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1、8.1 向量的内积,定义1：设 是实数域 上的一个向量空间。若，有唯一确定的记作 的实数与之对应，叫做向量与 的内积，并且下列条件被满足：当 时，这里，则 叫做对这个内积来说的一个欧几里德（Euclid）空间，简称欧氏空间。,例1、中，任意两向量，规定：。对上面规定的内积是否作成欧氏空间？,例2、令 是定义在 上一切连续实函数所成的向量空间。设规定：。证明，作成一个欧氏空间。,定义2：设 是欧氏空间的一个向量。非负实数 的算术根 叫做的长度，记作，即：。特别，零向量的长度为零。,例3、欧氏空间 中，求 和。,定义：长度是1的向量叫做单位向量。若 是一个非零向量，是一个单位向量。,欧氏空间 内积
2、的性质：当 时，有 若 都有，则。,定理8.1.1：在一个欧氏空间里，对于任意向量，有（柯西-施瓦兹不等式）当且仅当 与 线性相关时，上式取等号。,例4、设，证明：。,例5、设，证明：若则。,定义3：设 和 是欧氏空间的两个非零向量，与 的夹角 定义如下：；的取值范围为：。,定义：当欧氏空间两个非零向量的夹角是 时，称它们正交。特别规定:零向量与任意向量都正交。,定义4：对于欧氏空间的两个向量与，若，则 与 正交。,例6、证明：在欧氏空间 中，向量，两两正交。,定理8.1.2：在一个欧氏空间中，若向量 与 中的每一个都正交，那么 与 的任意一个线性组合也正交。,结论：设 与 是欧氏空间的任意向量，有。,定义：在一个欧氏空间中，两向量与 的距离指的是 的长度，记作，即：。,距离的性质：（1）当 时，（2）（3）（三角形不等式）即：三角形两边之和大于第三边。,结论：若 是向量空间 的一个子空间，则 对 的内积也做成一个欧氏空间。,
