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1、主要内容:欧拉角 欧拉运动学方程 刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量 欧拉动力学方程 欧拉-潘索情况,11.1 欧拉角 欧拉运动学方程,一.欧拉角,固定坐标系:,固定在刚体上的动坐标系:.,确定z轴的位置:,进动,章动,二.欧拉运动学方程,动系中:,-欧拉运动学方程,11.2刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量,本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能的计算。,一.刚体做定点运动时对定点的角动量的计算,试推导上式分量形式:,令:,刚体对x轴的轴转动惯量,刚体对y轴的轴转动惯量,刚体对z轴的轴转动惯量,及:,惯量积,则:,现对上述结果进行分析：,1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布
2、。惯性系数也可用积分形式代替（11.2.6）式；,惯量系数是点坐标的函数,所以用静止的坐标系时,刚体转动时,惯量系数随之而变.通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系,这样,惯量系数都是常数,张量I也可写成并矢形式：,二.惯量张量,惯量张量是用来描述刚体定点转动的惯性的物理量；而转动惯量是描述刚体定轴转动的惯性的物理量。,（11.2.6）式用矩阵表示:,线性变换关系称为仿射变换,三.惯量主轴,使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系为该点（O点）的主轴坐标系。,若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为,如何寻找惯量主轴呢？,1）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量
3、主轴。,分析：某轴(设x轴)要为固定O点的惯量主轴的必要条件.,设刚体以角速度 绕x轴转动,则,根据,若对称轴为X轴，刚体上有,2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上各点的惯量主轴,证明：,3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是主轴，此坐标系是主轴坐标系。,4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴坐标系。,四.刚体做定点运动时的动能,得主轴坐标系上动能表达式:,其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量.,五.惯量椭球,研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过O点的l轴方向余弦为,考虑到,-如已知固定
4、点的惯量张量,则可得过此点的任何轴的转动惯量.,我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况.,在转动轴上取一长为R的线段OP,令,则P点的坐标将是,代入式,得P点的轨迹是:,-椭球面,反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球.,几点说明:1)对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球,它属于刚体中某一点.,2)惯量椭球的3个对称轴是固定点的3 个互相垂直的主轴,若,则惯量椭球是个旋转椭球;如,则惯量椭球为圆球.,3)利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量L的方向是沿过椭球面角速度矢量 与惯量椭球相交点P点的法线方向上.(证明见书P303),例题1:一匀质薄圆盘能绕其中心O点做定点转动,其质量为m,半径
5、为R,已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘面成 角的轴以角速度 转动,试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量.,解:建立过O点的主轴坐标系,依题意有:,圆盘对O点的角动量为:,圆盘的动能为:,11.3 欧拉动力学方程,一.欧拉动力学方程,我们采用刚体固定点的主轴坐标系Oxyz,并与刚体固连,则刚体对定点的角动量为:,采用动坐标系，角动量定理为：,所以（11.3.2)式的投影方程为:,欧勒动力学方程,思考为何这里采用动坐标系,没考虑惯性力?,结合欧拉运动学方程,来求解刚体定点运动问题,但这两个方程组求解困难,到目前为止,只有在下列三种情况才得到解析解.,欧勒潘索情况:刚体不
6、受外力矩作用的定点运动.,2.拉格朗日泊松情况:即陀螺在重力场中的运动，要求对固定点O所作的惯量椭球是一旋转椭球,亦即3个主转动惯量中有两个相等，Ix=Iy,重心则位于动力对称轴上但不与固定点重合.回转仪.3.C.B.柯凡律夫斯卡雅情况:在这一情况下，IxIy2Iz,而重心则在Oxy平面上.这也是一种对称陀螺.,二.直接用角动量定理和质心运动定理外理比较简单的定点运动问题,已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。,例1 一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与盘面法线成交角.圆盘质量为m,半径r,中心O在转轴上,O至两轴承A与B的距离均为a.设轴以角速度 转动,试求轴承上的压力,解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心O点的主轴坐标系；为分解约束力再建,对Z轴角动量知，,圆盘对O点的角动量为,上式在X，Y方向的投影为：,质心运动定理为：,由（4）-（7）得：,由上式可知，当高速运转部件安装不善造成对轴承的动压力危害很大，因而要求高速运转部件安装精度高，另外可通过动平稀来消除动压力。,当 时，约束力只有,其他约束力为零，圆盘处于动平衡状态，则这样的转轴称为自由转动轴。（轴须通过质心且是质心的惯量主轴则可为自由转动轴）,
