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1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材傅里叶光学第3版电子教案,吕乃光 编著,机械工业出版社,第一章 傅里叶分析,本章主要内容,1、常用函数2、卷积和相关3、傅里叶级数4、傅里叶变换,本章教学目标,1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方法和线性系统理论。2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变换；3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。,函数 变型,平移,折叠与f(x)关于y轴镜像对称,取反与f(x)关于x轴镜像对称,倍乘y方向幅度变化,比例缩放a1,在x方向展宽a倍a1
2、,在x方向压缩a倍,注意:1.函数在光学中代表什么物理对象2.一维向二维扩展,各代表什么物理对象,1、一些常用函数,1）阶跃函数(Step function),定义,应用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另一个函数，常用来表示直边（或刀口）的透过率。,1、一些常用函数,2）符号函数(Sign function),定义,应用Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号函数，当它与某函数相乘，可使函数xx0部分的函数极性改变。,相位板的振幅透过率,1、一些常用函数,3）矩形函数(Rectangle function),定义,应用常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率；它与某函数相乘时，可限制该
3、函数自变量的范围，起到截取的作用，故又常称为“门函数”。,0,y,x,(x0,y0),y,0,1、一些常用函数,4）三角形函数(Triangle function),定义,应用常用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。,1、一些常用函数,5）sinc函数(Sinc function),定义,应用常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和费衍射图样。,零点位置：,思考题：能否写出sinc2函数的表达式并画出图形？其与sinc函数有何区别？,1、一些常用函数,6）高斯函数(Gauss function),定义,应用常用来描述激光器发出的高斯光束强度分布。,图形分布特点,函数在原点具有最大值1，曲线下
4、的面积为a。,1、一些常用函数,7）圆域函数(Circle function),定义,应用常用来表示圆孔的透过率。,1、一些常用函数,*8）斜坡函数(Ramp function),定义,应用常用来表示边界透过率的灰阶变化。,1、一些常用函数,9）脉冲函数(function),定义,应用常用函数代表点质量、点电荷、点脉冲或者其他在某一坐标系中高度集中的物理量。,1、一些常用函数,对于实际物理问题而言，函数只是一种理想化处理，主要目的是使许多物理过程的研究更加方便。脉冲函数的另一种定义是可以把函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步增大但体积保持为1的一个脉冲序列的极限：,1、一些常用函数,函数的运算要通
5、过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种“广义函数”。把函数当作广义函数给出比较严格的定义：,是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间外为零，并具有所有阶的连续导数。,1、一些常用函数,函数的常用性质,a)筛选性质,b)对称性,c)比例变化性质,d)与其他函数的乘积,1、一些常用函数,10）梳状函数(Comb function),一维情况,沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和,沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和,应用可以利用梳状函数对其他普通函数作等间距抽样。,1、一些常用函数,二维情况,应用常用二维梳状函数表示点光源阵列或小孔阵列的透过率函数。,1、一些常用函数,*11）宽边帽函数(
6、Somb function),应用可用来表示圆形光瞳的相干脉冲响应（对应somb)；圆孔光瞳的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样（对应somb2)。,定义,1、一些常用函数,圆形光瞳的相干脉冲响应,圆孔光瞳的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样,1、一些常用函数,需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。,二维矩形函数,1、一些常用函数,二维三角形函数,1、一些常用函数,二维sinc函数,1、一些常用函数,二维高斯函数,2、卷积和相关,1）卷 积,卷积的定义,利用图解有助于理解
7、卷积运算的真实含义：以一维函数卷积为例,卷积图解计算的四个步骤：,第二步：位移,第一步：折叠,第三步：相乘 第四步 积分,图解计算过程,另一例子,折叠,位移,相乘、积分,2、卷积和相关,卷积运算的两个效应,（1）展宽（2）平滑化,2、卷积和相关,卷积的性质,交换律,分配律,结合律,平移不变性,2、卷积和相关,定标性质,若,则,注意：,函数的卷积性质,（1）任意函数与函数的卷积是其本身,（2）任意函数与发生某一平移的函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数平 移到的空间位置。,2、卷积和相关,2）相 关 相关运算包括互相关和自相关运算两种,互相关,f(x)g(x)f(x)*g*(-x),互相关与卷积
8、的关系,与卷积运算比较差别在于：相关运算函数g取复共轭，但不需要折叠，而位移、相乘和积分三个步骤是同样的。,思考题：互相关运算是否满足交换律、结合律？,2、卷积和相关,互相关运算的含义,互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度，两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号因为某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关值。,2、卷积和相关,自相关,自相关的性质：（1）自相关函数是厄米的，即（2）自相关函数在原点的模最大（用施瓦兹不等式关系），即,2、卷积和相关,自相关运算的含义,自相关函数是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度；当函
9、数相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模越小。但是只要信号本身在不同部位存在相似性，相应部位还会产生不为零的自相关值。,3、空间频率及空间频谱,1）正如在“绪论”中介绍的，在傅里叶光学中把图像看作是由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低的“空间频率”成分和急剧变化的细节等比较高的“空间频率”成分构成的，用频率的分布和变化来描述光学图像。因此有必要先介绍一下空间频率和空间频谱的基本概念。2）这里要特别强调，傅里叶分析的方法在“信号与处理”、“通信系统”等课程中已介绍过，这里将不再赘述。只是在通信理论中处理的是一维时间变化电信号，而在傅里叶光学中要处理的是二维空间变化图像信息
10、。即在傅里叶光学中，我们研究的是随空间位置变化的图像信息，对应的频率则称为“空间频率”，对应的频谱则称为“空间频谱”。,3、空间频率及空间频谱,3）一幅图像必然是各处明暗色彩不同，这是一种光的强度和颜色按空间的分布。这种空间分布的特征可以用空间频率来表明。,4）用傅立叶分析的方法求出一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及相应的“振幅”，也就是“空间频谱”。明暗具有空间周期性的图象的频谱中各空间频率（包括 fx 和 fy）具有分立的值，而非周期性图象的频谱中的频率值是连续的。频谱中相应较大空间周期的成分是“低频”成分，相应于较小空间周期的成分是“高频”成分。图象的粗略结构具有较低的空间频率，细微结
11、构具有较高的空间频率。一幅图象的特征就这样可以用它的频谱来表示，这频谱中所有的频率成分和相应的振幅就是这幅图象所包含的光学信息（加上彩色，信息量还要增加很多）。,3、空间频率及空间频谱,空间周期：Tx=d空间频率：fx=1/d,空间周期：Tx=dx,Ty=dy空间频率：fx=1/dx,fy=1/dy,举例：明暗空间周期性变化的图像,3、空间频率及空间频谱,5）可以用适当的方法找出一幅图像所包含的光学信息，即其频谱。这个方法就是夫琅禾费衍射。如图 3 所示装置，当栅缝水平的光栅 AB 被由单色点光源 S 通过透镜 L1 形成的平行光照射时，其衍射第 n 级亮纹出现在的方向上，,在屏上记录下来的衍
12、射图样就是图像的空间频谱，不同级次对应不同空间频率的信息。一套夫琅禾费衍射装置就是一套图像傅里叶（空间）频谱分析器，,4、傅里叶级数,1）19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文中首次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。,2）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。因此，对于某一周期性函数g(x)，周期是f=1/，如果满足狄里赫利条件，即在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三角傅里叶级数和指数傅里叶级数的形式。
13、,三角傅里叶级数,其中，,4、傅里叶级数,指数傅里叶级数,其中，,两种表达形式之间的联系,傅里叶系数,是频率,的函数，称为频谱函数。一般,是复函数，,等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱。,它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含,*所谓的研究频谱就是研究cn与nf 之间的关系。,如果,其中，An称为振幅频谱，n称为相位频谱。,4、傅里叶级数,举例：如下图所示的周期为=1/f0的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为,（1）展开为三角傅里叶级数形式为,4、傅里叶级数,矩形波的傅里叶综合,4、傅里叶级数,（2）展开为指数傅里叶级数形式,对应的频谱为,5、傅里叶变换,1）对非周期函数
14、同样可以作傅里叶分析，只是此时其频率取值不再 是离散的，而是连续的。2）傅里叶变换定义及存在条件,根据傅里叶级数的思想，可把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和，即,其中，,称为g(x)的傅里叶变换或频谱。G(f)是g(x)在频率域的表示形式，其作用类似于傅里叶系数cn，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分量的相对幅值和相移。如果G(f)是复函数，则有,则称A(f)为g(x)的振幅频谱，(f)为g(x)的相位频谱。,5、傅里叶变换,将该定义推广到二维形式，有,思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？,（1）g在整个积分区域内绝对可积；（2）在任一区域内，g必须只有有限个间断
15、点和有限个极大和极小值；（3）g必须没有无穷大间断点,5、傅里叶变换,3）广义傅里叶变换,某些函数并不满足傅里叶积分的条件，若希望用傅里叶分析讨论它们，必须将傅里叶变换定义进行推广，即进行广义傅里叶变换。所谓的广义傅里叶变换就是将函数看作某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。举例：求函数g(x,y)=1的傅里叶变换显然该函数不满足傅里叶变换的条件，但它可以定义为矩形函数序列的极限，即,不难求出该矩形函数的傅里叶变换为,根据广义傅里叶变换的定义,5、傅里叶变换,4）虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质,空域
16、,频域,空域,频域,*:若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。,5、傅里叶变换,5）傅里叶变换定理,若假设：,线性定理,相似性定理,平移定理,5、傅里叶变换,Parseval定理,卷积定理*,自相关定理,傅里叶积分定理,5、傅里叶变换,6）可分离变量函数的变换在某个坐标系中，若某个二维函数可表示为两个一维函数的乘积，则称此函数在该坐标系中是可分离的，即,其对应的傅里叶变换为,即是两一维函数傅里叶变换式的乘积。,5、傅里叶变换,7）傅里叶-贝塞尔变换,极坐标系中的函数,，当它只是半径,的函数时，即,称它为圆对称的。圆对称函数的傅里叶变换式为,其中，,，是用极坐标表示的频率坐标。,也
17、是圆对称函数，称之为函数,的傅里叶贝塞尔变换，记为,，而,的逆变换记为,，由下式计算：,5、傅里叶变换,8）一些常用函数的傅里叶变换式,本章小结,1）介绍了一些常用函数，包括矩形函数、三角形函数、脉冲函数、梳状函数等，理解这些函数的定义及应用是课程的基本要求。2）介绍了两种典型的运算：卷积和相关，需要理解各自的含义，以及两者的联系。3）介绍了空间频率和空间频谱的概念。傅里叶光学研究的是随空间位置变换的图像信息，可以采用傅里叶分析的方法研究该图像随空间频率的分布。理解空间频率和空间频谱的概念对于理解傅里叶光学的核心思想有决定意义。4）基于傅里叶级数的思想，可以对周期性和非周期性函数进行傅里叶分析，傅里叶级数可以理解为傅里叶变换的一种特殊情况。掌握常用函数的傅里叶变换是课程的基本要求。,
