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1、第十三讲 方差分析（定类定距）（x、y属丌同变量层次）,定类定距是常见的现象：,性别考试成绩地区平均收入民族离婚率方差分析：分析或检验总体间均值是否有所不同，而不是方差是否不同。检验所用的手段则是通过方差来进行的。种类：一元方差分析（一个定类变量）,二元方差分析三元方差分析,不只一个,第一节 一元方差分析,一、方差分析的假定1、与回归的比较（定距定距）自变量控制后，因变量是一连串的值（yi 为随机变量）回归：可以找出自变量与因变量之间的变化方向。方差：自变量取不同类别时，因变量 yi的均值是否有所不同,例：回归不方差分析比较,职业声望,受教育程,度,80,18,70605040,1512108
2、,职业,子女数,工人（4人）2；1；3；2；,干部（3人）农民（3人）,1；2；1；2；3；4；,21 m,2、方差分析的假定：（对因变量分布的必要限制，只有总体分布满足这些限制的条件下，方差分析的讨论才是有意义的）1）等方差性总体中，自变量 xi 的每一个数值 A1,A2,Am对应的因变量 yi 的分布都具有相同的方差2 2 2,注意：,1、总体方差相等，样本方差不一定相等。2、来自等总体的样本方差不会相差太远，最大与最小相差不超过2-3倍。3、总体方差可通过样本方差进行点估计。公式：样本容量的加权：,n1 1S12 n2 1S22 n1 1 n2 1,S 2,2）yi 的分布为正态形要求每
3、一个 Ai 所对应的 yi 分布都呈正态性（与回归一致）总结：,yi 应满足正态分布,N ui,2,二、方差 分析的检验：,设：总体自变量A共分为m类，A1,A2,Am,从A1 中抽取 n1A2 n2 Am nm 则有统计表：,A1,A2,Am,2122,m1m 2,y1n1,y2n2,y,nm,m,y11y12,yy,yy,y1,y,2,y,m,原假设 H 0：u1 u2 um备择假设 H 1：有一个以上类别，其均值不等统计量：,BSSRSS,F,m 1n m,F m 1,n m,当 F F 时，拒绝原假设当 F F 时，接受原假设,总平方和：TSS(yij y),组间平方和：BSS(yi
4、y)n i(yi y),m n i m,统计量的推导不计算,2,2,2,TSS BSS RSS,i 1 j1 i 1,2i 1 j1,m n ii 1 j1,y,yij n n i yi,ij,1,1n,1n i,n ij1,总平均值：y,第i类样本的组平均值：yi,统计量的计算还需：观测总数：n n i,例：下列资料，迚行方差检验。,教师（n=5)读书数（本/年）81012205,学生（n=5）读书数（本/年）1036125,yij y,E1 TSS,2,ij,y y,RSS。,2,E RSS,i,当方差分析检验呈显著性后，讨论两变量之间的相关程度，用减少误差比例PRE的方法：E1：不知因变
5、量y与自变量取值A1,A2,Am有关时，预测y所犯的错误，其值为TSS。m ni 1 j 1E 2：知道因变量y 与自变量取值 A1,A2,Am有关后，预测y时所犯的错误，其值等于m n2i 1 j 1,2,三、相关比率 eta,E1 E2 TSS RSS BSSBSS为已经被自变量解释掉的误差，解释掉的误差越大，变量之间的关系越密切，因此：,TSS,eta2 BSS,例：,已知：BSS=3.5 RSS=95求eta2,练习：以下资料求eta2,甲地（家庭人口数）67735,乙地（家庭人口数）44535,丙地（家庭人口数）33242,第三节 二元方差分析（自变量增加到两个),一、二元方差分析的
6、数学模型,（一）两种模型1、自变量A、B独立的对因变量发生影响：独立模型（或线性可加性模型）每一观测值 yi 均为三种以上因素作用的结果：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij2、同时考虑A、B两变量的交互影响：交互模型：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij,（二）两种模型对观测值数目的要求1、对独立模型：A共有a 种取值，B共有b种取值，对于可能取值 a b 种搭配，每种情况只要随机抽取一次，组成 a b 个观测值即可。2、对具有交互作用的模型：如果a b 种搭配只进行一次观测，则无法区别数据的变化是由于自变量的交互作用，还是外界未知因素干扰的结果。因此
7、，对于a b 种搭配，每种情况至少要观测2次，则总观测数为a b r r 2,A与B两个变量独立，图形是平行线,（三）、忽略外界干扰因素后的两种模型的图形：01、理想的独立模型yij y Ai 的效果 B j 的效果例：教员不同教学方法(A)和不同性格(B)对教学效果的影响。,A1 注入式教学法A2 启发式教学法,B1 性格内向B1 性格外向,2、理想的交互模型：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用线段失去平衡是变量间存在交互作用的标志。,使每种搭配 至少测量二次以上。2rBA,（四）实际的模型在存在干扰情况下 ij，上述线段不再是平行线，有三种情况：1、本身为独立模型
8、，其图形为非平行性是由外界随机因素干扰而成的：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij2、非平行性是由交互作用引起的。yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用3）非平行性由交互因素和随机因素引起的。yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij由于交互影响（长驻）与随机干扰（随机）性质不同，因此，为使交互作用表现出来，必须i j,二、无重复情况下二元方差分析,（一）无重复情况下二元方差分析的假定和假设。原假设 H 0 为：1、ai 0i 1a 2、i 0 j 1b备择假设 H 1 为：参数不全为0,（二）、方差分析的 检验统计量的推导（平方和的分析
9、法）1、样本观测值,T*1T*2,T*j,B1B2,B j,Bb,A1y11y12,A2 Ai y21 yi 1y22 yi 2,Aaya1ya 2,y1 j,y,2 j,y,ij,yaj,y1bT1*,y2 bT2*,yibTi*,yab,i 1 yij a T*j,j 1 yij b T i*,yi,yij a i 1 yi b j 1 y j,2、行平均值 y j,1 a 1a,y j,y,1 a 1 b,1ab,5、总离差平方和TSS2A B,y j 是A的平均值，因此，A的影响已被抵消，只反映变量B对A的影响。3、列平均值 yi：按列将观测值加总求平均1 a 1b4、总平均值,T i
10、*T*,1,BssA b i1,：变量B的离差平方和（已被变量B,：剩余平方和,未被A、B解释掉的误差,7、BssB,8、Rss,6、BssA：变量A的离差平方和（已被变量A解释掉的错误）2a2ab,解释掉的错误）2b2,Rss,9、变量A的平均离差平方和,10、变量B的平均离差平方和,BssAa 1,BssA,a 1 为自由度,BssBb 1,BssB,b 1 为自由度,11、平均剩余误差平方和Rssa 1b 1a 1b 1 为自由度,Fb 1a 1b 1,F B,统计量：,RssRss,A,F A,Fa 1a 1b 1,F,RssBRss根据显著性水平，查附表得 A B若：A A 显著即拒
11、绝域，原假设不成立F A A 相反，接受域，原假设成立；F B B 显著即拒绝域，原假设不成立F B B 相反，接受域，原假设成立,ijk 相互独立，且有,0,三、重复情况下的二元方差分析,i,备择假设 H 1：参数不全为0,(一）、假设与假定除考虑自变量A和B的独立作用外，还要A和B的交互作用，其数学模型为：yijk u ai j a ij ijkk 1,2r(r为 A B j 每种搭配重复数）2原假设 H 0：ai 0 j 0,0,a ij,T*,yijk abr,y,y j,（二）、重复情况下二元方差分析的检验,对每一种搭配各进行r次重复的独立观测，得到a、b、r个样本观测值。1、总平均
12、值：1abr2、行平均值：T*j*ar3、列平均值：yi T i*br,Tss,Bss A BssB,T T*,4、格平均值：,Tr,ij,yij,Rss,AB,5、总离差平方和TSS：2yijk y,6、Bss A：列间平方和变量A解释掉的误差。,2i*br abr,Bss A,BssB,T T,T T,Rss yijk yij,2 2ij*r abr,Bss,7、行间平方和：2 2*j*ar abr8、交互作用：AB AB Bss BssA BssB,9、剩余误差RSS：2Rss Tss BssA BssB AB,检验的统计量为：H 0：a ij 0H 1：不全为0统计量：,abr 1a 1b 1,F A B,ABRss,ABRss,Fa 1b 1,abr 1,TRssTRssAF,H 0：ai 0H 1：不全为0统计量：Rss A Rss A abr a b 1a 1Fa 1,abr a b 1,F B TRss TRss,H 0：ai 0H 1：不全为0统计量：,abr a b 1b 1,BssB BssB,Fb 1,abr a b 1,给出，查表，对于临界值 如果 AB AB：拒绝原假设,
