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1、第六章 弹性波波动方程及其解,6.1 线性弹性动力学的基本方程,基本方程运动微分方程几何方程,本构方程分析已知方程数15个；未知数15个；,边界条件和初始条件,边界条件 给定了弹性体在其边界面上所满足的条件。边界条件分类位移边界条件：当S=SU时应力边界条件：当S=St时混合边界条件：当S=SU+St时 在St上 在SU上,初始条件,初始条件 给定了弹性体在时刻t=0时的位移和速度，称为初始条件。在V+S的弹性体上有：定解条件 边界条件+初始条件,弹性波动力学的求解路线,弹性波动力学问题的表述：弹性体的形状、大小以及其物理性质(即密度和弹性系数)；弹性体所受外来作用的体力及表面力；弹性体所受的
2、约束性；弹性体各点的初始位移及初始速度，求:弹性体内的位移场、应变场及应力场。,按应力求解,按位移求解,2 三维三分量波动方程,各向同性介质三维三分量波动方程,纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中的弹性波最基本方程。,指标表示的纳维方程,向量表示的纳维方程,线性弹性体的整个理论就是在定解条件下解纳维方程。,三维三分量的含义位移场ui是空间坐标x1、x2、x3的函数，因此，是三维立体空间的；位移场ui有u1、u2、u3三个分量，因此，是三分量的；体力为零时的纳维方程 通常在研究地震波的传播时，认为地壳所受的体力为零，即：f=0。此时，纳维方程可表示为：,3.弹性流体介质中的波动方程
3、,弹性流体介质中的基本方程几何方程运动微分方程(不计体力)本构方程？弹性流体中的本构方程黏滞力：在实际流体中两层流体间的相互滑动时，流体间有相互作用的阻力，称其为黏滞力或内摩擦力。理想流体介质：可以将黏滞力忽略的流体称为理想流体。在理想流体中只存在胀缩力，而不存在剪切力。,右图为理想弹性体内的某个体元，其只受外法线方向相反的正应力，而无剪应力。即：上式中P为压力，当体元为单位体元时，P可视为压强。,弹性流体中的波动方程将上式代入运动微分方程，得 上式两边取散度将压力与应变关系代入上式,6.2 无旋波和无散波,斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理 任何一个足够平滑的矢量场都可以分解成无旋的部分和无散的部分
4、，这称为斯托克斯-亥姆霍兹矢量定理。结论无旋位移场的散度对应弹性休的胀缩应变场；,无散位移场的旋度对应弹性体的切应变情形；在非稳定条件下，这两种场分别以波的形式运动着，故分别叫做无旋波和无散波，也称之为胀缩波与等体积波。无旋位移场波动方程,试证对于任意一阶张量都成立！,结论：在均匀各向同性弹性体内，膨胀扰动以速度VP向外传播。这种膨胀波称为纵波或P波。其传播速度为VP。,如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：,无散位移场的波动方程,结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向外传播。这种切变波称为横波或S波。其传播速度为VS。,如果只研究横波
5、的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：,体应变表示的纵波方程,此时只有胀缩波，波有旋转波！为什么？,如果只研究纵波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：,上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。,转动矢量表示的横波方程,弹性体发生剪切形变时，由于转动很小，由矢量分析可知，定义转动矢量：,如果只研究横波的传播问题，可以不考虑振源的影响，此时设外力为”0”，则方程可简化为：,6.3 标量势与矢量势,拉梅势(Lame)根据斯托克斯亥姆霍兹矢量分解定理，位移矢量场可以分解成无旋场与无散场两个部分。如果位移矢量表示的纳维方程二次可微，则存
6、在一个标量势函数f和一个矢量势函数y，此时位移场可表示为：同理，对于体力也存在一个标量势函数F和一个矢量势函数A，此时体力可表示为：,表示无旋场？,表示无散场？,以势函数表示的波动方程,将势函数代入上式，则：,因为在空间区域V及任意时间区域中有上式成立，则有：,如果对标量势表示的波动方程两边取梯度如果对矢量势表示的波动方程两边取旋度如果F=A=0，则,因此，用标量势函数和矢量势函数表示纵波和横波的传播是合理的！,弹性波波动方程的一般表达式 由以上的讨论可知，位移矢量u、位移势函数f和y、体积应变q及转动角矢量W都具有相同的方程形式，为了方便起见，可以用统一的方程表示。当有体力时，可表示为达朗贝
7、尔方程当只考虑波的传播，不考虑体力时此时的纵波波动方程为,横波波动方程,6.4 三维三分量波动方程的退化处理,以上讲到的波动方程都是三维三分量的，与当前地震勘探的实际情况有此差别。由于条件的限制，目前在进行地震勘探时所有的检波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面的垂向分量的地震波。因此，在处理很多问题时我们将三维三分量波动方程进行退化处理。所谓退化处理就是人为地降低波动方程的维数或分量。二维单垂向分量波动方程(2D1VC)二维单垂向分量是目前常规二维地震勘探数据采集的观测方式，即在地表直测线上采集地震数据的观测方式。,上式就是所要求的二维单垂向分量波动方程。,i必须等于3,结论接收点记录的
8、地震波场中，即有纵波成分又含有横波成分。所得到的记录是纵波与SV型横波的复合型地震波场。但由于地震波的激发方式和接收方式等因素的选择设计，会使此复合型波场中的纵波成份占主导地位。因此，通常用如下式所示的声波方程代替,当接收的是ox1轴分量时的情况又怎样？,i必须等于1,当接收的是ox2轴分量时的情况又怎样？此时接收的波场中只有横波分量，没有纵波分量！,i必须等于2,三维单垂向分量波动方程(3D1VC)三维单垂向分量是目前常规三维地震勘探数据采集的观测方式；即在地表平面上采集地震数据的观测方式；取地表平面为ox1x2x3平面，所接收的分量为u3，平行ox3轴垂直向下。此时，有：,上式即为三维单垂
9、向波动方程。分析上式可知，接收点的响应的地震波场中即有纵波成份，同时也包含横波成份。一维三分量波动方程一维三分量是目前VSP测井中常规数据采集方式；即在一维线上激发与接收，所接收的分量u=(u1,u2,u3),平面波仅沿ox3轴传播,平面波沿ox2轴传播平面波沿ox1轴传播,沿过原点任意射线传播时当平面波的传播方向与ox1x2x3坐标系的任意一个坐标轴都不重合时，此时的平面波方程比较复杂。首先，以波的传播方向为ox3轴建立一个新坐标系；其次，就新坐标系内将平面波方程表达出来；最后，通过坐标旋转关系求出在旧坐标系内的表达式。,6.5 波动方程的一般解,平面波假设 平面波只是一种理想化模型。波前面
10、离开波源足够远时，可以把波前面近似地看作平面，叫做平面波。平面波分类根据波函数对时间的依赖关系：脉冲型、简谐型；根据振幅随场点坐标的变化：均匀平面波、非均均平面波；一维波动方程的解 由于平面被的波前面是一系列互相平行的平面，因此，同一波前面上各点振动情况完全相同，所以对于沿某一方向传播的平面波，我们可以选择一个坐标系，使得波就象在其中某一个坐标轴方向上传播一样。,行波法解,令波传播方向沿ox1轴，则ui=ui(x1,t)；则此时的波动方程为：由达朗贝尔方程，得一维波动方法为：,上式即为一维波动方程的通解，f1,f2为任意函数。,上式意义f1(x-vt)表示由波源出发，以速度v，沿ox轴方向传播
11、的行波；?f2(x+vt)表示由无穷远处出发，以速度v，沿ox轴负方向传播的行波；?坐标轴上某点处的波是由上述两种行波干涉波叠加的结果；上述行波法只考虑了波的传播，没有考虑波的初始扰动和边界情况等因素；因此，所得解没有太多实用价值。,地震波传播的边界条件和初始条件边界条件给定了弹性体在其边界面上所满足的条件，即称之为边界条件。位移边界条件：在弹性体的所有边界面上都给定了位移Su。此类问题称为第一类边值问题。应力边界条件：在弹性体的所有边界面上都给定了表面力St。此类问题称为第二类边值问题。混合边界条件：弹性体的边界面可以分成两部分，一部分给定了位移Su，另一部分给定了表面力St。此类问题称为第
12、三类边值问题。,初始条件 给定了弹性体在时刻t时的位移和速度，称为初始条件。如：定解条件 将所给的弹性体的边界条件和初始条件统称为定解条件。由波动方程的通解和定解条件，就可以确定特定地震波的传播。,例题,设理想弹性体构成的弹性半空间，如图所示，如果弹性体材料的拉梅系数和密度已知，所受体力f=ge3(g为常数)，其边界面上x3=0为自由界面，x3=h时u3=0。试求弹性体在均匀体力作用下的位移和应力分布。解 因为弹性体处于静力平衡状态，而且，其在ox1、ox2方向上不 受力，仅在ox3方向受力。因此，有：,由于弹性体处于静力平衡状态，所以其速度和加速度为0。,由于x3=0处的界面为自由界面，所以
13、其法向受力为0。,从而由几何方程和本构方程即可求出对应的应变张量和应力张量！,例2.设理想弹性体构成的弹性半空间，如图所示，如果弹性体材料的拉梅系数和密度已知。在t=0时，处于静止状态；当t0时，受均匀压力P(t)，不计体力。试求：t0时该弹性体的位移场和应力场。,定解条件下一维平面波的解,沿任意方向传播的平面波 一般情况下平面波不一定沿坐标轴方向传播，这时波函是坐标变量xi的函数。在直角坐标系下其方程为：,设平面波在ox1方向上传播，n是波前面的法向量，显然n与ox1轴的正方向一致。则平面波的通解为：,X1,波阵面上任意一点P都满足上式，则P点在x1轴上的坐标为:,平面波的等相位面为：平面波
14、的传播条件 在均匀无限弹性空间中，平面波的位移为ui，波传播的方向为n，由于只有从振源出发的平面波才有实际意义，则位移可写为：,将以上四式代入纳维方程，并令体力为零，于是得：选波沿ox3轴传播，则n1=n2=0,n3=1 上式是关于振幅a1,a2,a3的三个齐方程，它有不为零解的条件是它们的行列式为“0”。,这一结果表明，平面波在均匀无限弹性体内，只能以速度vP或速度vS传播。波的质点位移与波的传播方向间的关系纵波情况位移标量场的标量势f满足波动方程当时研究沿n之正方向传播的波时，有：,物理意义：在无旋波场中，质点位移方向与波的传播方向一致，通常称之为纵波。横波情况 位移矢量场的矢量势y满足方
15、程当研究沿n之正方向传播的波时，有：,物理意义：无散波场中质点位移方向与波的传播方向垂直，通常称为横波。波前面的应力分布 当弹性体在介质中传播时，介质由于变形产生应力，由广义虎克定律可知：,平面波的分离变量法解,要使上式对于任意的xi和t，都成立，则每一个求和项必为一常数，令其为-ki2。,解上述4个方程，得：,平面波的解可改写为,视速度定理,非均匀平面波 如果波的等位相面各点振动幅值不等，即等位相面和等振幅面并不平行，则称之为非均匀平面波。对于一般平面波来说，其波函数可取为：如果平面波是非均匀平面波时，则波数为复数,此时，kj为实数,由上式非均匀平面简谐波的波函数可知，其振幅不是常数，与空间
16、点的坐标有关。,由以上3个等式可知，此时等相位面与等振幅面相互垂直。波的传播方向为等相位面的法线方向；波的衰减方向为等振幅面的法线方向。,非均匀平面波的特点结论非均匀波不能在全空间中传播，它只能存在于介质的表面附近。这类波通常称为表面波。任一非均匀平面波都可看作由许多均匀简谐平面波迭加而成。,球面波 如果弹性介质的位移矢量场具有球对称性，且仅是空间变量r与时间变量t的函数，而与方位角q、j 无关，这样的波称为球面波。直角坐标系与球坐标系的关系可表示为：,6.6 有源地震波的传播,构成半空间的理想弹性体的密度、拉梅系数已知。当t=0时，弹性体处理静止状态；当t0时，弹性体受到均匀压力P(t)的作
17、用，不计体力。求t0时，弹性体内的位移场及应力场。分析：此问题同样是个一维问题 u1=u2=0 u3=u3(x3,t),当t0时，弹性体在x3=0的表面上受力为t1=t2=0,t3=P(t)。,当t=0时，弹性体处于平衡、静止状态,由已知的位移场，即可求出应变张量场和应力张量场。,由上式可知，对应特定的时刻t来说，对于x3vt的区域，弹性体还没有开始振动；对于x3vt的区域，弹性体质点位移由上式给出。,无界弹性体中球腔振源产生的波 无界的理想弹性体内有如图所示的空球腔，半径为a，受力前处于静止状态。今突然在球腔壁上突然施加均匀压力p0H(t)，其中p0为常数，H(t)为阶跃函数。求在该弹性体内
18、产生的位移场。在这种情况下使用直角坐标系是否合适？此时球坐标系的方程如何表达？,当t0,r=a时,将t=0时，位移和速度为“0”的初始条件代入,6.7 各向异性介质中平面波的传播,各向异性介质中地震波传播的一般表达式,Christoffel方程,各向异性介质中地震波传播的速度,Christoffel方程普遍成立的前提条件是其系数行列式为零,VTI介质的群速度与相速度,6.8 波动方程的数值解,各向同性波动方程当不计体力,只讨论地震波沿ox3轴传播时,方程可简化为:只讨论纵波时,有:,差分格式理论,时间一阶导数时间二阶导数,差分格式理论,整理得写成离散格式为:已知条件,二维波动方程的有限差分解,二维二分量各向异性介质有限差分解 根据各向异性介质的虎克定律和运动微分方程求解，此时解由5个方程组成的方程组。,高精度地震波波动方程有限差分解,
