第3章动量定理ppt课件.ppt

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2、柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l，质量是2m1；两滑块的质量都是m2；曲柄长l，质量是m1，并以角速度绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角时整个机构的动量。,例 题 3-1,(a),例题第3章 动量定理,18,例 题 3-1,例题第3章 动量定理,19,解：,整个机构的动量等于曲柄OA，规尺BD，滑块B和D的动量的矢量和，即,p=pOA+pBD+pB+pD,其中曲柄OA的动量 pOA=m1vE，大小是,pOA=m1vE=m1l/2,其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着的转向(图 b)。,E,pBD+pB+pD,pOA,(b),例 题 3-1,例题第3章 动量定理,20,因为规

3、尺和两个滑块的公共质心在点A，它们的动量表示成,p=pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA,由于动量 pOA 的方向也是与 vA 的方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向与 vA 相同，而大小等于,例 题 3-1,例题第3章 动量定理,21,火炮（包括炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对水平面的仰角是（图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。,(a),例 题 3-2,例题第3章 动量定理,22,解:,炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx=0；

4、可见，系统的动量在轴 x 上的投影守恒。,取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。,设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰角是（图b）。,（b）,（a）,例 题 3-2,例题第3章 动量定理,23,px=m2vcos m1vm1=0,另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得,v=ve+vr,考虑到 ve=vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到,vcos=vrcos vm1,vsin=vrsin,联立求解上列三个方程，即得,考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有,例 题 3-2,例题第3章 动量定理,24,锻锤 A 的质量 m=3 000 kg

5、，从高度 h=1.45 m处自由下落到锻件 B 上。假设锻锤由接触锻件到最大变形的时间t=0.01 s，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。,例 题 3-3,例题第3章 动量定理,25,解：,取锻锤作为研究对象。它从高度 h 自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。,1.碰撞前的自由下落阶段。,从而求得碰撞前锻锤速度的大小,锻锤只受重力作用，由动能定理得,例 题 3-3,例题第3章 动量定理,26,该阶段锻锤受重力 mg 和锻件对锻锤的碰撞力（设其平均值为 FB）的作用，写出冲量定理在铅直轴 y 上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有,0 mv=mgt FBt,从而求得,代入求

6、出的速度 v 和已知数据，即得,FB=16.3 102 kN,2.锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。,例 题 3-3,例题第3章 动量定理,27,如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1，船长l，水的阻力不计。求船的位移。,例 题 3-4,例题第3章 动量定理,28,取人与船组成质点系。因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影等于零，因此质心在水平轴上保持不变。,人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心的坐标为,解：,取坐标轴如图所示。在人走动前，质心得坐标为,例 题 3-4,例题第3章 动量定理,29,由于质心在轴上的坐标不变，解得,例 题 3-4,例题第3章

7、 动量定理,30,电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是 m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造和安装的误差，使转子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏心距 b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度 转动时，电动机所受的总水平力和铅直力。,b,t,W1,W2,O1,O2,x,y,Fx,Fy,例 题 3-5,例题第3章 动量定理,31,例 题 3-5,例题第3章 动量定理,32,解:,取整个电动机（包括定子和转子）作为研究对象。选坐标系如图所示。,质心 C 的坐标为,质心 C 的运动微分方程为,例 题 3-5,例题第3章 动量定理,33,从而求得质心加速度在

8、坐标系上的投影,把上式代入式(1)和(2)，即可求得,Fx=m2b2cos t,Fy=(m1+m2)g m2b2sint,例 题 3-5,例题第3章 动量定理,34,如图所示，设电动机没用螺栓固定，定子的质量是 m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造和安装的误差，使转子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏心距 e。各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度转动时电动机外壳的运动。,例 题 3-6,例题第3章 动量定理,35,电动机受到的作用力有外壳的重力，转子的重力和地面的法向力。,因为电动机在水平方向没有受到外力，且初始为静止，因此系统质心的坐标xC保持不变。,

9、取坐标轴如图所示。转子在静止时，设 xC1=a。当转子转过角度时，定子应向左移动，设移动距离为s。则质心坐标为,解：,例 题 3-6,例题第3章 动量定理,36,因为在水平方向质心守恒，所以有xC1=xC2，解得,由此可见。当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。,顺便指出，支承面的法向反力的最小值求得为,当 时，有 0，如果电动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。,例 题 3-6,例题第3章 动量定理,37,(b),O,C,0,b,F1,F2,mg,复摆是一个在重力作用下可绕水平轴 O 摆动的刚体。它的质量是 m，对转轴的转动惯量是 JO，质心 C 到转轴O的距离 OC=b。设

10、摆动开始时 OC 对铅直线的偏角是 0，角速度是，试求摆动中轴承 O 对复摆的约束力。,例 题 3-7,例题第3章 动量定理,38,解:,复摆在任意位置时，所受的外力有重力mg 和轴承 O 的约束力。为便于计算，把轴承约束力沿质心轨迹的切线和法线方向分解成两个分力 F1和 F2。,写出质心运动定理在质心轨迹的自然轴系上的投影式，可得,质心C 的加速度在这两个方向的投影为,例 题 3-7,例题第3章 动量定理,39,应用动能定理 T2 T1=W，有,从而求得,将上式两端对时间求导，得,例 题 3-7,例题第3章 动量定理,40,即,例 题 3-7,将求出的 和 分别代入式(1)和(2)，经整理后

11、即可求出,例题第3章 动量定理,41,物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后，细杆近似以 规律摆动（k为已知常数），求物块A的最大速度。,例 题 3-8,例题第3章 动量定理,42,例 题 3-8,例题第3章 动量定理,43,取物块和小球为研究对象，其上的重力以及水平面的约束力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。,细杆角速为，当 时，其绝对值最大，此时应有，即。,解：,由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为,例 题 3-8,例题第3章

12、动量定理,44,当此速度vr向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝对速度值为va=vrv。根据动量守恒条件，有,解出物块的速度为,当 时，也有。此时小球相对于物块有向右的最大速度 k0l，可求得物块有向左的最大速度,例 题 3-8,例题第3章 动量定理,45,图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB，运动开始时，x=x0，,，。试求单摆B的轨迹方程。,例 题 3-9,例题第3章 动量定理,46,解：以系统为对象，其运动可用滑块A的坐标x和单摆摆动的角度两个广义坐标确定。,解出,单摆B的坐标为,则,由于沿x方向无外力作用，且初始

13、静止，系统沿x轴的动量守恒，质心坐标xC应保持常值xC0。,例 题 3-9,例题第3章 动量定理,47,消去，即的到单摆B的轨迹方程：,是以 x=xC0,y=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也称为椭圆摆。,例 题 3-9,例题第3章 动量定理,48,轨迹演示,例 题 3-9,例题第3章 动量定理,49,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求支座O处的水平约束力。,例 题 3-10,例题第3章 动量定理,50,选取整个机构为研究对象

14、，其水平方向只承受O处约束力的作用。列出质心运动定理在x轴上的投影式,此系统质心坐标为,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,解：,将xC对时间取二阶导数,代入上式（a），求得,（a）,例 题 3-10,例题第3章 动量定理,51,整个系统在铅垂方向除有重力外，O，B两处受有y方向约束力Fy和FN。列出质心运动定理在y轴上的投影式,质心yC对时间取二阶导数，代入上式，求得,以整个系统为研究对象，只能求出O，B两处y向约束反之和，而不能分别求出各自的值。,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,例 题 3-10,例题第3章 动量定理,52,曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，

15、滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹以及此系统的动量。,例 题 3-11,例题第3章 动量定理,53,设 t=0 时OA 杆水平，则有=t。,由式,质心C的坐标为,解：,例 题 3-11,例题第3章 动量定理,54,上式也就是此系统质心C的运动方程。由上二式消去时间t，得,即质心C的运动轨迹为一椭圆，如图中虚线所示。应该指出，系统的质心一般不在其中某一物体上，而是空间的某一特定点。,例 题 3-11,例题第3章 动量定理,55,为求系统的动量，由动量定理投影式，得,此例中。,由质心公式得,系统动量的大小为,则

16、得系统动量沿x，y轴投影：,例 题 3-11,例题第3章 动量定理,56,均质曲柄AB长r，质量为m1，假设受力偶作用以不变的角速度转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。,例 题 3-12,A,例题第3章 动量定理,57,例 题 3-12,例题第3章 动量定理,58,选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有F和Fx，且力偶不影响质心运动。,列出质心运动定理在x轴上的投影,为了求质心的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对时间取二阶导数，即,解：,例

17、 题 3-12,A,例题第3章 动量定理,59,应用质心运动定理，解得：,显然，最大水平分力,例 题 3-12,例题第3章 动量定理,60,质量为mA的小棱柱体A在重力作用下沿着质量为mB的大棱柱体B的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为。若开始时系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求：（1）当棱柱A沿斜边相对棱柱B滑下距离l 时，棱柱B移动的距离d；（2）棱柱B的加速度aB；（3）地面的铅直约束力F。,x,y,B,O,A,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,61,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,62,A点对于固定坐标系Bxy的绝对速度为vA=vB+vr。,A，B两棱柱均

18、可简化为质点，研究对象为此两质点组成的质点系，Ox轴方向动量守恒。开始时质点系静止，故,设A点对Bxy的相对速度为vr，vr在动坐标轴上的投影为,解：,mAg,x,x,y,y,F,mBg,B,A,O,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,63,任一瞬时t，质点系的动量为,1.求棱拄移动的距离 d。,（a）,设质点A沿棱柱B的斜边下滑的相对距离为l，所经历的时间为t1。,则,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,64,为求同一时间内质点B移动的距离d，（a）对t1积分得,此即棱柱B向左移动的距离d。,（a）,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,65,投影到Ox和Oy轴上得,（b）,2.求

19、棱柱B的加速度aB。,将式（a）对时间t求导，得,（a）,单独考察质点A，受力如图（b）所示。,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,66,应用牛顿第二定律，质点A的运动方程,上两式消去质量mA和斜边法向力FN，经简化得,（c）,将（c）代入,得,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,67,棱柱B向左平动的加速度为,（d）,整理得,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,68,3.求地面的铅直约束力。,质点系动量在Oy轴上的投影,对时间t求导，再应用动量定理,例 题 3-13,例题第3章 动量定理,69,将式（b）和（d）代入经整理后，求得约束力为,（b）,（d）,例 题 3-13,例题第

20、3章 动量定理,70,电动机安装在基础上，基础下面是弹性基地，如图所示。已知地基的弹性系数为k，基础质量为m1，电动机定子质量为m2，转子质量为m，转子有偏心距e，转子以匀角速度转动。求：（1）基础的强迫振动的振幅；（2）基础对电动机的铅直动约束力。,例 题 3-14,例题第3章 动量定理,71,例 题 3-14,例题第3章 动量定理,72,1.将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况。,弹性力,(a),(b),(c),解:,应用,得,因为平衡时,则有,例 题 3-14,例题第3章 动量定理,73,（2）,(d),根据振动理论，系统的固有频率为,强迫振动的规律为,其振幅为,(e),(f

21、),(g),或,例 题 3-14,例题第3章 动量定理,74,2.求地基对电动机的铅直动约束力。,由此求出动约束力,(h),将式(f)对t微分两次，并将式(g)代入后，有,(f),(g),e,y,C,O,mg,m2g,FN,取电动机为研究对象，由质心运动定理得,例 题 3-14,例题第3章 动量定理,75,如图表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的作用力。,例 题 3-15,例题第3章 动量定理,76,从管中取出所研究的两个截面aa与bb之间的流体作为质点系。,时间间隔dt内质点系动量的变化为,解：,设想经过无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截

22、面a1a1与b1b1之间。令qv为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为密度。,则质点系在时间dt内流过截面的质量为,例 题 3-15,例题第3章 动量定理,77,将动量定理应用于所研究的质点系，则有,因为管内流动是稳定的，有 于是,dt为极小，可认为在截面aa与a1a1之间各质点的速度相同，截面b1b1与bb之间各质点的速度相同，于是得,Fb,例 题 3-15,例题第3章 动量定理,78,消去时间dt，得,若将管壁对于流体的约束力F分为两部分：F为与外力W，Fa和Fb相平衡的管壁静约束力。F为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即F由下式计算：,附加动约束力由下式确定：,设截面aa与

23、bb的面积分别为Sa和Sb，由不可压缩流体的连续性定律知,例 题 3-15,例题第3章 动量定理,79,因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。,如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即,由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装支座。,v2,v1,O,x,y,在应用前面的公式时应取投影形式。,例 题 3-15,例题第3章 动量定理,80,一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑叶片，如图所示。设水柱的射入速度v与叶片相切，水柱的截面积为A，密度为，水柱离开叶片的倾斜角为，不计水柱的重量。（1）若叶片

24、固定不动，求叶片对水柱的动约束力主矢分量Fx和Fy。（2）若叶片沿水平线以匀速u向右运动uv，求叶片对水柱的动约束力主矢分量Fx和Fy。,例 题 3-16,例题第3章 动量定理,81,1.先讨论叶片固定的情形。,质点系动量变化率在x，y轴上的投影为,应用质点动量定理，得,解：,所求的动约束力为,例 题 3-16,例题第3章 动量定理,82,2.再讨论叶片以匀速u水平向右运动的情形。,水流出口的绝对速度矢量,在定坐标上的投影为,单位时间流过叶片的水的质量，即质量流率为,例 题 3-16,例题第3章 动量定理,83,所研究这一段水柱的动量的变化率为,例 题 3-16,例题第3章 动量定理,84,应

25、用质点系动量定理，不计重力作用，得：,所求的动约束力为,例 题 3-16,例题第3章 动量定理,85,砂子从不动的漏斗中垂直落入运动的货车车厢内，如图所示，每秒钟落入车厢内的砂子质量为qm。欲使车厢匀速运动，速度为v，需加多大的外力F?,x,v,F,例 题 3-17,例题第3章 动量定理,86,车厢与落入车厢内的砂子一起沿水平轨道运动，因此可视车厢为变质量质点。,砂子铅垂下落，车厢水平匀速沿x轴正向运动，则砂子沿x方向相对时车厢的速度，又有,于是,车厢的速度v是恒量，应用变质量质点的运动微分方程在水平轴上的投影，得,x,v,F,解：,例 题 3-17,例题第3章 动量定理,87,设一质量m1=

26、10 kg的邮包从传递带上以速度v1=3 ms1沿斜面落入一小车内，如图所示。已知车的质量m2=50 kg，原处于静止，不计车与地面的摩擦，求（1）邮包落入车后，车的速度；（2）设邮包与车相撞时间t=0.3 s，求地面所受的平均压力。,v1,m1,m2,例 题 3-18,例题第3章 动量定理,88,例 题 3-18,例题第3章 动量定理,89,研究邮包和小车组成的质点系，t 瞬时质点系的动量为,t+t 瞬时质点系的动量为,动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为,解：,例 题 3-18,例题第3章 动量定理,90,质点系水平方向不受外力，铅直方向受重力m1g+m2g，地面法向约束力的合力为F=F

27、1+F2，则有,Ox轴方向动量守恒,邮包落入车后车的速度为,例 题 3-18,例题第3章 动量定理,91,令F 为车受到的平均法线约束力，此力可以看成常力，,由动量定理有,例 题 3-18,例题第3章 动量定理,92,如图所示，水流由龙头以每秒2 kgs1的流量射入质量为25 kg的水箱车内，射入速度为v1=10 ms1，斜角=36。水箱车开始处于静止，可在水平道上自由运动（忽略摩擦）。设水箱足够长，求车的速度v(t)和第5 s末的速度值。,例 题 3-19,例题第3章 动量定理,93,设水开始射入的瞬时 t=0，经过t s后水箱车的质量为,因,代入得,这就是水箱车的运动微分方程。,解：,选此

28、瞬时水箱车及其中的水为研究对象，应用变质量物体的运动方程在x轴方向的投影式，因，得,例 题 3-19,例题第3章 动量定理,94,为求v(t)，分离变量并积分,得,当t=5 s时，车的速度为,整理后得车的速度v(t)为,例 题 3-19,例题第3章 动量定理,95,如图所示，一串链条堆成一堆置放在水平面上，用一常力F沿水平直线拉链条的一端A。如已知链条单位长度的重量为，平面的滑动摩擦系数为f，试用拉开的一段链条长度x以及 来表达它的加速度a。,例 题 3-20,例题第3章 动量定理,96,以拉开的一段链条为研究的质点系。,解：,应用变质量物体的运动方程在x轴方向的投影式，得,求得拉开的一段长度

29、的加速度,例 题 3-20,例题第3章 动量定理,97,如图所示，设单级火箭发动机和空壳质量为ms=450 kg，铅直向上飞行。设其发动机的燃料消耗率为=150 kgs1，燃气以相对速度vr=1500 ms1喷出。从静止起飞时，火箭装满燃料，其总质量为m0=4500 kg。若不计空气阻力和喷嘴压力，不考虑由于高度变化所引起重力加速度的变化，求火箭所达到的最大速度。,z,v,vr,例 题 3-21,例题第3章 动量定理,98,向Oz方向投影得,解：,将密歇尔斯基方程,积分,得,例 题 3-21,例题第3章 动量定理,99,代入数据得：,燃完燃料所需的时间,火箭最大速度为,因为,例 题 3-21,例题第3章 动量定理,