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1、第十三章 函数列与函数项级数,1一致收敛性,一函数列及其一致收敛性,若数列(2)收敛,则称函数列()在点,设,(1),是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为,(2),收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在,发散。若数列(1)在,第十三章 函数列与函数项级数 1一,或,或,总有,例,证明它的收敛,证:,(3),总有例证明它的收敛证:(3),例2 设,证明它的收敛域为,极限函数为,=0。,证：由于对任何实数都有,故，对任意给定的,，就有,它显然是发散的,所以函数列例2 设 证明它的收敛域为极限函,定义1,所以数列,的收敛域为无限区间为,极限函数为,=0。,对于函数列，我们不
2、仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。,定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列,一致收敛于f 的几何意义:,不一致收敛于f 的几何意义:,函数列在D上不一致收敛的定义：,一致收敛于f 的几何意义:不一致收敛于f 的几何意义:函数,定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则),(4),定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)(4),证:必要性,充分性,一点都收敛，记其极限函数为,(5),证:必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5,定理13.2,证:必要性,由上确
3、界的定义有,由此证得（6）式成立。,充分性,有,由（7）式得,（6）,（7）,定理13.2证:必要性由上确界的定义有由此证得（6）,例3,证明,证：,于是，,但由于,因此，该函数列在,上不一致收敛。,例3证明证：于是，但由于 因此，该函数列在 上不一致,二.函数项级数及其一致收敛性,称为定义在上的函数项级数，,为函数项级数的部分和函数列。,若,收敛，则称,为,的收敛点。若,发散，则称,为,的收发散点。,也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。,二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级数，为,当,当,推论：,例4,当当定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：定义2.)
4、(,定理13.4,定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在-a，a（,一致收敛。,三.函数项级数的一致收敛性判别法,定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）,证：,又对一切根据函数项级数一致收敛的柯西准则，一致收敛。三.函数,例5 证明函数项级数,在,上一致收敛。,定理13.6（阿贝耳判别法）设,在区间I上一致敛；,是单调的；,（2）对每一个,（1）,（3）,例5 证明函数项级数在上一致收敛。在 证：由于对一切有而正,则级数,在区间上一致收敛。,证：由（1），,使得当,时，对任意正整数p及,有,又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章3引理的推论）得到,由此柯西准则定理得证。,定理13.7（狄
5、利克雷判别法）设,则级数在区间上一致收敛。证：由（1），使得当时，对任意正,（1）,的部分和数列,在I一致有界；,（2）对每个,是单调的；,（3）在I上,一致收敛于零。,则级数,在区间I上一致收敛。,证：由（1），,，对一切,。因此当n，p为,任意正整数时，,对任何一个,由（2）及阿贝尔引理，得到,再由（3），对任给的,，存在正整数N，当nN时，对一切,有,（1）的部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调的；（3）,所以,于是由一致收敛性的柯西准则，级数,在区间I上一致收敛。,例6 函数项级数,在0，1上一致收敛。因为记,时，由阿贝耳判别法即得结果。,例7 若数列,单调且收敛于零，则级数,在,上一致收敛。,证：因为在,上有,所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛,所以级数,的部分和数列在,上一致有界，于是令,由狄利克雷判别法知级数,在,上一致收敛。,所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法,
