶性与单调性：,课堂小结:,
