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1、第六章 连续系统的振动,6.3 轴的扭转振动,14,2,6.3 轴的扭转振动,细长圆截面直杆在分布扭矩作用下作扭转振动,假定振动过程中各横截面仍保持为平面,截面的极惯性矩 Jp,材料密度,切变模量 G,：单位长度杆上分布的外力偶矩,轴参数：,为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移,截面处的扭矩为 M,微段 dx 受力,：微段绕轴线的转动惯量,14,3,代入，得：,微段 dx 受力,达朗贝尔原理：,材料力学：,即：,圆截面杆的扭转振动强迫振动方程,对于等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数,有：,剪切弹性波的纵向传播速度,14,4,等直轴的扭转自由振动：,方程形式与弦的横向振动、杆的纵向振
2、动方程一样，,因此也有相同形式的解：,式中有四个待定常数，决定于初始条件和边界条件。,利用边界条件可以求出C、D或一个常数和固有频率，,其边界条件与杆的纵向振动相似，有固定端、自由端、弹性,载荷端、惯性载荷端：,14,5,(1)固定端：,(2)自由端：,(3)弹性载荷端：,其中kt为扭转弹性刚度。,14,6,(4)惯性载荷端：,因为系统的线性，系统的全解由无限多阶固有模态叠加而成：,模态由边界条件决定，由初始条件决定其它两个常数Ai、Bi。,设初始条件为：,则：,求得Ai、Bi后，,可得系统的响应,14,7,例6.3-1：轴的左端固定，右,端附有圆盘，如右图。,解：轴的扭振方程,左端固定：,统
3、的扭振固有频率和振型。,求系,设解：,14,8,左端固定：,右端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩：,14,9,轴系的特征方程,为轴的转动惯量与圆盘的转动惯量之比。,若给定，不难找出固有频率的数值解。,表6.3-1给出了基本特征值1 随 值的部分变化量。,14,10,如果 值很小，轴的转动惯量远小于圆盘转动惯量.,轴系的特征方程简化为：,轴的扭转弹性刚度,略去轴质量的单自由度扭振固有频率,14,11,若=0.3，由表6.31得数值解1=0.52。,两者误差仅5.327%。,如果轴的转动惯量与圆盘转动惯量接近，,用2.3节的瑞利法，将轴转动惯量的1/3加到圆盘转动惯量上，,再按单自由度扭振系统计算，得：,误差约0.7%。,如果取 1，查表得1=0.86；用上式计算所得基频近似值，,14,12,例6.3-2：等直圆轴长为L，如图,以等角速度转动，某瞬时左端,解：建立坐标系,得频率方程：,突然固定，求轴的扭振响应。,一端固定一端自由的边界条件：,14,13,对于每个固有频率：,有：,式中Ai,Bi取决于初始条件：,代入上式：,14,14,14,15,作业：,
