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1、2023/1/16,1,第3讲曲线梁桥基本微分方程,主讲：刘志文,湖南大学土木工程学院桥梁工程系2012.3,2023/1/16,2,教学目的：建立曲线梁桥的微分方程，从基本力学公式的角度理解曲线梁的“弯扭耦合”特性。教学任务：（1）曲线梁的平衡方程（2）曲线梁的几何方程（3）曲线梁基本微分方程的建立（4）曲线梁基本微分方程求解课后作业：试根据曲线梁桥微分方程来分析曲线梁桥的“弯扭耦合”特性，给出当曲率半径为R趋于无穷大时对应的微分方程。,2023/1/16,3,引言微分方程建立的基本步骤,微元体的平衡方程（荷载与内力关系）,微元体的几何方程（应变与位移关系）,物理方程（应变与应力关系）,应力
2、与内力关系（平衡关系）（材料力学）,微分方程（荷载与变形的关系）,微分方程目的：建立荷载与变形的关系。,2023/1/16,4,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,5,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,6,3.1 曲线梁微元体平衡方程,图1-2 a)曲线梁微段截面内力,2023/1/16,7,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,8,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,9,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,10,3.1 曲线梁微元体平衡方程,以上三个平衡方程为分布荷载对应的平衡方程。,2023/1/16,11,3.1 曲线
3、梁微元体平衡方程,2023/1/16,12,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,13,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,14,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,15,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,16,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,17,对z求1阶导,对z求2阶导,两式相减，即,（a）,(1-1),(1-5),(1-5),除以r,(1-3),（b）,3.1 曲线梁微元体平衡方程,2023/1/16,18,(1-7),对z求1阶导,(1-4),(1-2),(1-8),2023/1/16,19,3.1 曲线梁微元
4、体平衡方程,2023/1/16,20,3.1 曲线梁微元体平衡方程,通过以上推导建立了曲线梁微段的平衡方程（内力与荷载的关系），化简后为力矩与荷载的关系。？,2023/1/16,21,微段竖向弯矩,微段扭矩,微段横向弯矩（亦为面内弯矩）,曲线梁的典型力学特性：由于曲率半径引起的曲线梁段平衡方程中扭矩和竖向弯矩（即面外弯矩）在同一个方程中，从而表现为竖向弯矩与扭矩的相互影响，习惯上称为“弯扭耦合”作用。,3.1 曲线梁微元体平衡方程,拱桥微段平衡方程（面内荷载）,2023/1/16,22,3.2 曲线梁微元体几何方程,为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与应变的几何关系。该曲线梁
5、相对与纵向轴线z轴的一般变形基本定义如下图所示：坐标系仍为随动坐标系，x,y,z轴正方向符合“右手螺旋法则”。,x(v),O,2023/1/16,23,3.2 曲线梁微元体几何方程,3.2.1 曲线梁段在OXZ平面内的变形与应变关系,1)轴向变形：ABAB 轴向变形量为：A点处的轴向位移为；B点处的轴向位移为,2)径向变形：ABAB 变形前后曲率半径发生了变化，从而导致微段轴向发生变形，即,3）绕y轴的挠曲转动变形：AB AB,忽略该部分对轴向变形的影响。,2023/1/16,24,3.2 曲线梁微元体几何方程,1）微段由A到B的角度增量为：2）微段由ABAB、ABAB的过程中，曲线梁段未发生
6、挠曲变形，因此在这两个过程中AB之间未发生相对弯曲，整个微段也没有产生角度增量。（对于理解图1-6中的转角至关重要）当微段由AB到AB过程中分别在点、B点产生了角增量。点角增量为：,2023/1/16,25,B点角增量为：（按A的角增量沿微段轴向变化规律来写出），即,因此，微段沿弧长总的角增量为：,曲线弧段由到点的角度增量,曲线弧段沿轴挠曲发生的角度增量,此时的弧长为：（）,3.2 曲线梁微元体几何方程,2023/1/16,26,于是微段变形后绕轴的曲率为：,略去了该项，？,3.2 曲线梁微元体几何方程,2023/1/16,27,3.2 曲线梁微元体几何方程,于是变形后微段的曲率变化量为：,（
7、）,该方程是平面内的曲率方程，同时该方程也是拱桥微分方程推导过程中的几何方程。（该方程中的位移量只有沿径向的位移，与其他位移（变形）之间不存在耦合关系。）,2023/1/16,28,3.2.2 曲线梁段绕X轴的曲率方程和绕Z轴的扭率方程建立,3.2 曲线梁微元体几何方程,梁微段OA在O截面绕X轴发生微小弯曲转角时的变形关系图1-7a）；梁微段OA在O截面绕X轴发生微小扭转角变形关系图1-7b）。,D,转角正方向规定：,2023/1/16,29,3.2 曲线梁微元体几何方程,注：略去小量后，点弯曲角与点弯曲角相等,2023/1/16,30,3.2 曲线梁微元体几何方程,注：略去小量后，点扭转角与
8、点扭转角相等,（d）,2023/1/16,31,3.2 曲线梁微元体几何方程,发生扭转角引起的点转角,2023/1/16,32,3.2 曲线梁微元体几何方程,2023/1/16,33,3.3 物理方程,薄壁杆件扭转理论中将学习！,2023/1/16,34,将曲线梁微段几何方程代入到如上的个物理方程中，即,3.3 物理方程,薄壁杆件扭转理论中将学习！,2023/1/16,35,将以上方程与平衡方程联立，即可得到荷载与位移的关系，即曲线梁的基本微分方程。,3.4 曲线梁基本微分方程建立,方程（1）对（1-16）中的T取1次导数，并将它与式（1-14）中的Mx一起代入式（1-6），经整理后即得：,对
9、（1-14）和（1-16）分别求导后，将结果代入式（1-8），经整理后即得：,（1-17）,（1-18）,2023/1/16,36,3.4 曲线梁基本微分方程建立,对（1-15）分别求1次导和3次导后，将结果代入式（1-7），经整理后即得：,（1-19）,上述方程中式（1-19）中只包含一个位移量，可独立求解。式（1-17）和（1-18）中分别包含了竖向位移与扭转位移，因此必须联立求解。这充分反映出曲线梁的弯曲与扭转耦合作用特点。,2023/1/16,37,3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答,对于工程实践中大部分曲线梁可以忽略曲线梁的翘曲惯性矩，这样可以简化分析。不考虑曲线梁
10、的翘曲惯性矩，则曲线梁的挠曲扭转微分方程可以写成：,(4-1),(4-2),2023/1/16,38,3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答,(4-3),(4-4),(4-5),(4-6),2023/1/16,39,3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答,2023/1/16,40,3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答,2023/1/16,41,总结,微分方程建立平衡方程、几何方程、物理方程微分方程微分方程求解 级数法求解简支曲线梁方法与示例 不考虑翘曲刚度影响的简支曲线梁分析方法,要求：掌握曲线梁平衡微分方程的建立基本步骤，理解曲线梁基本力学特点“弯扭耦合”的来源与本质。,
