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1、态和力学量的表象,态的表象和算符的矩阵表示,周世勋 量子力学教程4.1，4.2,2013.11.26,（一）动量表象（二）力学量表象（三）讨论,1 态的表象,到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。,波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。,表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。,但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空
2、间的描写是完全是等价的。,在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。,展开系数,假设(x,t)是归一化波函数，则 C(p,t)也是归一的。,命题,证,（一）动量表象,|C(p,t)|2dp 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p p+dp 范围内的几率。,|(x,t)|2 dx 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x x+dx 范围内的几率。,(x,t)与 C(p,t)一 一 对应，描述同一状态。(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。,C
3、(p,t)物理意义,若(x,t)描写的态是具有确定动量 p 的自由粒子态，即：,则相应动量表象中的波函数：,所以，在动量表象中，具有确定动量p的粒 子的波函数是以动量 p为变量的-函数。换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个函数。,x 在自身表象即坐标表象中对应 有确定值 x本征函数是(x-x)。,同样,这可由本征 值方程看出：,那末，在任一力学量Q表象中，(x,t)所描写的态又如何表示呢？,推广上述讨论：,x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象,因此可以对任何力学量 Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。,问题,（1）具有分立本征值的情况（2）含有连续本征值情况,（二）力学量
4、表象,（1）具有分立本征值的情况,设 算符Q的本征值为：Q1,Q2,.,Qn,.，相应本征函数为：u1(x),u2(x),.,un(x),.。,将(x,t)按 Q 的 本征函数展开：,若,un都是归一化的，则 an(t)也是归一化的。,证：,由此可知，|an|2 表示 在(x,t)所描述的状态 中测量 Q 得 Qn 的几率。,a1(t),a2(t),.,an(t),.,就是(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。,写成 矩阵形式,共轭矩阵,归一化可写为,写成 矩阵形式,（2）含有连续本征值情况,例如氢原子能量就是这样一种力学量，即有分立也有连续本征值。,设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：,
5、Q1,Q2,.,Qn,.,q,u1(x),u2(x),.,un(x),.,uq(x),则,归一化则变为：,|an(t)|2 是在(x,t)态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；,在这样的表象中，仍可以用一个列矩阵表示：,归一化仍可表为：+=1,|aq(t)|2dq 是在(x,t)态中 测量力学量 Q 所得结果在 q q+dq之间的几率。,同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。,（三）讨论,动量本征函数,不含时动量本征函数,本征方程,态矢量,基本矢量,这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A在直角坐标系由三分量Ax Ay Az
6、描述；在球坐标系用三分量Ar A A 描述。Ax Ay Az 和 Ar,A,A 形式不同，但描写同一矢量A。,波函数,是态矢量在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。,所以我们可以把状态看成是一个矢量态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，,u1(x),u2(x),.,un(x),.是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。,态迭加原理一般可写为：,量子力学中态所具有的性质与希尔伯特空间中矢量所具有性质是一致的，因此用希尔伯特空间中矢量可表示量子力学的态。量子力学的数学基础是泛函分析。,
7、态叠加原理的一般形式,（一）力学量算符的矩阵表示（二）Q 表象中力学量算符 F 的性质（三）Q 有连续本征值的情况,算符的矩阵表示,坐标表象：,Q表象：,假设只有分立本征值，将,按un(x)展开：,两边左乘 u*n(x)并对 x 积分,Q表象的 表达方式,（一）力学量算符的矩阵表示,Q表象的表达方式,F 在 Q 表象中是一个矩阵，Fnm 是其矩阵元,=F,简写成,写成矩阵形式,（1）力学量算符用厄密矩阵表示,所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。,（二）Q表象中力学量算符 F 的性质,（2）力学量算符在自身表象中的形式,Q的矩阵形式,结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值
8、。,（1）只有连续本征值,如果 Q只有连续本征值q，上面的讨论仍然适用，只需将u,a,b的角标从可数的 n,m 换成连续变化的 q，求和换成积分，见下表。,算符F在Q表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：,只是该矩阵的行列是不是可数的，而是用连续下标表示,（三）Q 有连续本征值的情况,例题（周世勋P.116)4.1.求在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。,解：,动量本征函数组成完备系：,(周世勋 P.116)4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。,解：,当 时,基矢：,能量本征值,对角元：,例 1：求 Lx,Ly,Lz,在 L2,Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。
9、,令：u1=Y11 u2=Y10,u3=Y1-1,Lx矩阵是33矩阵,计算中 使用了 公式,由此得Lx矩阵元,(Lx)11=(Lx)22=(Lx)33=0(Lx)13=(Lx)31=0(Lx)12=(Lx)21=(Lx)23=(Lx)32=/21/2,则 Lx 的矩阵元可如下计算：,(Lx)11=(Lx)22=(Lx)33=0(Lx)13=(Lx)31=0(Lx)12=(Lx)21=(Lx)23=(Lx)32=/21/2,写 成 矩 阵,同理可得Ly Lz,Lz在自身表象中具有最简 单形式，是一个对角矩阵，对角元素就是 Lz的本征值。,例2：在例1中给出了 Lx,Ly在 L2,Lz表象中的矩阵形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄米矩阵。,例 1：求 Lx 在 L2,Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。,例3：求坐标表象中 F的矩阵元,例4：求动量表象中 F的矩阵元,要计算此积分，需要 知道 F的具体形式.,
