数学建模优秀论文眼科病床的合理安排的数学模型.doc

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1、眼科病床的合理安排的数学模型摘要医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，怎样减少排队等待时间是病人关心和医院关注的问题，而眼科病床也需要作出合理安排。问题一定义了评价指数，指数1：手术前最短等待时间与最短准备时间的差与最短准备时间的比值，指数2：队长与手术后观察时间的比值，以评价该问题的病床安排模型的优劣。在问题二的解决过程中，需对四种疾病病人分类进行处理。针对各类病人的门诊、住院、手术和恢复时间的差异和病床安排方法对它们的影响，将时间统一成星期一至七来处理。由于手术时间不变且和星期紧密相关，同星期的同类疾病病人就诊与出院人数应服从一定分布，并基于题中数据给出各分布的参数。同时，由手术安排的时间限

2、制和各类疾病的术后恢复时间，给出病床安排方法的权重因子。最终，通过设定初始时间，运用计算机随机模拟的方法，得到安排病床前各类病人的等待人数，并求出其权重因子。依病人总权重高低，安排住院，以此保证安排的合理性。对于问题三，根据历史数据，统计出当时住院病人、等待住院病人的人数和等待入住的时间，再通过人工神经网络拟合数据，得出病人门诊时大致入住的时间区间。问题四主要利用了问题二求解过程中的权重-时间关系。因手术安排的时间限制和各类疾病的术后恢复时间的不同，一周内各星期为各类病人安排床位权重会存在差异。因此，问题四的处理方法在于：将不同调整方案下的各类病人一周内随时间变化的权重加和，找出其中权重随时间

3、波动相对较小的方案，即为最优的手术时间安排方案。问题五将每种类型的病人得到的床位数作为服务窗口的个数,病人到达服从Possion流过程，病人的住院时间服从负指数分布，此系统属于排队论中的M/M/c/系统。为了满足所有病人在系统内的平均逗留时间最短，运用整型规划方法，求得白内障病人（单眼手术）、白内障病人（双眼手术）、外伤病人、青光眼病人、视网膜疾病病人分到的床位数之比为10:15:9:12:33，所有病人在系统内的平均逗留时间为9.0037天。关键词 评价指数 计算机随机模拟 人工神经网络 权重波动 排队论 整型规划问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，但怎样减少排队等待时间是病人关心和

4、医院关注的问题。因此建立模型安排床位很有必要，而模型的优劣则需要评价指标体系来评价。根据所给出的数据建立考虑多方面因素的合理分配模型，并通过给出所需数据确定出与之对应的分配方案。最后利用问题一中给出的评价体系评价该模型的优劣。作为病人自然希望尽早知道自己大约何时能住院，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 假设周六，周日不再进行针对青光眼和视网膜疾病病人的手术，给出比周一，周三更好的白内障手术的安排方案。在所有病人等待入院时间与住院时间之和的平均值最小的目标下，求出各种类型眼病的人在79张病床中所能分配到的大致比例。问题一一、问题假设1、 忽略所有手

5、续的办理时间；2、除外伤外的各类病人的比例大致不变；3、周一和周三除白内障和急症外，不安排其它疾病手术；4、手术前的等待时间只要在适合的范围内都是等效的；5、不存在病人可以做手术却出现手术条件不允许的情况。二、问题分析 由医院的运行机制可知，该眼疾门诊在对待不同类型疾病的手术问题上并不是一致的，因此可以先将病人按眼疾类型分为五类，其中白内障分为单眼和双眼两类。据题中信息，各类病人等待住院的时间是一致的，对于特定类型病人的平均术后恢复时间是统一的，而不同的是术前等待时间，即住院后等待做手术的时间。这种情况下可以不考虑外伤的情况。根据假设“除外伤外的各类病人的比例大致不变”、医院的FCFS规则以及

6、题中提供的数据可知每天安排住院的各类病人的比例。由医院的运行机制得出其运行是以周为周期。因此对于一周中的某一天，根据医院的手术安排规则可以求出该天各类住院病人的最短术前等待时间，再将一周七天得到的最短术前等待时间加和。定义评价指数1：手术前最短等待时间与最短准备时间的差与最短准备时间的比值，从而可以据其评价该问题的病床安排模型的优劣。考虑到减少术前等待时间可能在某些天会使某类病人的队长过长，因此定义评价指数2()：队长与手术后观察时间（白内障双眼的病人指第一次手术到出院的时间）的比值。分别求出四类病人（外伤除外）的，在求出四类病人的标准差，如果太大，则说明该模型不合理，反之则合理。三、模型建立

7、根据题中提供的数据将病人按所患疾病分为五类，再求出各类病人占总病人数的比例（i=1,25）。即 (1)其中表示数据中各类病人的总人数，表示数据中所有病人的总人数。由分析可知即为每天进入住院系统的各类病人的比例。对于某一周，在天，各类病人最短术前等待总时间为 (2)其中表示所处一周中的某一天，且，表示距天的最近手术时间，表示该天进入住院系统的总病人数。设各类疾病规定术前准备时间为，所以各类病人规定术前准备总时间为 (3)所以评价指数1为 (4)由定义可知评价指数2（）为 (5)其中表示各类病人的等待队长，表示术后观察时间。对于一个模型，可以求出每一天进入住院系统的各类病人的比例和等待对长，进而求

8、出评价指数和评价指数的标准差。只有当且相对较小时，该模型相对较优，出现其他情况则认为该模型相对较劣。四、模型求解 1.统计出所给数据的总病人数，再分别统计出各类病人的总人数，根据公式(1)求出各类病人占总病人数的比例，结果如表1所示表1 各类病人占总人数的比例疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病总病人总人数10013363170466比例21.46%28.54%13.52%36.48%100.00%2.以白内障病人为例，公式(2)，且。由于每一天的 是不确定的，不能直接求解，但可求。因此一周中的每一天的值分别为：周一，=0.4292周二，=0.2146周三，=1.0730周四，=0.858

9、4周五，=0.6438周六，=0.4292周日，=0.2146同理，其它类型病人的可以求出，其结果如表2所示表2 各类病人值时间周一周二周三周四周五周六周日白内障（双眼）1.99781.71241.4271.14160.85620.57080.2854青光眼0.40560.27040.27040.27040.27040.40560.2704视网膜疾病1.09440.72960.72960.72960.72961.09440.72963.根据题中信息，可以得出各类病人的最短术前等待时间，情况如表3所示表3 最短术前准备时间疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病时间/天1122同样只求的值，根据

10、公式(3)可以得出各类病人的值，结果见表4表4 各类病人的值疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病数值0.214590.2854077250.270390.729613734.根据公式(4)，可以得出 5.对于特定的模型，首先根据公式(5)求出，然后求出的标准差。6.对于给定的一个病床安排模型，只要知道一周中每一天入住的各类病人的比例以及等待的队长，就可以根据模型建立中的公式求出评价指数1和评价指数2的标准差。将得出的评价指数1与步骤4中得出的参考数值比较并分析标准差的大小，当模型参数小于参考数值且标准差较小时认为该模型较优，反之认为该模型较劣，应该做改进。五、模型评价该评价体系考虑的是术前

11、等待时间与术前准备时间的关系及等待队长与术后观察时间的比值，在一定程度上可以很好的评价模型中的病床利用率。但是整个系统中影响病床利用率和等待时间的因素不仅仅于此。所以，该系统只能在一定程度上评价模型的优劣，如果要全面的评价模型每个方面的优劣则需要更加全面的评价体系。问题二一、问题假设1、每周同一星期各类病人的就诊与出院人数服从正态分布。2、计算机随机模拟方法可在就诊，出院人数上作为实际情况的估计。3、同类疾病不同病人的术后恢复时间差别很小。4、白内障单眼病人与白内障双眼病人属不同类。5、青光眼与视网膜疾病病人在手术时间安排上无差异，可作为同类考虑。6、在安排白内障手术的时间，不做除外伤的其他手

12、术。7、当天出院的病人的床位直到第二天才可使用。二、问题分析由于五类病人在就诊人数、手术时间、术前准备时间、术后恢复时间和出院人数等方面存在明显差异，故将其分别加以考虑。根据同类病人术后恢复时间差别很小的假设，就诊与出院人数同病人的手术安排紧密相关；而各类疾病手术时间为每周内固定的星期，因此将时间统一为星期可以消除因手术安排时间的限制所产生的人数概率分布难以把握的特点。在此基础上，认为人数服从正态分布是合理的。在获得了就诊与出院人数概率分布基础上，先不考虑每天的外伤病人，利用计算机随机模拟出某天的等待人数和出院人数信息，将其代入病床安排模型，即可给出下一天的病床安排草案。为了建立合理的病床安排

13、模型，以下因素的影响十分重要：1.前一天各类病人的等待人数；2.手术时间的限制；3.不同疾病术后恢复时间。综合考虑上述影响因素，试引入各因素的权重因子，相乘得总权重，并以其分配除外伤病人的出院人数，即得到病床安排草案。基于外伤病人日就诊和出院人数的强随机性，由此前得到的人数概率分布信息做出95%置信区间的就诊与出院人数差，再按总权重比例修正病床安排草案，得到最终病床安排方案。该模型类似于随机存储模型。由问题二中的手术安排限制因素，可得到其随一周内星期变化的权重-时间函数。该函数为针对某类病人被安排入院倾向的时间函数，即权重在该时间较大，病人在相应时间的入院倾向也较大。因而将各类病人的权重函数加

14、和，得到一周内各星期的入院权重。对于手术安排方案，入院权重随时间波动越小，每天被安排入院的病人数及与之密切相关的出院人数也越稳定，最终将趋近出入平衡。这正是病床安排所希望达到的理想情况，因此只要找出手术安排方案中权重随时间波动相对较小的方案，即达到目的。由于可供选择的方案较少，此处采用穷举法。三、模型建立与求解图1 床位安排过程示意图病床安排草案模型：其中： 表示与某类病人有关：i=1，白内障单眼病人；i=2，白内障双眼病人；i=3，青光眼病人；i=4，视网膜疾病病人； 表示星期：1，星期一；2，星期二；3，星期三；4，星期四；5，星期五；6，星期六；7，星期日； 为总出院人数，即空床数； 为

15、安排给白内障单眼病人的空床数； 为安排给白内障双眼病人的空床数； 为安排给青光眼病人的空床数； 为安排给视网膜疾病病人的空床数； 为就诊的白内障单眼病人数； 为就诊的白内障双眼病人数； 为就诊的青光眼病人数； 为就诊的视网膜疾病病人数； 为对于某类病人的总权重因子； 为不同类病人手术时间的影响权重因子； 为不同疾病术后恢复时间的影响权重； 为前一天各类病人的等待人数的影响权重；根据题中所涉及的数据，将时间统一为星期后再按照正态分布的假设，使用0.05的显著水平，在MATLAB下拟合，得到各类病人（除外伤）就诊与出院人数的正态分布参数：表5门诊人数统计分布表门诊人数统计分布表星期一星期二星期三m

16、iusigmamiusigmamiusigma白内障（单）1.85711.77282.14290.69012.14291.3452白内障（双）2.14291.2151.42861.51192.42861.9024青光眼0.66670.51640.66670.81650.33330.5164视网膜疾病2.66671.6332.33332.33813.83331.7224星期四星期五星期六星期日miusigmamiusigmamiusigmamiusigma1.14291.34520.83330.75280.83330.408210.89442.57141.51193.16672.13720.89

17、441.83330.75281.51.37841.20.83670.80.8367113.33331.86192.82.04942.21.64322.20.8367表6出院人数统计分布表出院人数统计分布表星期一星期二星期三miusigmamiusigmamiusigma白内障（单）000031.5275白内障（双）000000青光眼10.632511.673310.8944视网膜疾病2.51.64321.83331.1692.83332.0412星期四星期五星期六星期日miusigmamiusigmamiusigmamiusigma4.42861.90241.66671.211111.5492

18、0.66671.0328002.66671.6338.83333.25062.16672.1370.83330.98320.80.83671.62.30220.80.83671.16671.1694.62.8812.41.14023.21.4832由正态分布的线性特点，即 可得总的出院人数正态分布参数：表7 出院总人数统计分布表出院总人数统计分布表星期一星期二星期三miusigmamiusigmamiusigma总计3.51.76072.83332.04126.83332.7018星期四星期五星期六星期日miusigmamiusigmamiusigmamiusigma6.42862.43989

19、.73343.624013.83334.42346.83342.9212 表示不同类病人手术时间的影响权重因子，其可由随星期变化的权重-时间函数得到；如下图：图2白内障单眼病人随星期变化的权重-时间函数图具体的过程为：由题中可知白内障单眼病人的手术时间仅为周一与周三，且术前准备时间为1-2天。因此为节省医院空床数，该类病人最好将其安排在周六、周日，周一、周二入院，而周六、周一的术前准备时间为2天，周日、周二的术前准备时间为1天。为使术前准备时间尽量少，尽量节省医院空床数，周日、周二的权重应最大，且为周六、周一的2倍。周五、周四、周三因距最近的手术时间依次增加且均超过2天，故其权重应线性递减。再

20、由权重的加和为1的性质可确定出一周内各星期的权重。图3 白内障双眼病人随星期变化的权重-时间函数图由假设“青光眼与视网膜疾病病人在手术时间安排上无差异，可作为同类考虑”如下图所示：图4 青光眼病人和视网膜疾病病人随星期变化的权重-时间函数图得到结果：表8 手术安排影响权重表手术安排影响权重表星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日白内障（单）2/154/151/451/151/92/154/15白内障（双）1/553/551/117/559/552/114/11青光眼及视网膜疾病2/251/51/51/53/252/253/25 表示不同疾病术后恢复时间的影响权重；不同疾病需要的术后恢复时间

21、越长表明该种病症占用医院的床位时间也较长，如何安排这类疾病病人将是节省医院空床的关键，故其权重也应越大。基于同类疾病不同病人的术后恢复时间差别很小的假设，将题中给出数据得到不同病人的术后恢复时间的均值向量，归一化后得其影响权重：表9不同病人术后恢复时间权重表不同病人术后恢复时间权重表白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病术后恢复时间均值2.902784.963418.0769210.16832权重0.111168940.1900857210.3093250.3894203 表示前一天各类病人的等待人数的影响权重；其主要与各类病人的等待人数有关，等待人数越多的疾病，表明其情况越需要做出及时的处

22、理以缓解等待人数的进一步增多，其权重也应越大。由于该权重是实时的，因而只能在MATLAB下编程取得，该求解函数的m文件名为“weight2.m”（附录一）。至此得到病床安排草案，下面将进一步得到修正后的最终安排方案：草案修正模型：修正后最终安排方案：其中： 为就诊的外伤病人人数； 为出院的外伤病人人数； 为出院与就诊的外伤病人人数的差值； 为对安排草案的修正值； 为对于某类病人的总权重因子； 为不同类病人手术时间的影响权重因子； 为不同疾病术后恢复时间的影响权重； 为前一天各类病人的等待人数的影响权重；根据题中所涉及的数据和外伤病人人数的强随机性，将时间统一为星期后按照正态分布的假设，使用0.

23、05的显著水平，在MATLAB下拟合，得到外伤病人出院与就诊人数差的正态分布参数：表10 外伤病人日进出人数差统计分布表外伤病人日进出人数差统计分布表星期一星期二星期三miusigmamiusigmamiusigma01.19520.3751.187701.4142星期四星期五星期六星期日miusigmamiusigmamiusigmamiusigma-0.3751.1877-0.71431.79950.750.7071-0.6251.5059根据以上2个模型，使用计算机随机模拟方法在MATLAB下建立主函数“arrange.m”，并调用“in.m”、“out.m”、“inverse.m”即L

24、INGO整数优化程序“zero.lg4”，其中间过程的结果暂存于“temp.xls”中。（以上函数见附录二）随机模拟7周的结果见附录三四、模型评价由所得结果中第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排的各类病人的比例，运用问题一中的公式(2)、(3)、(4)可以求出评价指数的值，比较和的大小。运行程序的同时可以得到各类病人的等待队长，再根据题中的数据可以得出各类病人的术后观察时间。从而可以求出各类病人的值，最后求的标准差。最后根据和的大小和的大小对本模型进行评价。重复模型一中求得步骤，可以得出相关参数如下诸表表11 一周中各类病人住院的比例时间周一周二周三周四周五周六周日白内障0.060610.0

25、62500.122810.7027030.02020.07246白内障（双眼）00.031250.3750.2456100.212120.81159青光眼0.03030.218750.250.28070.2162160.050510.11594视网膜疾病0.909090.68750.3750.350880.0810810.717170各类病人的值表12 各类病人的值时间周一周二周三周四周五周六周日白内障0.121210.062500.491232.1081080.04040.07246白内障（双眼）00.18751.8750.9824600.424240.81159青光眼0.090910.43

26、750.50.56140.4324320.151520.23188视网膜疾病2.727271.3750.750.701750.1621622.151520最短术前准备时间表13 最短术前准备时间疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病时间1122各类病人的值表14 各类病人的值疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病数值0.214590.2854077250.270390.72961373最后由和的值以及公式(4)可以求出。与比较，明显，且比小25.7%。表15 各类病人每天的平均等待对长时间周一周二周三周四周五周六周日白内障10.666670.333332.54.50.333331白内障（双

27、眼）2.166672.166672101.333336.66667青光眼0.6666710.833330.50.50.50.83333视网膜疾病4.333332.333331.333330.50.166675.166670由于不同类型的疾病手术的时间不同，同一天安排入住的各类病人比例会有一定的差异，从而也引起队长的差异，所以单纯的讨论某一天的偏差没有实际的意义，所以求出各类病人在一周七天里的平均等待队长比术后观察时间，最后再求标准差。表16 各类病人的比值疾病白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病比值0.508540.4413250.085490.194348注意到青光眼病人的数据和其他类型病人

28、的数据差距较大，是因为青光眼病人的比例本来就很小，且术后观察时间相对较长。这就会导致在床位分配过程中只要出现分配就会引起很大的波动，从而影响队长，进而影响评价指数2。所以，求比值的标准差不应考虑青光眼病人的数据。因此，评价指数2的标准差，这个值比任何一类病人（除青光眼外）的值都小，则可以认为这个值是小的。综合与的比较结果和值的分析，可以得出该模型的病床安排方案较优。问题三 一、问题分析由于病人住院需要等待，所以病人自然希望尽早知道自己大约何时能住院。而历史数据表明等待住院时间和当时住院病人、等待住院病人有关。因此需统计出当时住院病人及等待住院病人的情况，再根据历史数据中等待时间、当时住院病人人

29、数及等待住院病人人数的对应关系，拟合出当时等待住院的病人需要等待的时间。在MATLAB软件下的人工神经网络工具箱提供了用于解决这一类问题的函数。因此，将历史数据和待拟合数据通过工具箱下的函数拟合，可得出当时等待住院的病人入住需要等待的时间。二、模型建立通过分析可知当天住院病人与前一天的住院病人、当天出院的总病人和当天入住的病人有关系，其关系式为 (6)其中表示当天住院的总病人数，表示当天入住的病人数，表示当天出院的病人数。而当天等待住院的总病人人数与前一天等待住院的总病人、当天门诊的病人和当天入住的病人人数有关系，其关系式为 (7)其中表示当天等待住院的总病人数。表示当天门诊的病人数。设为当天

30、门诊的病人等待入住需要的时间，则应该是和的函数，即 (8)其中表示该病人入住的时间，表示该病人门诊的时间。只要知其函数关系就可以由当天住院病人和等待住院病人的情况求出当天门诊的病人等待入住需要的时间。但是这个关系式不易直接求出，因此运用MATLAB软件下的人工神经网络工具箱下的函数进行数据拟合，便可由当天住院病人数和等待住院病人数拟合出当天门诊的病人等待入住需要的大致时间。三、模型求解根据历史数据统计出每一天门诊的人数，入住的人数，出院的人数，由于起始数据段不稳定应剔除。最后选取7月25日到9月11日的数据，然后统计出7月24日等待住院的病人数及住院病人数作为初始值和。统计结果为 又由于和的数

31、据均已得出，根据公式(6)和(7)可以得出和的值。只要提供病人门诊时间和入住时间就可以根据公式(8)可以求出每一天门诊的病人等待入住需要的时间。这样就得到了等待住院时间、住院病人、等待住院病人间的一一对应关系数据和只有住院病人数、等待住院病人数的数据。运用MATLAB人工神经网络工具箱下的net=newrbe(x;y,z)和z1=sim(net,x1;y1)语句编写程序（程序见附录四）拟合没有等待时间的数据的等待时间的值。下表为得到的值表17 拟合数据所得等待时间8/319/19/29/39/49/59/69/79/89/99/109/1112.9514.09814.1614.2114.171

32、4.1714.1613.7514.16414.1614.1614.17实际上，对于同一天进入等待住院系统的病人等待住院的时间是在一定的区间内，根据数据统计出平均区间步长，四舍五入取整后为2。那么等待住院时间的区间应该为，从而知道入住的大致时间区间。同样，要知任意一天门诊的病人等待住院需要的时间只需要知道该天住院病人数和等待住院病人数就可以调用程序拟合出等待入住需要的时间，从而计算出入住的大致时间区间。四、模型评价该模型利用了人工神经网络进行数据拟合，通过拟合结果显示该模型可以很好的预测入住时间区间。但是人工神经网络只是一种预测工具，没有理论依据。问题四一、问题假设1、两次白内障手术安排之间必须

33、留有观察时间。二、问题分析运用求解问题二中的不同类病人手术时间权重因子的产生函数，即随星期变化的权重-时间函数的方法，同样得到在周六与周日不进行（除外伤）手术的权重-时间函数，如下图图5 周六与周日不进行（除外伤）手术的权重-时间函数图因为该函数为针对某类疾病病人被安排入院倾向的时间函数，可以解释为若权重在某时间较大，则病人在相应时间的入院倾向也较大。因而将各类疾病病人的时间函数加和，得到一周内各星期的入院权重。对于手术安排方案，权重随时间波动越小，该方案愈优。若青光眼与视网膜疾病手术时间改变后，白内障的手术时间不变，即仍为周一、周三，得到手术时间改变前后一周内各星期的入院权重，如下表：表18

34、手术时间改变前后对比表手术时间改变前后对比星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日平均值原各星期权重各星期权重0.07420.17980.17140.12730.10530.18260.1428570.1595偏差百分数48.06%25.86%19.98%10.89%26.29%27.82%24.36%11.65%改变后各星期权重各星期权重0.10050.24550.05220.10510.13160.22210.1428570.1431偏差百分数29.65%71.85%63.46%26.43%7.88%55.47%36.42%0.17%图6 手术时间改变前后对比图由此可知，若保持白内障的手

35、术时间不变，权重不均匀程度加大，故需调整白内障的手术时间；而基于两次白内障手术安排之间必须留有观察时间的假设，但过大的观察时间同样会使病人的住院时间延长过多。因此，首先滤除可能的调整方案：周一、周二；周二、周三；周三、周四；周四、周五和周一、周五。穷举余下的可能调整方案，得下表：表19 调整方案一览表调整方案一览表星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日平均值星期2，4各星期权重0.1810.22380.04030.09330.12570.17270.1428570.1633偏差百分数26.70%56.66%71.79%34.69%12.01%20.89%33.86%14.31%星期1，3各

36、星期权重0.13160.30430.06060.08140.11380.16680.1428570.1416偏差百分数7.88%113.01%57.58%43.02%20.34%16.76%37.07%0.88%星期1，4各星期权重0.09310.23070.04840.10390.13160.22210.1428570.1702偏差百分数34.83%61.49%66.12%27.27%7.88%55.47%38.89%19.14%星期2，5各星期权重0.1810.21640.06750.08960.12440.17270.1428570.1485偏差百分数26.70%51.48%52.75%

37、37.28%12.92%20.89%29.42%3.95%图7 调整方案一览图由此可知，最优的手术调整方案为：星期2，5图8 最优调整方案对比图问题五一、问题分析 问题五可以看作是一个随机性问题和单一目标规划问题的复合体。随机性问题可以用排队论的知识来考虑。我们假定各种类型眼病的人按照参数（0）的Possion流到达，接受住院的服务，服务时间服从参数为1/的负指数分布。每个病人到达相互独立，而且每个病人的到达与其自身的服务是彼此独立的。病人的等待入院时间为在队列中的等候时间，服务时间为其住院的时间，分配到的病床作为服务窗口。又因为分配的病床必须为整数，所以该规划为单一目标的整形规划问题。二、问

38、题假设1、各种类型病人的到达相互独立，服从Possion流到达的过程。2、各种类型病人的住院时间服从负指数分布。3、每个病人的到达与其自身的住院时间的过程是彼此独立的。4、每个病人有了门诊时间后，不再发生离队的情况。三、符号定义 =1、2、3、4、5分别代表做单眼白内障手术的病人、做双眼白内障手术的病人、外伤病人、青光眼病人、视网膜疾病的病人； 第i种类型病人的平均到达率；第i种类型病人的平均服务率；第i种类型病人的分到的床位数；第i种类型眼病的单个服务窗口的利用率;第i种类型病的多服务窗口系统的利用率;:第i种类型病人到达时等待的概率;第i种类型眼病系统中没有个体的概率；:第i种类型病人在系

39、统中的平均逗留时间（包括住院等待时间和住院时间）；:已知信息中第i种类型病人的人数；:所有病人在系统的平均逗留时间（包括住院等待时间和住院时间）；四、模型建立对于第i（i=1 ，2， 3， 4， 5）种类型的眼病，分配到了个床位，即个服务窗口。系统容量无限大，服务窗口间相互独立。次系统为M/M/c/排队系统。平均到达率和平均服务率的值是决定系统运行的重要因素。单个服务窗口的利用率为；多服务窗口系统的利用率为；时，队长会无限增加，要使系统稳定，必须满足。的单位是位病人/天，的单位是位病人/天，表示病人的平均住院时间，单位是天。对于第i种眼病，系统中没有个体的概率：；系统中有个服务台，所以病人到达

40、时等待的概率为；当，在统计平衡下第i类病人在系统中的平均逗留时间为;题目所给数据中第i类病人数为，所有病人在系统的平均逗留时间为，的最终化简结果为所有病人的平均逗留时间最短的目标函数为病床总数为79，所以；系统要稳定，则（i=1，2，3，4，5）；综上模型为s.t.；五、模型求解 根据已知的病人的门诊和住院信息，分别用泊松分布和负指数分布的参数估计函数来代替实际的和（i=1，2，3，4，5）；然后编写程序求解单一目标的整形规划问题。 在MATLAB软件下，编程求解（程序见附录五），在穷举的算法下，得到结果如下：平均逗留时间： 天；做单眼白内障手术的病人分的床位：=10张； 做双眼白内障手术的病

41、人分的床位：=15张；外伤病人分的床位：=9张；青光眼病人分的床位：=12张； 视网膜疾病的病人分的床位：=33张； :=10:15:9:12:33;因为外伤病人的住院等待时间只需一天，住院平均时间（7.036）也最短，所以其所所得床位比例最低，其余类型病人的住院平均等待时间相差不大，而视网膜疾病的病人住院平均时间（12.54）最大，所以其所得床位比例最大。做双眼白内障手术的病人比做单眼白内障手术的病人住院时间要长。外伤住院等待时间为一天，其住院平均时间（8.70）比做单眼白内障手术的病人（6.57）的得多，所以两者相差不大。综上，模型的求解结果和已知信息的统计结果相吻合。参考文献1唐应辉、唐

42、小我编，排队论基础与分析技术，北京：科学出版社，2006；2苏金明等编，MATLAB工程数学，北京：科学出版社，2005；3谢金星、薛毅编，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2007；4薛定宇、陈阳泉编，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版社，2008。附录附录一：function d=weight2(week,t)global queue;global distribution;number=in();if (t=1)&(week=1)queue=number(1:4,7);number=in();end if t=1 queue=queue-distribution(1:4,t-1)+number(1:4,t-1); end if (t=1)&(week=1) queue=queue-distribution(1:4,7)+number(1:4,7); number=in(); end for i=1:4 if queue(i,1)0 queue(i,1)=0; endendqueued=queue/sum(queue);附录二：function distribution=arr