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1、原子物理学,第十讲,12 波粒二象性,任何物质伴随以波，不可能将物质的运动和波的传播分开。这种和实物粒子相联系的波叫做德布罗意波。德布罗意波的波长和频率满足以下关系。,宏观物体的物质波波长非常短，难以发现波动效应。原子中电子的物质波波长与晶体晶格常数相当，可以通过实验观测到干涉与衍射效应。,五、德布罗意波和量子态,从德布罗意关系式可以进一步看清普朗克常量的意义。在1900年普朗克引入该常量时，它的意义是量子化的度量，即它是不连续性程度的度量单位。而现在经过爱因斯坦和德布罗意的努力，出现了关于实物粒子的波粒二象性的观念，而波性和粒子性之间起桥梁作用的正是h。,这一事实本身说明：这两个概念之间有着
2、深刻的内在联系。以下对此问题作进一步分析。,那么波粒二象性与量子化条件有什么样的联系？下面我们通过两个例子来解释说明这个问题。,要使绕核运动的电子能稳定存在，那么与这个电子相应的德布罗意波就必须是一个驻波。根据驻波条件的要求：波绕核传播一周后应平滑地衔接起来，否则相叠合的波将会由于干涉而相消；换而言之，要使电子稳定运动，电子绕核回转一圈的周长必须是与之相应的德布罗意波的波长的整数倍。,（1）、氢原子中绕核运动的电子,可见一个波如果被束缚起来，就必须是一个驻波，而驻波条件就是角动量量子化条件。,这正是玻尔所给出的量子化条件：,驻波条件：,为了证明上述论述的正确性，（由量子化条件导出驻波条件）我们
3、将玻尔第一速度代入电子的波长关系式,式中，a1是第一玻尔半径。由此证明，玻尔关于氢原子的量子化结果确实满足驻波条件。,一个粒子处于壁为刚性的匣子中作一维运动。由经典理论可知，这个粒子在匣子中的动能恒为，运动周期为。,（2）一个在刚性匣子中的粒子,粒子在宽度为的匣子中作一维运动，与之相对应的德布罗意波被束缚在匣子中，因此 x=0 和 x=d 处永远是波节。由驻波条件，这个粒子要在这个匣子中永远存在下去，则其德布罗意波必须是一个驻波，它的波长必须满足：,通过以上两个例子的分析，非常形象地说明了波粒二象性与量子化条件的关系：禁闭（被束缚）的波必然导出量子化条件。一旦波和粒子联系起来之后，就得到粒子能
4、量或动量的量子化。,即匣子的宽度至少为半个波长那么大。将上式代入德布罗意关系和非相对论动能公式可得到：,由此可见，动量和能量都是量子化的。,六、互补原理,玻尔从哲学的角度概括了物质的波粒二象性提出了互补原理。,（2）古代哲学家公孙龙早在两千多年前在其离坚白命题叙述到：视不得其所坚，而得其所白者，无坚也。抚不得其所白，而得其所坚者，无白也。,一些经典概念的应用不可避免地将排除另一些经典概念的应用，而另一些经典概念在另一些条件下又会是描述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能形成现象的详尽无遗的描述。,（1）玻尔的例子：银币的正反面都看到了。才能说对银币有较完
5、整的认识。,14 波函数及其统计解释,一、波函数、自由粒子波函数,在经典物理中，沿x方向传播的单色平面波的波函数为：,也可写成复数形式（平面波的波函数取其实部）:,在量子力学中，假设物质波函数也应该有类似的形式：,根据德布罗意假设，一个自由粒子对应一个频率和波长不变的平面波。若粒子的能量为E，动量为P，则其波长和频率应为:,将德布罗意关系代入波函数表达式中，得：,推广到三维情况，可得自由运动粒子的波函数为：,这就是物质波的波函数，该函数从波的角度描述了微观粒子运动状态。,0是波函数的振幅,光的波粒二象性,电子的波粒二象性,波动性：电磁波,粒子性：能量与动量都是一份一份的-光子,粒子性：具有一定
6、的动量能量,波动性：,电磁波？,机械波？,中子同样有波动性,真空中同样观测到电子衍射干涉现象,电子双缝干涉实验,经典波的双缝干涉,经典粒子的双缝干涉,电子的双缝干涉实验,1.当一束电子进行实验时？屏幕上可以观测到干涉现象。,2.当电子逐个经过缝时？经过一段时间后仍然可以观测到明暗相间条纹！,微观粒子的波函数中的表示什么意义呢?即怎样理解波函数的意义，才能用其描述微观粒子的波粒二象性呢？,1、历史上的不同观点：,有人认为波粒二象性中，粒子性是基本的，多个粒子形成粒子流，各粒子间相互作用显示波动性。,有人认为粒子的波动性是基本的，粒子性是由于不同频率的波叠加而形成的波包。,二、波函数的意义-统计解
7、释,以上两种观点很快被实验所否定。,经典物理,机械波中，波函数表示t时刻,x处质点的位移。,电磁波中，波函数表示t时刻,x处的B或E的值。,2、波函数的统计解释,为理解波函数的意义，先来看一看光的衍射现象。,从波动性：条纹明暗反映波的强度。而波的强度与波函数的振幅平方呈正比。,从粒子性：光强大的明亮处表示单位时间内到达该处的光子数多；反之则少。,对实物粒子电子的衍射，同样可做如上的解释。,统计观点：光子到达亮处的概率大，而到达暗处的概率小。,对电子衍射分析可得如下关系：,波的强度正比于该处波振幅的平方,波的强度正比于该处出现粒子的几率,1926年，玻恩提出了物质波是一种概率波的假设，给波函数以
8、统计解释，圆满地将粒子的波粒二象性统一起来。,该处波振幅的平方正比于该处粒子出现的几率,在某一时刻，粒子在空间某处的体积元dV中出现的概率与该处波函数模的平方成正比。,（1）统计假设：,称为粒子的概率密度。,波函数的物理意义：|2表示t时刻，粒子在空间x处的单位体积内出现的概率。,（2）归一化条件：,因为在整个空间发现粒子的总概率为100%，,此式称为归一化条件。,满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。,根据波函数的物理意义可知，波函数一般应是单值、有限、连续的函数，称为波函数的标准条件。,（3）标准条件：,（4）概率波(物质波)与 经典波的区别：,波函数不表示某物理量在空间的波动,0 无实
9、在意义，|2表示某时刻粒子出现在某处的概率密度。,德布罗意波是几率波，而经典波并不是几率波。,波函数都可以“归一化”，而经典波则无所谓“归一化”。,例 一粒子被限制在两个不可穿透的壁之间,描写粒子状态的波函数=cx(lx),其中c是待定常数,求在0l/3区间该粒子出现的概率.,解:由归一化条件:,即:,设在0 l/3 区间内发现粒子的概率为P，则有:,13 不确定关系,一、不确定关系的表述和含义,不确定关系，又称测不准关系，是海森堡在1927年首先提出的。它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中一个极为重要的关系式，它包括多种表示形式，其一为：,该式表明：当粒子被局限在x方向的一个有限范围内
10、x时，它所对应的动量分量px必然有一个不完全确定的数值范围px，两者的乘积满足上式；换句话说，假如位置完全确定（x0），那么粒子可以具有的动量px的数值就完全不确定px。,粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置和相应的动量。,它表示：若一个粒子在能量状态E停留的时间为t，那么这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散：E h/t；只有当粒子停留的时间为无限长时（稳态），它的能量状态才是完全确定的（E=0）。,另一种形式为：,粒子在客观上不能同时具有确定的时间和相应的能量。,（1）测不准关系（否定态度），对于xpxh，有人认为不能同时测准粒子的坐标位置及其相应的动量。这样的说法很容易让人
11、认为：似乎粒子本身具有确定的坐标和动量，知识由于测量仪器或测量技术的限制所造成的；但事实上坐标和动量的测不准是由微观粒子本身的特性所决定的，也就是说：（不确定关系揭示的是一条重要的物理规律）由于粒子的波动性，它在客观上不能同时具有确定的坐标位置位置和相应的动量。,关于不确定关系的两点说明：,（2）由不确定关系使我们又一次看到了普朗克常数在微观领域中的重要作用。它给出了微观粒子的一对力学量之间不确定程度的范围。由于h的数值很小，不确定关系在宏观世界里得不到直接地体现，可以被忽略；但在微观领域里不能忽略，不确定关系对微观粒子来说是一条十分重要的规律。h可以作为经典物理和量子物理的界限：如果在某个具
12、体问题中h可以被忽略，则该类问题可按经典规律处理，否则，若不能忽略，则必须考虑量子效应。,二、不确定关系的简单导出,由电子单缝衍射现象导出,必须指出：以上推导方法虽反映了不确定关系的本质，但比较粗糙，更为严格的证明将给出如下关系:,式中 的含义为均方差，可表示为如下形式:,式中，x和 分别为各次测量值和x的平均值。,三、应用举例,1、束缚粒子的最小平均动能,假定粒子被束缚在线度为d 的范围，即x=d，由不确定关系，粒子的动量必定有一个不确定度px，它至少为,对于三维空间,根据px的定义，对于束缚在空间的粒子，其动量在任何方向的平均分量必定为零（否则无法束缚），即 故,依照上述推导的关系即可算出
13、束缚粒子的最小平均动能,由此可见，只要粒子被束缚在空间，粒子的最小动能就不能为零。事实上，假如粒子的动能可以为零，则由不确定关系就要求，这样以来，粒子如何能被束缚？,2、作加速运动的电子不能落入核内,随电子离核越来越近，即越来越小，它将从原子的线度过渡到原子核的线度。依照不确定关系，电子的动量将越来越不确定，依照上述计算，电子的最小平均动能将越来越大，其数值将从10eV量级增加到1GeV量级。电子能从那里达到如此大的能量，没有任何这样的能量来源。因此电子不能靠近原子核，更不要说落在核内。,3、谱线的自然宽度,实验证明谱线具有一定的宽度。为什么？下面我们从不确定关系来解释这个问题。电子要从某一能级往下跃迁，电子在该能级上必定有一定的寿命（但t 不能无限长）。按照不确定关系，这条能级必定存在相应的宽度，因此谱线不可能是几何线，而是具有一定的宽度E，即谱线的自然宽度。,4、卢瑟福质疑,由上述的分析可知，电子在某能级上必定有一定的寿命t，按照不确定关系，这条能级必定存在相应的宽度E，因此电子跃迁的时候带有一定的不确定性。,3.如果有探测器能够探测到电子到底经过那个缝，明暗相间条纹消失了！,当电子逐个经过缝时,4.如果把探测器关上，明暗相间条纹会再次出现！,二、不确定关系的简单导出,1、由测定波长的方法导出,
