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1、基于模糊数学的水资源效率评价摘要：对各行业水资源效率进行专项评价时，既要考虑该行业发展程度，又要考虑该行业用水量相对于水资源总量的消耗量。为此我们构造了两个指标（行业年用水量/水源总量）和G（行业年用水量/（行业年GDP*水资源总量）对各行业进行评价。对各省份进行综合评价时，对象比较的指标值之间有不同的相关、重叠或函数关系，对象之间的好、坏分类边界模糊。用传统的聚类方法无法有效的描述其模糊性，所以我们建立了模糊数学聚类模型，求出对象间的模糊等价矩阵，并构造了模糊统计量F来确定最佳分类。为了确定每一类的优劣情况，我们建立了基于模糊数学的优选熵权模型，采用熵值法定权消除了人为赋权造成的主观性，从而
2、求出每一类的优属度，优属度越接近1的水资源利用效率和效益越好。为了弥补单纯采用省份间横向比较的不合理性，我们以山东省03-07年的水资源状况为例，采用G值法对其进行专项评价，采用模糊优选熵权模型引入可持续发展程度指标进行综合评价，很好的反映了该省水资源状况的发展情况。关键词：模糊数学、聚类分析、传递闭包、熵值法定权、可持续发展度一、问题重述当前我国水资源严重缺乏，但是水资源浪费、利用效率及效益低下的现象却普遍存在。水资源的不合理利用成为严重制约我国经济社会可持续发展的瓶颈，为了逐步提高我国水资源的利用效率和效益，请建立合理的水资源效率和效益评价体系，并利用题中给出的水资源总量、年降水量、农业万
3、元GDP用水量、工业万元GDP用水量、人均COD排放量、人均水资源量、人均生活用水量等指标，对13个省市的水资源状况进行专项和综合评价。若上述指标未能构成合理的水资源效率评价体系，是否能提出更好的评价指标与评价方法。二、问题分析对不同省市的水资源利用效率进行专项评价时，既要考虑其农业（或工业）的节水程度，又要考虑其农业（或工业）用水的消耗量。农业节水程度可用农业万元GDP来表示，农业（或工业）用水消耗量可用农业（工业）万元GDP与水资源总量表示。对各省份进行综合评价时，对象比较的指标值之间有不同的相关、重叠或函数关系，对象之间的好、坏分类边界模糊。用传统的聚类方法无法有效的描述其模糊性，所以我
4、们建立了模糊数学聚类模型。为了确定每一类的优劣情况，建立了基于模糊数学的优选熵权模型。三、模型建立与求解3.1利用提供的数据，分别对各个行业水资源效率进行专项评价。符号说明：Q该省水资源总量；M该省农业（或工业）年GDP；N该省农业（或工业）年用水总量；评价体系：（1）为该省农业（或工业）万元GDP，越小说明该省产生一万元GDP用水量越少，说明该地区农业（或工业）更发达，更具有可持续性，故越小越好。各省份按值排序：省份农业万元GDP省份工业万元GDP河南479.1河北22.39浙江822.53浙江24.39山东860.19河南31.58北京941.55山东36.4广东950.29北京58.92
5、湖北996.33山西100.54山西1185.24湖北122.16安徽1235.27新疆160.71河北1266.85云南210.51新疆1547.12广东321.65湖南1612.33安徽364.57云南1903.67广西398.44广西2348.79湖南436.64（2）令为该省农业年耗水率，越小说明该省节水措施更好，发展更具有可持续性，故越小越好。为此我们构造了函数H= ，H越小说明水资源利用效率越高。但是从所给的数据中无法知道N值，可以做替代，带入H得，函数H与G具有相同的增减性，所以只需计算各省份G（该行业水资源消耗量函数）的值，其中G值越小的水资源利用效率越高。各省份按G值排序如下
6、表：省份农业万元GDP用水量与年降水量的比值省份工业万元GDP用水量与年降水量的比值广东0.800 浙江0.036 云南0.904 河南0.078 湖南0.982 河北0.094 湖北1.074 云南0.100 河南1.178 山东0.104 浙江1.217 湖北0.132 广西1.464 新疆0.188 新疆1.809 广西0.248 山东2.461 湖南0.266 安徽2.467 广东0.271 河北5.307 安徽0.728 山西12.818 山西1.087 北京44.101 北京2.760 3.2利用提供的数据，考虑到各个省市的水资源条件和产业结构差异，给出这12个省市的综合用水效益的
7、合理评价。3.2.1水资源评价模糊数学聚类分析与等级评价（1） 建立指标特征值矩阵设系统有n个待分组的对象集，有m个对对象进行评价的指标集，则系统的指标特征值矩阵为：=式中为第i个对象第j个指标的特征值。（2） 数据无量钢化为了消除量纲效应,建模前对各指标数据进行无量纲化处理得到归一化矩阵A,文中选用的无量纲化公式如下:对于正向指标,对于负向指标, 为第i ( i = 1, 2, , n) 个对象第j( j = 1, 2, m)个指标的特征值，为第j个指标的最大值和最小值。注释：（程序见附录一）（3） 建立模糊相似关系利用相关系数法建立模糊相似矩阵A其中。注释：（程序见附录二）（4） 在模糊相
8、似关系的基础上建立模糊等价关系用平方法求传递闭包：先自乘，即。如果，再自乘，即。如果，则再自乘，直到，则就是的传递闭包。其中,所以用平方方法至多需求得到了传递闭包矩阵即等价矩阵。注释：（程序见附录三）（5） 根据参数值进行模糊聚类参数值其实就是设定的模糊度，根据得到的等价矩阵，当参数从小到大变化时，就得到分类对象的动态聚类图。注释：（程序见附录四）（6） 确定最佳参数值上述聚类方法为我们提供了一个动态聚类图，在实际应用中我们需要选定一个最优的参数以确定论域中对象的分类结果。参数值的确定可以用模糊统计量来选择。设是n个待分类的元素集，又假设的元素一共分成类(对应的参数值为入)，第i类包含个元素令
9、第i类中全体元素的第k个特征的均值，论域中全体元素的第k个特征的均值。定义模糊统计量为：其中，表示欧氏距离，。分母中的为第i类中第j个元素且：。故分子描述的是类内元素的距离，而分母描述的是类间距离，因而F值越大，分类越合理，对应F最大的参数值就是最佳参数值。（7）确定每一类的优属度为了对各类的水资源利用效率进行综合评价，现设有各省水资源利用程度为模糊集合，并分别用来表示8个评价指标。用每一类的元素的指标的均值作为该类的指标值。因为对每一类而言，都有上述指标的影响，只是程度有轻重，每种指标对评价结果的影响是不一样的，所以可以用熵值法确定权重来反映。熵值法定权：熵值法定权是一种根据各项指标观测值所
10、提供的信息大小来确定指标权重的方法。在信息论中,熵意味着平均信息量,信息熵越大其信息的效用值越小,反之信息的效用值越大 4 。利用熵的概念,确定指标权重的计算公式如下:式中: pij为第i项指标下第j个评价对象的权重; ei为第i项指标的熵值; gi为第i项指标的差异性系数; wi为第i项指标的权重。注释：（程序见附录五）模糊优选熵权模型：根据相对隶属度定义,劣、优指标相对优属度向量分别为被则对象的优属度为：式中: p为距离参数( p = 1为海明距离, p = 2为欧氏距离,通常取p = 1) ; d ( ) 为广义权距离。为（2）中无量纲化得到的矩阵R。uj越接近于1,其相应对象的优属度越
11、高。注释：（程序见附录六）3.2.2模型应用实例（1） 特征值矩阵2004年自然、社会用水指标省份水资源总量（亿m3/年）年降水量（mm）总人口(万人)农业万元GDP用水量（m3/万元）工业万元GDP用水量（m3/万元）人均COD排放量(kg/年)人均水资源量(m3/年)人均生活用水量(m3/年)河北238.70521.906232.041266.8522.3910.56383.02105.58湖北928.061134.805171.97996.33122.1611.871794.40118.72湖南1641.301493.606398.941612.33436.6413.282564.961
12、32.83广东1188.001315.007814.29950.29321.6511.861520.29118.63广西1604.521366.904883.002348.79398.4420.363285.93203.56云南2106.301239.003225.101903.67210.516.916530.9669.15新疆855.40166.401963.111547.12160.7113.354357.37133.46北京21.35585.001162.90941.5558.921.15183.59111.79山西92.47749.543335.101185.24100.544.10
13、277.2625.50山东349.46769.709163.38860.1936.4010.56381.37225.90河南406.66797.709717.00479.1031.586.70418.5033.70安徽500.65998.006460.771235.27364.574.69774.9135.97浙江675.671005.006460.89822.5324.398.601045.7849.25（2） 数据无量钢化R省份水资源总量年降水量总人口农业万元GDP用水量工业万元GDP用水量人均COD排放量人均水资源量人均生活用水量河北0.104250.267860.59260.57867
14、10.510150.0314190.6004湖北0.434880.729660.468670.723360.759160.441960.253780.53483湖南0.7769710.612110.3938900.368560.375170.46442广东0.559560.865430.777570.747980.277590.442480.210590.53528广西0.759330.904540.4348900.09221500.488760.11148云南10.808170.241080.238070.545880.7001610.78219新疆0.4000300.0935470.428
15、770.66610.364910.657560.46128北京00.315400.752660.91182100.56941山西0.0341110.439380.253940.622320.811350.846430.0147571山东0.157370.454570.935280.796170.966180.510150.0311590河南0.184810.47566110.977820.711090.0370090.95908安徽0.229890.626580.619340.595560.173980.815720.093160.94775浙江0.313830.631860.619350.8
16、16320.995170.612180.135830.88149（3） 模糊相似矩阵A10.8930.8390.8030.7150.7230.7740.8240.8280.8560.8970.8510.9210.89310.8140.9450.7920.790.8240.8450.7370.7550.8740.7740.8190.8390.81410.8010.8590.5780.8270.7150.6020.6110.6690.6560.6060.8030.9450.80110.7290.760.9380.7830.640.7270.7930.6860.6690.7150.7920.8590
17、.72910.70.6760.7730.7250.6270.7270.7420.6040.7230.790.5780.760.710.6740.8150.7450.850.9160.660.7080.7740.8240.8270.9380.6760.67410.6740.5970.7030.7320.6410.5790.8240.8450.7150.7830.7730.8150.67410.8770.8170.8430.8460.7450.8280.7370.6020.640.7250.7450.5970.87710.8880.8930.9760.8650.8560.7550.6110.727
18、0.6270.850.7030.8170.88810.9220.8620.8710.8970.8740.6690.7930.7270.9160.7320.8430.8930.92210.8540.9110.8510.7740.6560.6860.7420.660.6410.8460.9760.8620.85410.8790.9210.8190.6060.6690.6040.7080.5790.7450.8650.8710.9110.8791（4） 模糊等价矩阵10.8930.8390.8930.8390.9110.8930.8770.8930.9110.9110.8930.9210.89310
19、.8390.9450.8390.8930.9380.8770.8930.8930.8930.8930.8930.8390.83910.8390.8590.8390.8390.8390.8390.8390.8390.8390.8390.8930.9450.83910.8390.8930.9380.8770.8930.8930.8930.8930.8930.8390.8390.8590.83910.8390.8390.8390.8390.8390.8390.8390.8390.9110.8930.8390.8930.83910.8930.8770.8930.9160.9160.8930.9110.
20、8930.9380.8390.9380.8390.89310.8770.8930.8930.8930.8930.8930.8770.8770.8390.8770.8390.8770.87710.8770.8770.8770.8770.8770.8930.8930.8390.8930.8390.8930.8930.87710.8930.8930.9760.8930.9110.8930.8390.8930.8390.9160.8930.8770.89310.9220.8930.9110.9110.8930.8390.8930.8390.9160.8930.8770.8930.92210.8930.
21、9110.8930.8930.8390.8930.8390.8930.8930.8770.9760.8930.89310.8930.9210.8930.8390.8930.8390.9110.8930.8770.8930.9110.9110.8931（5） 模糊聚类分类数聚类结果0.960.89350.894（6）确定最优分类根据模糊统计量F得：分为五类时最优。（7）确定优属度其对应的优属度向量u=0.7345 0.7112 0.7277 0.5462 0.3927很好=河北，云南，山西，山东，河南，安徽，浙江好=湖南一般=湖北，广东，新疆差=广西很差=北京3.3上述反映水资源利用情况的指标是
22、否已构成了一个合理的水资源利用效率和效益评估指标体系？上述指标对水资源利用效率和效益的评估不够全面；（1）在问题一中，我们构造了两个量来对农业、工业各省水资源进行专项评价，但是由于不同省份水资源总量相差很大，并且各省的农业种植面积和工厂多少不一，从而造成如北京这样的省市，虽然其（农业万元GDP）很小但是G值很大，显然利用G值对不同省份进行水资源利用效率专项评价是不合理的。而对于同一省份来说，其水资源总量、农业种植面积、工厂数量年变化不大，G值可以把同一省份不同年份的水资源利用发展情况很好的表现出来，如果G值逐年减小说明节水措施有效反之则应改变措施。另外用值对不同省份同年进行横向比较仍然是有效地
23、。（2）上述水资源利用情况的指标只是以地域横向比较不同省份之间的水资源利用效率和效益，因不同省份之间在地理、气候、社会、产业结构等方面差异太大，单纯采用地域上的横向比较不免有失偏颇，不能充分反映出本地区的水资源利用方面的发展情况。为弥补这方面的不足我们建立了模糊优选熵权模型对同一省份不同年份的指标进行分析，并用可持续发展程度指标进行评价。3.3.1模糊优选熵权模型（1）建立指标特征值矩阵。（2）熵值法定权（见上文（7）（3）无量纲化处理（见上文（2）（4）模糊优选熵全模型（见上文（7）3.4运用你所建立的水资源利用效率和效益评估指标体系与评价模型，对你所能收集到的我国各个省市水资源利用情况按专
24、项和综合分别进行评估。山东省03-07年水资源状况年份总人口水资源总量农业万元GDP用水量工业万元GDP用水量人均水资源量人均生活用水量万人亿立方米立方米/万元立方米/万元立方米/年立方米/年20039125489.69 1016.31 14.05 1113.76 26.22 20049180349.46 846.53 9.44 922.14 26.87 20059248415.86 795.15 5.19 859.81 27.22 20069309199.78 766.74 4.31 823.66 27.52 20079367387.11 632.89 4.43 675.66 29.27 利
25、用上述数据我们对山东省03-07年水资源利用效率和效益进行专项和综合评价。3.4.1利用G值对山东省水资源效率和效益进行专项评价年份农业万元GDP用水量与水资源总量的比值工业万元GDP用水量与水资源总量的比值20032.0754 0.0287 20042.4224 0.0270 20051.9121 0.0125 20063.8380 0.0216 20071.6349 0.0114 从表中可以看出，工业G值和农业G值逐年降低，说明山东省水资源利用效率和效益是逐年增加的。3.4.2利用模糊优选熵权模型得到每年的可持续发展程度：年份可持续发展程度20030.1321220040.47545200
26、50.9529920060.8723920070.96674从表中可以看出，山东省的可持续发展程度大体上是逐年增加的。四、模型应用：当对我国各省水资源利用情况进行评估时，利用上述模型，不仅从地域方面对各省市进行横向评价，而且应对同一省份不同年份进行纵向评价。从而得到一个合理的水资源效率和效益评价体系。参考文献1吴士力，通俗模糊数学与程序设计（第一版），北京；中国水利水电出版社，2008年 ；2章文波 陈红艳，使用数据统计分析及SPSS 12.0 应用（第一版），北京；人民邮电出版社，2006年；3刘增进 王振雨 朱光亚，模糊优选熵权模型在水资源评价中的应用；人民黄河2007年5月第二十九卷第五
27、期；附录附录一：%本程序为求无量纲矩阵；%xnew为无量纲矩阵；%x为原始矩阵；%p为正向指标的标号；%q为负向指标的标号；function xnew=onesmatrix(x,p,q)n,m=size(x);xnew=zeros(n,m);p1=numel(p);q1=numel(q);if p1+q1=m error(变量错误！);endfor i=1:n for j1=1:p1 xnew(i,p(j1)=(x(i,p(j1)-min(x(:,p(j1)/(max(x(:,p(j1)-min(x(:,p(j1); end for j2=1:q1 xnew(i,q(j2)=(max(x(:,
28、q(j2)-x(i,q(j2)/(max(x(:,q(j2)-min(x(:,q(j2); endend附录二：%本程序为求解模糊相似矩阵；%x(i,j)为第i项对象第j个指标的值；%r(i,j)为模糊相似矩阵；function r=fuzzyfun(x)n,m=size(x);r=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n s1=0; s2=0; s3=0; for k=1:m s1=s1+abs(x(i,k)-mean(x(i,:)*abs(x(j,k)-mean(x(j,:); s2=s2+(x(i,k)-mean(x(i,:)2; s3=s3+(x(j,k)-mean
29、(x(j,:)2; end r(i,j)=s1/sqrt(s2*s3); endend 附录三：%此函数求r的自乘function r1=multimat(r)n=size(r);r1=zeros(n);for i=1:n(1) for j=1:n(1) p=; for k=1:n(1) p=p,min(r(i,k),r(k,j); end r1(i,j)=max(p); endend%M为传递闭包矩阵；%r为模糊相似矩阵；function M=fun1(r)r1=multimat(r);%此函数求r的自乘；while isequal(r1,r) r=r1; r1=multimat(r1);e
30、ndM=r; 附录四：%此函数判断A，B是否有相同项；function t=isbelong(A,B)n=numel(A);t=0;%否返回0；for i=1:n for j=1:n if A(i)=0 & A(i)=B(j) t=1;%是返回1； end endend%此函数是把A集合与B集合合并；function A,B=belong(A,B)n=numel(A);p=zeros(1,n);m=sort(A,B);for j=1:2*n if m(j)=0 p(1)=m(j); break; endendk=2;for i=j+1:2*n if m(i)=0 & m(i)=m(i-1) p
31、(k)=m(i); k=k+1; endendA=p;B=zeros(1,n);%该函数是聚类函数；%M为模糊等价矩阵；%l为分类参数；function C,Rc=Classify(M,l)n=size(M);C=zeros(n);for i=1:n(1) for j=1:n(1) if M(i,j)=l C(i,j)=1; end endendRc=zeros(n);for i=1:n(1) t=1; for j=i:n(1) if C(j,i)=1 Rc(i,t)=j; t=t+1; end endendRc1=zeros(n);while isequal(Rc1,Rc) Rc1=Rc;
32、for i=1:n(1)-1 for j=i+1:n(1) if isbelong(Rc(i,:),Rc(j,:) Rc(i,:),Rc(j,:)=belong(Rc(i,:),Rc(j,:); end end endend附录五：%p(i,j)为第i项指标下第j个评价对象的权重；%e(i)为第i项指标的熵值；%g(i)为第i项指标的差异性系数；%w(i)为第i项指标的权重；function e,g,w=Weight(x)x=x;m,n=size(x);p=zeros(size(x);k=1/log(n);for i=1:m for j=1:n p(i,j)=x(i,j)/sum(x(i,:)
33、; end e(i)=abs(k*sum(p(i,:).*log(p(i,:); g(i)=1-e(i);endfor i=1:m w(i)=g(i)/sum(g);end附录六：%b=(0 0 0 .)为劣指标的相对优属度向量；%g=(1 1 1 .)为优指标的相对优属度向量；%u(j)为优属度；%w(i)为为第 i项指标的权重；function u=bestselect(r,w,p)r=rm,n=size(r);g=ones(1,m);b=zeros(1,m);u=zeros(1,n);for j=1:n s1=0; s2=0; for i=1:m s1=s1+(w(i)*(r(i,j)-g(i)p; s2=s2+(w(i)*(r(i,j)-b(i)p; end u(j)=1/(1+(s1/s2)(2/p);end
