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1、第三节空间简单几何体的表面积和体积,第八章立体几何与空间向量,考 纲 要 求,了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，并会求它们以及它们的简单组合体的表面积和体积.,课 前 自 修,知识梳理,一、空间简单几何体的侧面展开图的形状,二、空间简单几何体的侧面积和表面积1直棱柱：S侧_(C为底面周长，h是高)，S表_.2正棱锥：S侧_(C为底面周长，h是斜高)，S表_.3正棱台：S侧_(C，C为上、下底面周长，h是斜高)，S表_.4圆柱：S侧_(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表_.5圆锥：S侧_(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表_.,S侧
2、2S底,Ch,Ch,S侧S底,(CC)h,S侧S上底S下底,Cl2rl,S侧2S底,Clrl,S侧S底,6圆台：S侧_(C，C分别是上、下底面周长，r，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S表_.7球：S表_(R是球的半径)三、空间简单几何体的体积公式1柱体体积公式：V柱_，其中h为柱体的高2锥体体积公式：V锥_，其中h为锥体的高3球的体积公式：V球_，其中R表示球的半径,(CC)l(rr)l,S侧S上底S下底,4R2,S底h,S底h,R3,四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式1长方体表面积公式：S2(abbcac)，长方体体积公式：V_.2正方体表面积公式：S_，正方体体积公
3、式：V_.3长方体对角线长等于，正方体对角线长等于_五、两点的球面距离：(属知识拓展)经过球面上两点(不是直径端点)的大圆的劣弧长叫做这两点的球面距离,abc,6a2,a3,基础自测,1(2012绵阳市调研)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是()A6 B12C24 D36,解析：依题意可知，该几何体为四棱锥，底面是矩形，长和宽分别为4和3，锥体的高为3，该棱锥的体积S(34)312.故选B.答案：B,2(2012东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2,3(2012中山市四校联考)一个几何
4、体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是_cm3.,4(2011佛山市南海一中检测)半径为a的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙角顶点的最短距离是_.,考 点 探 究,考点一,根据简单多面体的三视图求该几何体的侧(表)面积、体积,【例1】(2012安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_,思路点拨：根据三视图还原出几何体，确定该几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积点评：这一类题型不直接给出几何体的特征元素的长度，如只给出三视图的数据、旋转体的轴截面图形或侧
5、面展开图的图形这需通过题设条件，想象出原几何体的形状(或作出原几何体的直观图)，进而求解出相关条件，最终使问题获解,变式探究,1(2012厦门市期末)已知体积为 的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直底面)的三视图如图所示，则此三棱柱的的高为(),考点二,根据多面体的直观图求该几何体的表面积、体积,【例2】正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为8.(1)求此三棱锥的斜高与高；(2)过三条侧棱中点的截面(中截面)把此棱锥分成了一个棱锥和一个棱台，求得到的棱台的表面积思路点拨：顶点S在底面的射影是正三角形ABC的中心O，而求截得的棱台的表面积关键是侧面积的求解，可直接计算得到,解析：(1)如图，O是S在底
6、面的射影，,点评：简单几何体内的基本计算依赖于对它的结构的理解，紧扣定义是关键而在与正棱锥有关的计算中，常常转化为解直角三角形来完成,变式探究,2(2012江苏卷)如下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为_cm3.,考点三,根据旋转体的三视图求该几何体的表(侧)面积、体积,【例3】(2012金华市十校联考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(),变式探究,3(2011咸阳市模拟)如图所示是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是(),答案：A,考点四,求多面体与旋转体的组合体的侧(表)面积和体积,【例4
7、】(2011湖南卷)如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(),变式探究,4(2012吉林市期末)下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_,考点五,正方体与球体相接的问题,【例5】正方体的内切球与其外接球的体积之比为(),思路点拨：本题涉及几何体的内切球与其外接球问题首先要弄清楚的是该内切球与外接球的直径(长度)分别是正方体的棱长与正方体的对角线,点评：解决多面体与旋转体的结合体的表面积、体积问题，关键是解决半径问题，常常选择适当的轴截面将其转化为平面几何问题来解决球内接几何体与球外切几何体问题的关键是要弄清楚几何体的哪一个几何量(线段长)“充当”了球的直径(或半径)的角色
8、,5球的半径为R，则球的外切正方体和内接正方体的表面积之比为_，体积之比为_,变式探究,考点六,用割补法求多面体的体积,【例6】如图所示，P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(),变式探究,6如图，一圆柱被一平面所截，已知被截后的几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_,1几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合各个几何体的侧面展开图来进行要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关
9、问题如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解；再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小,2要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法割补法是割法与补法的总称补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点等积法包括等面积法
10、和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用,等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高时这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值如图，,解决多面体与旋转体的结合体的表面积、体积问题，关键是解决半径问题，常常选择适当的轴截面将其转化为平面几何问题来解决解决球内接几何体与球外切几何体问题的关键是要弄清楚几何体的哪一个几何量(线段长)“充当”了球的直径(或半径)的角色如球内接正方体的对角线是正方体外接球的直径，球外切正方体的棱长是正方体内切球的直径.,感 悟 高 考,品味高考,2(20
11、12辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_,解析：由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(344131)211238.答案：38,高考预测,1(2012浙江瑞安市期末)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(),2(2011汕头市一模)下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为(),3(2012茂名市二模改编)已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125，则长方体的体积是()A72 B96 C100 D120,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
