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1、第五章,分析力学,拉格朗日,哈密顿,导读,?,动能和势能的泰勒展开,?,线性齐次方程的求解,?,简正频率,?,简正坐标,5.4,小振动,1,多自由度力学体系的小振动,一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的,广义坐标均等于零,.,如果力学体系自平衡位置发生微小偏,移,力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数,),(,2,1,2,1,1,0,2,1,0,0,q,O,q,q,q,q,V,q,q,V,V,V,s,s,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,利用保守体系的平衡方
2、程,略去二级以上的高级项并,令,V,0,=0,就得到,?,?,?,?,?,q,q,c,V,s,?,?,?,1,2,1,在稳定约束时,动能,T,只是速度的二次齐次函数,即,式中系数,a,?,是广义坐标,q,?,的显函数,.,把,a,?,?,在力学体系,平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到,由于,q,?,值很小,因此展开式中只保留头一项,动能,T,变为,?,?,?,?,?,q,q,a,T,s,?,?,?,?,?,1,2,1,?,?,0,1,0,(,),s,q,O,q,q,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,q,a,
3、T,s,?,?,?,?,?,1,2,1,现在式中系数,a,?,?,是不变的,.,c,?,?,称为恢复系数或准弹,性系数,而,a,?,?,则称为惯性系数,.,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,q,c,V,s,1,2,1,所以,0,d,d,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,T,q,a,q,T,t,q,a,q,T,s,s,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,c,q,V,s,?,?,?,?,?,1,把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体,系在平衡位置附近的动力学方
4、程,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,s,q,c,q,a,1,2,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,这是线性齐次常微分方程组,它的解,t,e,A,q,?,?,?,?,式中,A,?,及,?,是常数,.,把这表示式代回,得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,s,c,a,A,1,2,2,1,0,?,?,?,?,?,?,?,从行列式,0,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2,22,2,22,21,2,21,1,2,1,12,2,12,11,2,11,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,ss,ss,s,s,s,s,s,s,s,s,c,a,c,a,c,a,c,a,c,a,c,a
5、,c,a,c,a,c,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,求出,2,s,个,?,的本征值,?,l,(,l,1,2,2,s,).,然后求出一组,A,?,(,l,),方程式的解即是,),2,1,(,2,1,),(,s,e,A,q,s,l,t,l,l,?,?,?,?,?,?,?,?,?,为了物体在平衡位置附近振动,则力学体系的势能,V,0,(,即平衡位置,V,0,是极小值,),方程所有的根,?,l,为纯虚数,.,既然,?,l,是纯虚数,因此可令,l,l,i,?,?,?,?,这样,解可以写为,?,?,?,?,?,?,?,s,l,t,i,l,t
6、,i,l,l,l,e,A,e,A,q,1,),(,),(,?,?,?,?,?,实数,解为,?,?,?,?,?,?,s,l,l,l,l,l,t,b,t,a,q,1,),(,),(,sin,cos,?,?,?,?,?,实际上,我们把,?,的某一本征值,?,l,代入原方程后,并不能,得出,s,个互相独立的常数,A,?,(,?,1,2,s,),而只能得出它,们的比,因为此时系数行列式等于零,.,如果行列式的,(,s,-1),阶代数余子式中有一个不等于零,则在一组解,A,?,中只有,一个数是可以任意取的,.,如果设此常数为,A,(,l,),则,A,?,(,l,),可写,为,?,?,2,1,),(,),(
7、,l,l,l,A,A,?,?,?,?,?,即,?,?,?,?,?,?,2,1,),(,),(,2,12,),(,),(,2,2,11,),(,),(,1,l,s,l,l,s,l,l,l,l,l,l,A,A,A,A,A,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,在方程的解中共有,2,s,2,个常数,因为每个,?,l,对应一个任意,常数,而共有,2,s,个,?,l,所以,2,s,2,个常数只有,2,s,个是独立的,.,这,2,s,个常数,可由起始条件决定,即,t,0,时的初始位置和初,始速度应为已知,.,这样，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,l,t,i,l,l,
8、t,i,l,l,l,l,e,A,e,A,q,1,2,),(,2,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,l,l,l,l,l,l,l,t,b,t,a,q,1,2,),(,2,),(,sin,cos,?,?,?,?,?,?,?,实数解：,这里的,?,l,叫做简正频率,它的数目共有,s,个,和力学体系,的自由度数相等,.,多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势,能和动能中都有交叉项,(,相互作用,).,消除之,可以简化问,题,.,因为动能总是正定的,根据线性代数理论,总能找到线,性变换,?,?,?,s,l,l,l,g,q,1,?,?,?,
9、使得,T,和,V,同时变成正则形式,即没有交叉项,.,变换后,2,简正坐标,?,?,?,?,?,?,s,l,l,l,s,l,l,l,c,V,a,T,1,2,0,1,2,0,2,1,2,1,?,?,?,相应的拉氏方程为,0,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,l,l,l,V,T,T,t,?,?,?,?,所以,),2,1,(,0,0,0,s,l,c,a,l,l,l,l,?,?,?,?,?,?,?,?,可得,解,?,?,?,?,?,?,),2,1,(,cos,sin,cos,s,l,t,C,t,B,t,A,l,l,l,l,l,l,l,l,?,?,?,?,?,?
10、,?,?,?,?,?,式中,0,0,l,l,l,a,c,?,?,坐标,?,l,叫做简正坐标,?,l,仍为简正频率,.,每一个简正坐标都做具有自己固有频率,?,l,的谐振动,而广义坐标,作为简正坐标的线性函数,将是,s,个谐,振叠加而成的复杂运动,.,例,1,耦合摆,两相同的单摆,长为,a,摆锤的质量为,m,用倔,强系数为,k,且其自然长度等于两摆悬点之间距离的无重弹,簧相耦合,.,略去阻尼作用,试求此体系的运动,.,解,:,两个摆在同一平面内振动,取振动,平面为,xy,平面,并且令两个摆锤的坐,标为,(,x,1,y,1,),及,(,x,2,y,2,),则由于约束关系,(,两摆的摆长一定,),四
11、个坐标中只有,两个是独立的,.,选,x,1,及,x,2,作为两个广,义坐标,而,x,1,及,x,2,等于零时相当于耦,合摆的平衡状态,.,y,2,y,1,x,1,x,2,a,a,?,?,耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆锤重力势能两,者之和,即,?,?,2,1,2,2,1,2,1,mgy,mgy,x,x,k,V,?,?,?,?,耦合摆的动能为,?,?,?,?,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,y,x,m,y,x,m,T,?,?,?,?,?,?,?,?,因为,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,1,x,x,a,x,y,x,a,y,a,x,x,
12、a,x,y,x,a,y,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,故,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,2,2,1,2,1,x,a,a,mg,x,a,a,mg,x,x,k,V,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,x,x,a,x,m,x,x,a,x,m,T,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,为了算出在平衡位置附近的势能及动能,按泰勒级数,展开,可得,a,mg,k,x,V,c,k,x,x,V
13、,c,a,mg,k,x,V,c,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,2,2,2,22,0,2,1,2,12,0,2,1,2,11,2,1,1,?,?,?,?,m,a,m,a,?,?,0,22,0,11,又,故在平衡位置附近,V,与,T,简化为,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,x,a,mg,k,x,kx,x,a,mg,k,V,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,1,2,1,x,x,m,T
14、,?,?,?,?,运用拉氏方程,得动力学方程,1,2,1,1,),(,x,a,mg,x,x,k,x,m,?,?,?,?,?,?,2,2,1,2,),(,x,a,mg,x,x,k,x,m,?,?,?,?,?,这是二阶常系数线性齐次方程组,具有形式解,t,t,e,A,x,e,A,x,?,?,2,2,1,1,?,?,所以,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,2,1,2,2,1,k,a,mg,m,A,k,A,k,A,k,a,mg,m,A,?,?,此方程组有非零解的充要条件为,0,2,2,?,?,?,?,?,?,?,
15、k,a,mg,m,k,k,k,a,mg,m,由此得到,4,个本征值如下,:,这样得到通解,2,2,1,1,2,?,?,?,?,i,m,k,a,g,i,i,a,g,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,2,2,1,1,),2,(,2,),2,(,2,),1,(,2,),1,(,2,2,),2,(,1,),2,(,1,),1,(,1,),1,(,1,1,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,e,A,e,A,e,A,e,A,x,e,A,e,A,e,A,e,A,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?
16、,把,?,1,?,2,代入行列式,得到,?,?,?,?,?,?,?,?,),1,(,1,2,1,1,),1,(,1,2,1,1,12,11,1,:,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,A,A,A,k,k,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),2,(,2,2,2,1,),1,(,2,2,2,1,12,11,2,:,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,A,A,A,k,k,?,2,2,1,1,2,2,1,1,),2,(,),2,(,),1,(,),1,(,2,),2,(,),2,(,),1,(,),1,(,1,?,?,?,?,?,?,?,
17、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,e,A,e,A,e,A,e,A,x,e,A,e,A,e,A,e,A,x,?,?,?,?,?,?,?,?,4,个任意常数由初始条件决定,.,如果令,则,?,1,?,2,将以单一的,频率,?,1,?,2,振动,因此,?,1,?,2,就是简正坐标,.,?,?,?,?,2,1,2,2,1,1,2,1,2,1,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,例,2,线对称三原子分子的振动,设两个质量为,m,的原子,对称地位于质量为,M,的原子两侧,三者皆处于一直线上,其间的相互作用可近似地
18、认为是准弹性的,即相当于用,弹性系数为,k,的两个相同弹簧把它们联结起来,.,如平衡时,M,与每一,m,间的距离均等于,b,求三者沿联线振动时的简,正频率,.,解,:,由图知,若以水平轴,x,上某处,O,为原点,.,系统的势能为,?,?,?,?,b,x,x,k,b,x,x,k,V,2,2,3,2,1,2,2,2,?,?,?,?,?,?,而,?,?,x,M,x,x,m,T,2,2,2,3,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,m,m,M,令,b,x,q,b,x,q,x,q,2,3,3,2,2,1,1,?,?,?,?,?,则,?,?,?,?,q,q,k,q,q,k,V,2,2,3,2,1
19、,2,2,2,?,?,?,?,?,?,q,M,q,q,m,T,2,2,2,3,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,?,本问题是三个自由度,故,q,1,q,2,q,3,就是广义坐标,由拉氏,方程得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,2,0,3,2,3,3,2,1,2,2,1,1,kq,kq,q,m,kq,kq,kq,q,M,kq,kq,q,m,?,?,?,?,?,?,设解的形式为,),sin(,?,?,?,?,?,?,t,c,q,M,m,m,1,x,2,x,3,x,b,b,带入动力学方程组,得,0,),(,0,0,),2,(,0,0,),(,2,3,2,
20、3,2,2,1,2,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,k,c,k,c,k,c,M,k,c,k,c,k,c,m,k,c,有非零解的条件,0,0,2,0,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,m,k,k,k,M,k,k,k,m,k,于是,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,M,m,m,k,m,k,2,1,0,3,2,1,?,?,?,小,结,0,?,?,?,?,?,?,?,q,V,Q,?,?,?,?,?,q,q,a,T,s,?,?,?,?,?,1,2,1,c,?,?,为恢复系数或准弹性系数,而,a,?,?,惯性系数,.,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,q,q,c,V,s,1,2,1,保守力系,:,?,?,?,?,?,?,?,?,?,s,s,q,c,q,a,1,2,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,运动微分方程,简正频率,简正坐标,
