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1、第四章 连续时间系统的拉普拉斯变换分析,4-1 拉普拉斯变换的定义与收敛域,4-2 拉普拉斯变换的基本性质,4-3 拉普拉斯反变换,4-4 LTI系统的拉普拉斯变换分析,4-5 系统函数,4-6 系统函数与系统的频响特性,4-7 系统稳定性的s域描述,4-8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,4-1 拉普拉斯变换的定义与收敛域,一、拉普拉斯变换的定义,由第三章我们知道，当一复指数时间信号作用于线性时不变系统时，其输出仍然是此复指数时间信号，只是幅度与相位被改变。,一般，一时间信号作用于系统，其输出若仍然是此时间信号，只是幅度与相位被改变，称此时间信号为系统的特征信号，表征被改变的幅度和相位的函数
2、，称为系统的特征值或系统函数。,所以信号ejt是系统的特征信号，函数H(j)，是系统的特征值或系统函数，也称为系统的频率响应。它是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。,事实上，指数信号est也是系统的特征信号，因为,这里如果s=+j，(是实数，可表示为Res),是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，也称系统的系统函数。,一般的，信号x(t)的拉普拉斯变换，定义为,记为,或者,例如:x(t)=e-tu(t),求其拉普拉斯变换X(s)。,解:由定义,当Re+s=+0，以上积分可积,所以,事实上，信号x(t)的拉普拉斯变换,是信号x(t)e-t的傅里叶变换。使信号x(t)e-t满足绝对可积的的值域，是
3、X(s)的收敛域。由傅里叶反变换式：,-1,从以上分析，拉普拉斯变换可以看成是傅里叶变换的推广。它们之间，在表达式和基本性质上有许多类似。,-1,-1,但是，它们之间，存在着明显的差别。首先是自变量不同，傅里叶变换的自变量是一个实变量，它有明确的物理意义-频率；拉普拉斯变换的自变量s是一个复变量：s=+j，其物理意义不明确，通常称其为复频率。信号的傅里叶变换反映了不同频率分量的振幅大小与起始相位的值，即信号的频谱；系统单位冲激响应的傅里叶变换，称作系统的频率响应，它表示不同频率的正余弦信号作用于系统时，系统输出的幅度与相位随输入频率改变而改变的特性。信号的拉氏变换就没有向傅里叶变换那样明确的物
4、理意义；系统单位冲激响应的拉氏变换，称为系统的系统函数，它虽然较抽象，但是在表征系统特性及系统分析时起重要的作用。,其次是它们的应用各有侧重，傅里叶变换主要应用于信号与系统的频率分析，如调制、滤波、抽样等的频谱分析；而拉普拉斯变换主要应用于微分方程的求解、系统函数及其零极点分析等。,解:由定义,当Re+s=+0，以上积分才可积,由前例可知，拉普拉斯变换的存在伴随着条件，就是它的收敛域。,二、拉普拉斯变换的收敛域,例如:x(t)=-e-tu(-t),求其拉普拉斯变换X(s)。,所以,前例已知,相同的拉普拉斯变换式，因为收敛域不同，表示不同的时间信号。因此，在由拉普拉斯变换表示其原信号时，必须给定
5、它的收敛域，否则不能确定原信号。我们把收敛域表示在s平面上。,s平面是一个复平面，轴是实轴，虚轴用j来记。平面上不同的点s，对应着不同的时间信号est。,信号est，表示的是幅度按指数变化的正余弦信号。越远离实轴的点，表示信号变化的频率越高；越远离虚轴的点，表示信号幅度增长或衰减的越快。,实轴上的点，表示单调指数变化的信号；虚轴上的点，表示等幅振荡的正余弦信号。,以上两信号LT的收敛域，表示在s平面上如下图所示。,以上两信号的LT收敛域，均是在s平面上的半个开平面。-称为它们的收敛坐标，Res=-称为它们的收敛轴或收敛域边界，Res-与Res-分别是它们的收敛域。,例如:求以下信号拉普拉斯变换
6、，并指出其收敛域。,解:由定义,前项当Re1+s=1+0，以上积分可积,收敛域为,后一项当Re2+s=2+0，以上积分可积,收敛域为,于是，整个函数的拉氏变换为：,收敛域为,即信号拉氏变换的收敛域为两部分收敛域的公共区域。,信号拉氏变换的收敛域与信号本身的形态有关，根据拉氏变换的定义，一般信号拉氏变换的存在应满足条件：,当信号是一右边信号，即tt0，x(t)=0，其拉氏变换：,如果，0使上式满足绝对可积，即,存在，则收敛域为,当信号是一左边信号，即tt0，x(t)=0，其拉氏变换：,如果，1使上式满足绝对可积，即,使,存在，则收敛域为,当信号是一双边信号，其拉氏变换：,如果，0使上式第二项满足
7、绝对可积，1使上式第一项满足绝对,可积，即,若01，以上X(s)不存在；,若01，以上X(s)存在，且收敛域为：0Res1；,当信号是一时限信号，即t0tt1，x(t)=0，其拉氏变换：,此时，若x(t)是绝对可积的，x(t)e-t总是满足绝对可积的，所以其拉氏变换在整个s平面上均存在，即收敛域是s全平面。,三、单边拉普拉斯变换,以下介绍的常见信号的拉普拉斯变换，均是指单边拉氏变换。本章及以后各章，在没有特别提到，均是指单边拉氏变换。,在系统分析时，我们常常用的是单边拉普拉斯变换：,因为，实际系统是因果的，信号总是在某个时刻才开始作用于系统，我们可以把这个时刻看作t=0；以上定义式中的积分的下限取0-，考虑变换对冲激信号也是有效的；由以上收敛域的分析，单边拉氏变换的收敛域是收敛轴的右半平面：Res0，以后一般不具体标示变换的收敛域。,可以证明，信号tnu(t)的拉氏变换：,4、单边指数信号,同样,所以,
