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1、123空间中的垂直关系,直线与平面垂直,复习回顾：,3直线与平面有几种位置关系？,a,A,B,b,1平面内过一点与一条直线垂直的直线有几条？,2空间中有几种平行关系？我们是按什么顺序研究的？,在平面内，如果两条直线互相垂直，则他们一定相交。,a,b,c,在空间中，bc，如果固定c，让b平移到空间中a的位置，此时a与c为异面直线，我们同样称它们互相垂直。,1直线与直线垂直的定义,如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。,空间中的垂直包括相交垂直和异面垂直；,桥柱与水面是给我们以怎样的位置关系？,桥柱与水面垂直,大漠孤烟直,思考,直线与平面垂直如何定义
2、？,提示：我们在研究线面平行的位置关系时是通过线线平行来研究的。,即：线线平行,线面平行,能否将线面垂直问题转化为线线垂直问题呢？,实质上将空间问题转化为平面问题,形成概念：,如果一条直线（AB）和一个平面（）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直。,平面 的垂线,垂足,A,B,O,2直线与平面垂直定义,点A到 的距离为AO,m,a,O,如图：如果，垂足为O，直线m是平面 内不过O的任意一条直线，那么和m之间具有怎样的位置关系呢？,lm，因为在 内过点O，可引直线ma，根据空间直线与平面垂直的定义，由la，可得lm,O,m,3直线与平面垂直
3、的性质1,结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任意一条直线垂直。,文字语言,图形语言,符号语言,如何画直线和平面垂直？,O,通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。,记作：l,练习：判断下列说法是否正确。,如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直。,如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面互相垂直。,如果一条直线垂直于一个平面内的一条、两条、无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。,如果一条直线和一个平面互相垂直，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直。,A,B,C,D,动动手,如图，准备一块三角形的纸
4、片，做一个试验：,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直,折纸问题：,线不在多，相交就灵,当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直,如图，由折痕，翻折之后垂直关系不变，由此，你能得到什么结论？,4直线与平面垂直的判定定理,判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。图形语言：符号语言：,5判定定理应用：,问题：如果一条直线垂直于一个平面内的：（1）三角形的两条边；（2）梯形的两条边；（3）圆的两条直径。试
5、问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由。,本节小结,1知识,2思想方法,（1）空间中两条直线互相垂直的定义,（2）直线和平面垂直的定义,（3）直线和平面垂直的性质定理,（4）直线和平面垂直的判定定理,1 空间问题与平面问题之间的相互转化,（转化）,2 无限转化为有限,推论1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,证明：,所以 ma，mb,（空间两直线垂直的定义）,所以 m,（线面垂直判定定理）,已知：l，l m.求证：m.,所以 a，b,因为 l,6直线与平面垂直的判定2,设a，b是 内的任意两条相交直线,又因为 m,思考:如果直线a，b都垂直于同一条直线
6、，那么直线a，b的位置关系如何？,思考:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？,问题：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，指出与底面ABCD垂直的直线，你能发现什么结论？,推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线互相平行。,7直线与平面垂直的性质2,思考:如果直线a，b都垂直于平面，由观察可知a/b,从理论上如何证明这个结论？,已知：直线平面，直线m平面，垂足分别为A，B，求证：/m,证明：假设直线m不与直线平行 过m与 的交点B，作直线 m,则 m（推论1）,因为 直线m和m都垂直于平面,所以 m和m重合,所以 直线m和m都垂直于交线a,即 m,因为 同一平
7、面内，过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条,设m和m确定的平面为,与 的交线为a,a,例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。,已知：平面和一点求证：过点与垂直的直线只有一条。,证明：不论点P在外或内，设PA，垂足为A（或P）。如果过点P，除PA 外，还有一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且=a，于是在平面 内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的。所以过点P与垂直的直线只有一条。,8例题,例2、有一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的端点固定在地面的两点上（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗脚距离为6m,那么旗杆就垂直地面，为什么？,
8、在ABC和ABD中，,解：,因为 AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m，,所以,所以 ABC=ABD=90,即 ABBC，ABBD,又知 B,C，D三点不共线，,因此 AB平面BCD，即旗杆和地面垂直,例3已知：直线平面，垂足为A，直线A 求证：A在内。,所以 AM,所以 A一定在内,因为 l，AM,证明：设AP与l确定的平面为.假设AP不在内，则设与 相交于直线AM.,又已知 APl，于是在平面 内，过点A有两条直线垂直于l.矛盾！,即:一条直线垂直于一个平面，过垂足垂直于这条直线的直线必在这个平面内。,练习题：,1、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和
9、平面的位置关系是（）,A平行 B相交 C平行或相交 D 无法确定,C,2、在空间，下列命题,（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；,（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；,（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；,（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。,正确的是（）,A 134 B 14 C 1 D四个命题都正确。,B,4 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H为垂足，求证：B1H平面AD1C,证明：连接B1D1，B1BAB，B1BBC，B1B平面ABCD，B1BAC，,又ACBD，AC平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D，ACB1H，又B
10、1HD1O，B1H平面AD1C,6 在三棱锥V-ABC中,VC底面ABC，AC=BC，D是AB的中点，求证：AB平面VCD。,5、如图，点 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且A=C，B=D 求证：O平面ABCD,7、AO 所在平面，A C是O的直径，B是圆周上一点，则图中有几个直角三角形由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？,1如图，正方体 中 证明：,2证明：,课后思考：,2如图，已知矩形ABCD，过A作A平面AC，再过A作AEB于点E，过E作EFC于点F1求证：AFC；2若平面AEF交D于点G，求证：AGD,3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心求证：A1O平面GBD【分析】要证明线面垂直，可在平面GBD内找两条相交直线与A1O垂直,
