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1、4.5 量子力学的矩阵形式与表象变换,量子力学常用有两种理论形式：,本节内容：,4.5.1 量子态的不同表象，幺正变换。,二者通过表象变换可以等价。薛定谔的波动力学采用的坐标表象； 海森堡当初矩阵力学采用的能量表象。,1、薛定谔的波动力学；,2、海森堡的矩阵力学。,4.5.2 力学量（算符）的矩阵表示。,4.5.3 量子力学的矩阵表示。,4.5.4 力学量的表象变换。,4.5.1 量子态的不同表象，幺正变换。,1、同一矢量A的不同坐标表示及其变换。,同一量子态的不同表象表示及其变换类似于同一矢量A的不同坐标表示及其变换。,A）.取一个坐标系，相当取三个基矢: 三个基矢是正交归一：eiej=ij
2、,B）任一矢量可按基矢ei展开：AA1e1+A2e2+A3e3,矢量可按展开系数即坐标来表示：,其中，系数Ai=(ei A),C）.同一矢量A，取不同的坐标系，其坐标表示是不同的。不同坐标系基矢之间、同一矢量不同坐标表示之间可以变换。这样的三维空间叫位形空间或牛顿空间。,以二维坐标系间变换为例。,设新坐标系相对原坐标系顺时针转过角。则,U是么正矩阵，UU1，即U+U=I。,B称厄米共轭矩阵，定义：,这样变换称么正变换,练习，求证U是么正矩阵。,基矢变换：,同一矢量不同坐标变换：,么正变换小结,2、量子态的表象及其变换,设力学量，本征函数n,满足：由Un的完备性，任何态函数(x)都可以用Un展开
3、，即 (x)n an Un(x).其中 anUn(x)(x)dx.,A）、量子态的表象定义,现把力学量算符的本征函数n看成是某多维坐标系的一套基矢,任何态函数(x)看成一个矢量，叫态矢。展开系数ak就是坐标，排成单列矩阵：,量子力学把选定算符Q与正交归一完备本征函数Un称之为表象。任一态(x)按算符Q的本征函数Un展开系数ak所成的单列矩阵就是(x)所描述的态在表象的表示。,B)、表象与三维空间的类比,1）表象本征函数三维空间坐标系基矢都是正交归一,但表象是多维的，甚至是无限维的。这种由无限或有限维的本征函数作基矢构成的空间叫希尔伯特空间,2）态函数（叫态矢）三维空间的矢量A；,3）态函数在表
4、象单列矩阵三维空间矢量坐标表示；,4）不同表象之间变换（表象变换）坐标系之间变换。,二者变换都是么正变换，包括基矢（本征函数）与展开系数间的变换。,C）表象例子,D）不同表象间变换,设F表象，基矢为k,F表象，基矢为k, a=Sa,基矢变换：S-1， a = a = Sa, 有关矩阵知识(参考周世勋书P250255）,1对角矩阵 Anm=amnm.,2. 转置矩阵,3厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵),运算规则：,4. 厄米矩阵 ，,当A是实矩阵时，厄米矩阵是对称矩阵。,5. 么正矩阵， 或 ，称A为么正矩阵。,本征方程 ： AX=XA是nn方阵，X是n行的单列矩阵，称本征矢，是常数，称本征值。,
5、7.矩阵的本征方程与求解,1).矩阵A本征方程、本征矢与本征值,2). 矩阵A的本征方程求解,由 AX=X, 得 （A-I）X=0 -（1）,要有非零解，其系数矩阵行列式必须为0，即 ，称为久期方程。具体形式为：,这是的n次方程, 解出的n个根i(会有重根,这是简并情况),就是n个本征值.将n个本征值一一代入本征方程(1),可以解出n个对应的本征矢Xi(i=1,2,n).,8.厄米矩阵的本征矢特点,B. 不同本征值的本征矢是正交的.当ij时,则,A. 本征值是实数；,(列矩阵的本征矢正交定义: .),（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性组合,变为正交的k个本征矢）.,C. 厄米矩阵的本
6、征矢的正交归一完备。,.本征矢的归一化:,.未归一的归一化系数C:,.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开,(练习1）,练习2，求x=的本征矢与本征值。,9.矩阵迹（spur or trace）,定义：spA= ， （或写成trA）.,公式：sp(AB)=sp(BA).,厄米矩阵重要性： 厄米算符厄米矩阵，厄米算符的本征函数厄米矩阵的本征矢。,量子力学的所有公式都有对应的矩阵公式，求厄米算符的本征函数与本征值等价于求厄米矩阵的本征矢与本征值。,4.5.2 力学量（算符）的矩阵表示。,1、取一个表象Q，其基矢为Un. 算符 在Q表象的矩阵表示定义为：,例1波函数公式 在Q表象里的矩阵表示为： B
7、=FA,具体形式为,是波函数在Q表象的矩阵表示，,是波函数在Q表象的矩阵表示。,算符与算符矩阵的对应,1）若是厄米算符，则对应矩阵F是厄米矩阵，即F+=F,2）若的矩阵分别为A，B，则的矩阵=AB。,2、算符、本征矢在自身表象的矩阵表示特点,. 即在自身Q表象的表示。,分立谱：，,Q是对角矩阵 ，对角元是本征值qn 。,连续谱：,Q也是对角矩阵，但对角元是无穷大。,练习4：求Lx算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。（答案见周世勋书P130习题4.5）,答案：,练习3：求Lz算符在（L2,Lz)的共同表象：(Y11,Y10,Y1-1)的矩阵。,. 本征矢在自身Q表
8、象的表示。,分立谱: Un(x)=mamUm(x), am=U*m(x)Un(x)dx=mn,写成列矩阵形式:,连续谱：,在自身表象下，连续谱本征函数就是函数。例如，,坐标的本征函数在坐标表象里表示为：。,动量的本征函数在动量表象里表示为：。,3、算符在坐标、动量表象的矩阵表示,1）坐标表象，本征矢为,小结论：算符在坐标表象的矩阵表示是函数形式。在行列下标对应一致的前提下，则此函数前面那部分就是此算符在坐标表象的算符表示。,例子见书P129练习1。,2）动量表象，本征矢为,小结论：算符在动量表象的矩阵表示也是函数形式。在行列下标对应一致的前提下，则此函数前面那部分就是此算符在动量表象的算符表示
9、。具体讲：,a)在动量表象的算符表示分别为：,或在动量表象的算符表示为：,b)动量算符在动量表象的算符表示为：,c)其他算符 在动量表象的算符表示为：,练习5: 在动量表象, 的本征函数是什么?,坐标表象、动量表象小结,4.5.3 量子力学的矩阵表示。,介绍三个公式:薛定谔方程、平均值公式、本征方程的矩阵表示.,一. 薛定谔方程的矩阵表示,已知态函数,力学量L的平均值公式为:,二. 平均值公式的矩阵表示,取F表象,其本征矢为：n,三.本征方程的矩阵表示,变换的规则:只要将波函数变为列矩阵,算符变为方矩阵,就可以将波函数与算符的量子力学公式变为矩阵表示的公式.,本征方程求解，二个步骤：,1、解乆
10、期方程，得本征值。,2、将本征值一一代入本征方程，解出相应的本征矢。,四.标积的矩阵表示,设态矢量，在Q表象的表示分别为：,4.5.4 力学量的表象变换。,设二个表象A，基矢：=(1，2，).B，基矢：=(1, 2, ).,1. 表象AB的基矢间变换与变换矩阵S,(1, 2, ) = (1，2，)S-1。,S+=S-1，么正矩阵。,2.同一态矢从AB表象的变换,设态 在A表象： ，在B表象：,b=Sa,3. 同一算符不同表象的矩阵之间变换,算符 在A表象的矩阵：,在B表象的矩阵：,在A表象矩阵F与在B表象矩阵F的变换为：,4.从AB表象的变换矩阵S的一个简单求法,已知A表象本征矢（a1,a2,
11、）在自身表象中矩阵为：,又设 在A表象的矩阵为B(B非对角)。求解B本征方程，得其本征矢为：(k1,k2,).,这样，在A表象，有 的基矢（a1,a2, ）与 的基矢（k1,k2,），,它们的变换关系应为： （k1,k2,）=（a1,a2,）S-1,因为（a1,a2, ）是一个单位矩阵， 所以， S-1=（k1k2）。,简言之，若B是A表象的一个矩阵，那么由B的本征方程解出的本征矢所构成的矩阵就是从AB表象的变换矩阵的逆S-1。,5.么正变换的特点,1么正变换不改变算符的本征值,2么正变换不改变算符矩阵的迹。,3么正变换不改变标积。,作业1，分别写出LZ在坐标表象与动量矩阵元。 。,作业2，习题418,作业3，在某Q表象，,1、求H本征矢与本征值；2、求在自身表象中的H；3、求从Q表象H表象的变换矩阵S；4、验证H SHS+。,作业3答案：,
