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1、第十讲,列联表,第一节 概念,1、研究内容1）研究两定类变量的关系2）为研究y的分类是否与x之分类有关，将数据先按x分类，再分别统计x分类情况下y的分类。3）按两个定类变量进行交叉分类的频次分配表，即二维列联表。,4、列联表的一般形式,Nij：x=xi y=yj时所具有的频次,y,x,y1y2,x1N11N12,x2N21N22,.,.,.,xcNc1Nc2,.,.,.,.,yr,N1r,N2r,.,.,.,Ncr,学生上网调查(统计各项比例，能发现什么问题？）,男生,女生,聊天玩游戏网恋学习,20501515,20501515,Nij,后者可以通过前者求出 p N,N,p 1,i 1 j 1
2、,2、列联表中变量的分布,1）联合分布对于二变量来说，为了知道分布，集合中的变量值，必须同时具有x和y两个变量的取值。（x1 y1 N11）（x2 y2 N12）,（x1 yr,N1r）,此称联合分布,（xi yj Nij）（xc yr Ncr）,Nij,表示频次时,联合频次分布表,Pij 表示概率时 联合概率分布表,ij,Nij,c ri 1 j 1,c r,ij,2）边缘分布：对联合分布进行简比，只研究其中某一变量的分布，而不管另一变量的取值，这样就得到边缘分布。按行加总y的边缘分布：P y yr P1r P2 r Pcr Pr按列加总x的边缘分布：Px xc Pc1 P2c Pcr Pc
3、,3）条件分布：将其中一个变量控制起来取固定值，再看另一变量的分布，即条件分布。控制x时，条件分布中的每一项都以边缘分布的 N1*N 2*N c*为分母控制y时，条件分布中的每一项都以边缘分布的 N*1 N*2 N*r 为分母,3、列联表中的相互独立性：,1）列联表研究定类变量之间的关系，实际上是通过条件分布的比较进行的。如果两个变量之间没有关系，则称变量之间是相互独立的。2）如果两个变量之间是相互独立的，则必然存在变量的条件分布与其边缘分布相同。,条件分布=边缘分布是列联表检验的基础：,（控制x时）,N*jN,NN i*,NijN,N*jN,NijNi*,N*1N,N 21N 2*,N11N
4、1*,Pij Pi*P*j,ni,n j,Pi,第二节 列联表的检验,一、原假设：将总体中变量间无关系或相互独立作为检验,的原假设。H 0:pij,pi*p*j,总体 pi*和 p*j 未知时，用样本 p i 和 P j 代替。P j n n,22c r2 2ij,E,ij,ni*n*jn,E np,*jij,统计量的讨论,1、对于22列联表，由于格数过少，为,减少作为离散观测值与作为连续型变量x值之间的偏差，可作连续性修正：22 22Eij 2、二项总体2 22E1 E2p0 为总体成数1 2,男女休闲爱好,x,ni Ei,x r 1,4、使用统计量 x 对列联表迚行检验，每一格值的 E,值
5、时 nij Eij 值的波劢就会较大。,2,那么在计算,3、对多项总体：,Ei,2,统计量：r2i 1,2,p,E,i,i 0,n,ij,2要保持在一定数目乊上。如果有的格值 Eij 过小，2xEij,每格要求：,处理方法：将期望值偏小的格值合并。右例，做检验。,Eij,20 30 3 1,nij,18,29,4,2,E ij 5,注意：列联表就其检验内容来看是双边检验，但从形式上看，却又很像单边检验。其判断的内容仅是变量间是否存在关系。至于方向，由于列联表属定类变量，因此是不存在的。,ni Ei,x,E,i 1,x r 1,列联表检验步骤,1、H,0,H,1,i,2,2,2、统计量：r23、
6、4、比较,例：以下是老、中、青三代对某影片的抽样，能否认为三代人对该影片评价有显著差异,老,中,青,很高一般,4547,3926,2122,第三节 列联强度,一、变量间的相关1、列联表中的频次分布情况，不仅是检验是否存在关系的依据，同时也是度量变量间关系强弱的依据。相关性程度越高，说明社会现象与社会现象间的关系愈密切。2、列联表中变量间的关系的强度分析，可以将频次转化为条件分布，然后比较自变量取不同值时，因变量条件分布的不同。,例,右表中，男生上网玩游,生；,想一想，当x取值大于2,时，怎样比较？,戏的比例高于女生；而上网聊天的比例低于女 y x,男生,女生,聊天,玩游戏 40 67%10 2
7、5%,30 33%30 75%,即：ad bc,二、2 2表 系数和系数,列联表中两个变量都只有二种取值时，就是 22表y,x,ac,bd,x1,x,2,y1y2,当变量间无关系时（独立）a ba c b d对于22表，无论 系数或系数，都以差值 ad bc为基础进行的讨论，同时，也把关系强度的取值范围定义在1，1之间。,1、系数,ad bca bc d a cb d,0 当两变量相互独立 1 b、c为零，值最大1a、d为零，值最小-1 1 一般情况前例中计算,Q,2、系数ad-bcad bc当a、b、c、d中有一个是零时，则 Q 1对应的实际情况是配对样本研究3、Q 系数的选择当自变量的不同
8、取值都会影响因变量时，用 系数。当存在控制组时，用系数,x,x 值构成 系数,4、r c 列联表222Eij 期望频次 Eij 是基于无相关前提下计量出来的，,2因 愈大，表示变量间距离无相关性愈远。2 x2 n其与22表中 系数是一致，22表中是 r c表中 系数的特例。,x,n,c值在0，1但永远小于1，又出现了v系,数：,由于r c 表的数增多后，值增加，没有上限，无法比较，因此以c系数修正。,x,c,2,2,2minr 1,c 1,V,1,V 的取值：o V,表示所减少的相对误差，越大表示y与x关,2）以减少误差比例为基础的相关性测量,PRE不受变量层次的限制，通过现象之间的关系研究，
9、从一个现象预测另一个现象。PRE E1 E 2E1E1：不知y与x有关系时，预测y的全部误差,E 2：知道y与x有关系后，用x去预测y的全部误差,E1 E2E1系越密切。,误差为：jnn max,为 nn max,E,PRE的取值范围：PRE=0：两变量是无相关（知道x与否无助于y的预测，1 E 2 误差不变）PRE=1：两变量是完全相关的（知道x与y有关系后，可以消除预测的全部误差）0 PRE 1：其他E1：不知y与x 有关，用y的边缘和 n的最大值去猜y值，猜中的频次会更多。全部E 2：知道有关后，先看它属于x的哪一类，然后用这一类的众值去猜y值，误差ciji 1,j,max n max
10、n,n max n,两种系数：,*j,ij*j,ci 1,1）系数 E1 E2 E1即：,每列最高频次之和 y边缘和中最高频次,观察总数 y边缘和中最高频次 的取值范围：x与y无相关：0；x与y全相关：1,PRE，所得 值称作 y，,N,D,PRE，所得 值称作 x，,N,D,Dy Dx,D D y D D x,值的非对称性：,1）以x为自变量，用对y的预测来定义yyy2）以y为自变量，用对x的预测来定义xxx3）如果x和y孰因孰果不明显的情况，这时可同时计算 y 和 x，并取其平均值，作为x和y间的相关程度。,xx,N y NDy D,y x y x,边缘分布所提供的信息。c r,n 1,n
11、,E,n,n,E,i 1 j 1 j 1,1,n n,E,n,系数又有修正：,系数：对 E1 和 E 2 的定义比,当不知道x与y有关系预测y时，充分考虑到y值2rij 2*j1 2 i*r21*jj 1的取值范围：x与y无相关：0（边缘分布与条件分布相同）x与y全相关：1（各行、各列均只有一个不为0的频次）,以前例为参照的推导：,1、不知x与y有关：,猜游戏与聊天：用边缘分布：40%，60%,随机指派40人，猜对游戏的人数4040/100=16猜错的人数40-4040/100=40（1-40/100）=24,同理：,随机指派60人，猜对聊天的人数6060/100=36猜错的人数60-6060
12、/100=60（1-60/100）=24,j1 n*j,E1即为猜错人数之和。推广：,1 r 2n,n,n*2n,)n*2(1,n*1n,E1 n*1(1,)n*r(,知道x与y有关后：用y的条件分布来猜y值,当x=男生时随机10人，猜对聊天的人数：1010/50猜错的人数：10-1010/50随机40人，猜对游戏的人数：4040/50猜错的人数：40-4040/50猜错二者相加：=（10-1010/50）+（40-4040/50）=50-1/50（102+402）同理：当x=女生时？,j1,E2即为全部误差之和。,推广：,1 rn1*n 2 ijn i*,E 2(n1*n,n 21j)(n 2*)c,值称 y,以x为自变量，用对y的预测来定义PRE，所得,值的非对称性：,以y为自变量，用对x的预测来定义PRE，所得 y 与 x 是不对称的，因此 是非对称的。,例：,值,已知列联表，求,y,x,30,120,150,3060,20140,50200,x1,x,2,y1,2,y,a 0.025,
