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1、Review 力学量用算符表达,算符运算规则（线性算符，算符之和，算符之积，逆算符，算符函数、厄米算符 等）,第1页,算符对易式,1.体系任何状态下厄米算符的平均值为实数,2.任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符,厄米算符,一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,第2页,量子力学的一个基本假定是：测量力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态n，则每次测量得到的结果都是An.,厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统,量子理论中，测量对系统影响很大。在微观原子系统中，测量将极大地扰乱系统。每次测量之后，波函数受到严重干扰，发
2、生突变（波函数坍缩）,第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换,教学内容,第3页,1 量子态的不同表象，幺正变换2 力学量（算符）的矩阵表示3 量子力学的矩阵形式4 Dirac 符号,1 量子态的不同表象，幺正变换,1.1 一矢量在两坐标系中的表示,第4页,平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即,平面内任意矢量可表示为,当A1,A2确定之后就确定了平面上一个矢量A。因此,(A1,A2)可以认为就是矢量A在坐标系x1x2中的表示（列矢）。,现假设有另一直角坐标系x1x2，其基矢为e1,e2满足,在此坐标中矢量A 表示为,（A1,A2）就是矢量A 在x1x2系中的表示。,是把在两
3、个坐标系的表示联系起来的变换矩阵。,第5页,RT()是R()的转置矩阵。易看出，变换矩阵R有如下的性质,又因R=R，所以 R=RT=RT，因而,即R是么正矩阵，因此，一个矢量在两个坐标系中的表示通过一个么正变换相联系。,6,在量子力学中，按态的叠加原理，任何一个量子态，可以看成是抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”，体系的任何一组力学量完全集的共同本征态可以用来构成此态空间的一组正交完备的基矢（称为表象）。,1.2 同一量子态在两不同表象中的表示,F表象：力学量完全集的共同本征态k,满足（j，k）jk,F表象：力学量完全集的共同本征态,满足（，）,(a1,a2,.)就是态在F表象中的表示。
4、,(a1,a2,.)就是态在F表象中的表示。,体系的任何一个态可以用它们展开：,7,以*左乘上式并取标积，利用正交归一性得,即表象F 基矢与F表象基矢的标积。,上式就是同一个量子态在表象F中的表示与它在F表象中的表示的关系，它们通过一个矩阵S相联系。,以上两个表示有何联系？显然,写成矩阵的形式：,可以证明：,即变换矩阵S是么正矩阵，所以变换也称为么正变换。,8,证明：SS+=S+S=I,第9页,封闭性关系,2.力学量（算符）的矩阵表示,仍以平面矢量做类比，设矢量A逆时针转动角后，变为另一矢量B。在 x1x2坐标系中，它们分别表示为,R()表沿逆时针方向把矢量转过角的运算。用分量形式写出,分别用
5、e1和e2点乘，得,令,10,上式表明，把矢量逆时针旋转角的操作可用矩阵R()刻画,其矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的。例如:,第一列元素是基矢e1经旋转后(变成Re1)在坐标系各基矢方向的投影；第二列元素描述e2 在旋转下如何变化。故R矩阵给定，则所有基矢在旋转下的变化完全确定。,力学量的矩阵表示,与此类比，设态经算符L运算后变为另一态:,在以k为基矢的F表象中，上式表示成:,两边左乘j（取标积），得：,11,上式表成矩阵形式则为：,这里矩阵 Ljk 称为算符L 在F表象中的矩阵表示。不难看出，矩阵Ljk 一旦给定，任何矢量在L 作用下如何变化也就完全确定了。,12,矩阵Fnm的共轭矩阵表
6、示为,因为量子力学中的算符都是厄米算符，,13,结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵,14,第15页,例：的坐标x,动量p和Hamilton量H在能量表象中的矩阵表示。,谐振子的能量本征函数n(n=0,1,2,)满足,第16页,一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为:,求一维无限深势阱中粒子的坐标算符,及哈密顿算符,在能量表象中的矩阵表示。,解：,能级,n=1,2,3,.,例:,17,当 时，非对角元为:,当m=n时,对角元为:,坐标算符x,18,哈密顿算符,对角元：,19,如X在坐标空间中可表示为,动量p在动量空间中表示为,分别是L在表象F和F中的矩阵表示，而S=(Sk)是从F表象到F表象的
7、幺正变换。,力学量的表象变换,F表象中(基矢k)，力学量L表示成矩阵(Lkj),F表象中(基矢)，L表示成矩阵(L),20,量子态和力学量的矩阵表示,表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。,F表象（基矢k）,第21页,态,L,F表象（基矢）,L为厄米矩阵，L+=L；对角元必为实数,S是F表象到 F表象的幺正变换矩阵，其逆变换为：,22,一维谐振子,第23页,能量表象中,第24页,可以证明：算符在自身的表象中是一个对角矩阵，矩阵元就是算符本征值。,3.量子力学的矩阵形式,设量子力学完全集F本征值取分立值，以它们的本征态k为基矢的表象中，力学量L就表示成矩阵形式Lkj,Lkj=(k,Lj)，而
8、量子态则表成列矢:,其中ak=(k,)这样，力学量的本征方程和平均值，薛定谔方程等均可表为矩阵形式。,（1）本征方程,在F表象中,左乘j取标积），利用基矢正交归一性，得,25,此即L的本征方程在F表象种的矩阵形式。这是 ak(k=1,2,3)的齐次代数方程组，有非平庸解的充要条件为：,设L矩阵的维数是N，则上式是L的N次代数方程(久期方程)。,若Ljk是厄密矩阵(Ljk=Lkj),可证，上述方程必有N个实根，记为Lj，(j=1,2,N)。分别用Lj代入式(A),可求出相应的解a(j)k(k=1,2,3)，表为列矢:,它就是与本征值Lj相应的本征态在F表象中的表示。若L有重根，则出现简并，本征函
9、数解不能唯一确定，在量子力学中常找与L对易的另外力学量，求其共同本征态，来消除简并，从而把解确定下来。,26,（2）薛定谔方程,F表象,左乘j（取标积），得,这就是F表象中的薛定谔方程。,27,（3）平均值,在态 akk 下，力学量平均值表为,在特殊情况下，若采用L表象（即以L的本征矢为基矢的表象），此时Ljk是对角矩阵。,在态下，L的平均值将表示成,假定已归一化，即|ak|2=1，则|ak|2表示在态下测量L得到Lk 值的几率。,28,给定算符如何求本征值与本征函数（1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）利用久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。,例：厄米算符A,B,满足
10、A 2=B2=1，AB+BA=0.求（1）在A 表象中（无简并），算符A,B 的矩阵表示。（2）在A 表象中，算符B 的本征值和本征函数,第29页,答案：,例2、已知体系的哈密顿算符与某一力学量算符,在能量表象中的矩阵形式为：,(1)、H和B是否是厄米矩阵；,其中和b为实常数，问,(3)、算符B的本征值及相应的本征函数；,(2)、H和B是否对易；,第30页,解：（1）,所以H和B是厄米矩阵。,第31页,（2）,所以H和B对易。,第32页,（3）设B的本征值为,第33页,第34页,第35页,4 Dirac符号,量子力学的规律和所选用的表象无关。选用什么表象要视哪种表象便于问题的讨论。,在几何学或
11、经典力学中，常用矢量形式来讨论问题而不指明具体坐标系(完备基系)。同样，在量子力学中对态及力学量的描述，也可以不指明具体表象，而是采用一种抽象的形式，这就是Dirac最先引用的，所谓Dirac符号。,1.状态（态矢）的Dirac符号,微观体系的状态可以用Hilbert空间的矢量来表示，其符号为|,称为右矢，对以确定的右矢A或，可以|A 或|表示，它并不指明具体表象.,36,波函数 坐标表象;,列矢量 F表象;,右矢 未涉及具体表象。,以下三种表示是等价的，都是描述的同一状态。,对于某一力学量 的本征态，常用本征值或相应的量子数标记在右矢内，例如，|x 表示坐标算符 的本征态，其本征值为x，|p
12、 表示动量算符的本征态，其本征值为p，|En 或|n 表示能量本征态，本征值为En，|l,m 表示（，）的共同本征态，本征值分别 和 等。,37,与右矢|相应，左矢的复共轭空间.,它们均表示的共轭矢量。,以下三种表象是等价的，都描写同一状态:波函数(x,t)的复共轭(x,t)坐标表象;列矢量的厄密共轭=(a1(t),a2(t),)F表象;左矢|.,38,2.标积,（1）矢量|2 与|1 的标积用 表示，以下三种标记是等价的：,（2）显然标积 是一个数，且,39,坐标表象,F表象,（3）正交归一性,（4）连续谱的本征态的正交“归一”性，可表为函数形式。,40,Dirac 符号,Hilbert空间
13、的矢量来表示，其符号为|,称为右矢常用本征值或相应的量子数标记在右矢内表征某一特定态。|x；|p；|En；|n；|l,m.矢量|1 与|2 的标积用 表示。与互为共轭复数。正交“归一”，分离谱，连续谱。,第41页,在上式中，可将|k方向上的分量。,它是任意矢量|在|k方向的分量。,3.态矢量在具体表象中的表示,在F表象中(基矢|k)，任意态矢可用来展开:,此式对任何一组完备基矢|k 都是成立的。这个关系式对于表象变换极为有用。,42,在连续谱的情况下，求和变换为积分，例如：,态矢|在坐标x表象中即波函数(x,t)，换言之，(x,t)就是态矢|在x表象中在基矢|x 方向上的投影。,以x|左乘上式
14、两边，有,即在基矢方向上的投影，通常记为(在连续谱情形下):,坐标表象情形：,并称之为坐标空间的波函数。由以上关系，可将|表示为,43,一般地，对于力学量A的连续谱表象，我们有,并称之为A空间的波函数。例如：,分离谱：,具体表象中，两矢量标积：如F表象,连续谱：,44,*,这里还是抽象的算符，未涉及具体表象。在采用具体的表象(如，F表象)之后,可表示如下，利用表象基矢k|左乘上式，得,分别代表算符 L，态矢|和|在F表象中的矩阵表示。,4.算符在具体表象中的表示,算符代表对态矢的一种运算，它把一个态矢变成另一个态矢。例如，矢量|经过算符L运算后，变成:,45,5.表象变换,设F表象的基矢为|k
15、，F表象的基矢为|。态矢在F表象中用=ak 描述，而,是从F表象到 F表象的变换。,证：在F表象中，,由于单位算符在任何表象中都是单位算符，故得证。,46,S为幺正变换，S+S=SS+=I,算符L的矩阵元表示：,两者关系如下,其中L(Ljk)是算符L在F表象中的矩阵，如将L在F表象中矩阵记为L=(L)，则以上关系可表示为,47,（1）坐标表象:,态|在坐标表象中表示为,而|和|的标积：,例子1：动量本征态（本征值p）：,例子2：坐标本征态(本征值x)：,事实上，利用 函数关系式,6.坐标表象和动量表象(一维),正好说明（x-x)正是坐标算符x的本征态（其本征值为x）在坐标表象中的表示式。如脱离
16、具体的表象，则x的本征方程表示为,类似，动量的本征方程可以表示成,48,（2）动量表象,量子态|在动量表象中表成，它与坐标表象中的表示的关系如下:,这正是量子态|在坐标表象中的波函数(x)=与它在动量表象中的波函数(p)=之间的 Fourier变换关系,例如，坐标本征态(本征值x)，在动量表象中表示成,而动量本征态(本征值p)表示成,49,态和力学量的矩阵表示 Dirac 符号,F表象下，分离谱，|k,A表象下，连续谱|A,第50页,态,列矩阵,A空间中的波函数,力学量,动量p在坐标表象中的“矩阵”表示,第51页,坐标x在坐标表象下的表示为,类似地，在动量表象中,第52页,力学量平均值,在坐标表象中,第53页,在动量表象中,第54页,薛定谔方程,在势场V(x)中运动的粒子，薛定谔方程为,求此方程在坐标表象及动量表象中的表示。,坐标表象：x|左乘上式,第55页,动量表象：p|左乘,
