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1、1-3 圆周运动及其描述,1.切向加速度和法向加速度,上一节给出了直角坐标系下运动的一般描述，然而，在圆周运动中，采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义、更方便地求解问题。,在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道凹的一侧。,切向单位矢量,；法向单位矢量,显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。,1.1 自然坐标系,由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：,由加速度的定义有,切向加速度和法向加速度,1.2 自然坐标系下的加速度,P,切向加速度和法向加速度,以圆周运动为例
2、讨论上式中两个分项的物理意义：,如图，质点在dt 时间内经历弧长ds，对应于角位移d，切线方向改变d角度。,作出dt始末的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量为,即 与P点的切向正交。因此,于是前面的加速度表达式可写为：,即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：,at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 快慢，与曲线的曲率半径成反比。,切向加速度和法向加速度,上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R 要用曲率半径 代替。,at 等于0,an等于0,质点做什么运动？,at 等于0,an不等于0,质点做什么
3、运动？,at 不等于0,an等于0,质点做什么运动？,at 不等于0,an不等于0,质点做什么运动？,例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：,切向加速度和法向加速度,一般曲线运动,的大小为,的夹角给出为,的方向由它与法线方向,2.圆周运动的角量描述,前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。,设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的,角位置为,角位移为 规定逆时针为正,平均角速度为,圆周运动的角量描述,瞬时角速度为,瞬时角加速度为,角 速 度
4、的 单位：弧度/秒(rads-1)；角加速度的单位：弧度/平方秒(rad s-2)。,讨论：(1)角加速度对运动的影响：等于零，质点作匀速圆周运动；不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；随时间变化，质点作一般的变速圆周运动。,圆周运动的角量描述,(2)质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为,与匀变速直线运动的几个关系式,比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。,圆周运动的角量描述,3.线量与角量之间的关系,圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。,图示一质点作圆周
5、运动：,在t 时间内，质点的角位移为，则A、B间的线段与弧满足下面的关系,两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：,线量与角量之间的关系,将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,线量与角量之间的关系,法向加速度也叫向心加速度。,例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。,解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：,如图，地面上纬度为的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,线量与角量之间的关系,其轨道的半径为,P点速度的大小为,P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为,线量与角量
6、之间的关系,P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。,例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an分别为：,北京：,上海：,广州：,线量与角量之间的关系,在t 时刻，质点运动到位置 s 处。,s,s,解：先作图如右，t=0 时，质点位于s=0 的p点处。,线量与角量之间的关系,P,（1）t 时刻质点的总加速度的大小；（2）t 为何值时，总加速度的大小为b；（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。,例题2 一质点沿半径为R的圆周按规律运动，、b 都是正的常量。求：,（2）令a=b，即,R,o,s,（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:,线量与角量之间的关系,（3）当加速度大小a=b 时，t=v0/b，由此可求得质点历经的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,线量与角量之间的关系,得,
